Economía on kenji.blog

La paradoja de San Petersburgo: ¿Cuánto pagarías por un juego con un valor esperado "infinito"?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. El juego de los sueños con un valor esperado “infinito”

Mientras caminas por un casino, un crupier te invita a jugar a un nuevo juego de lanzamiento de moneda.

[Reglas del juego]

Pagas una cuota de entrada para empezar a jugar.
Lanzas una moneda. Si sale cara, el premio se duplica y puedes volver a lanzar.
Si sale cruz, el juego termina. Recibirás el dinero acumulado hasta ese momento.

El premio inicial comienza en 2 dólares.

Si sale cruz en el primer lanzamiento, recibes 2 dólares y termina.
Si sale cara en el primero y cruz en el segundo, recibes 4 dólares y termina.
Si sale cara en el primero, cara en el segundo y cruz en el tercero, recibes 8 dólares y termina.
…Y así sucesivamente, mientras siga saliendo cara, el premio se duplica: 16 dólares, 32 dólares, 64 dólares…

graph TD Start["Inicio del juego"] --> Toss1{"1er lanzamiento de moneda"} Toss1 -->|Cruz (1/2)| End1["Fin: Ganas 2 dólares"] Toss1 -->|Cara (1/2)| Toss2{"2do lanzamiento de moneda"} Toss2 -->|Cruz (1/2)| End2["Fin: Ganas 4 dólares"] Toss2 -->|Cara (1/2)| Toss3{"3er lanzamiento de moneda"} Toss3 -->|Cruz (1/2)| End3["Fin: Ganas 8 dólares"] Toss3 -->|Cara (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Mientras más consecutivas sean| Infinite["¡El premio se duplica infinitamente!"]

Ahora, te hago una pregunta. Si la entrada para este juego costara “10.000 dólares”, ¿participarías?

Probablemente, la mayoría de la gente respondería “No”. Porque hay un 50% de probabilidades de que salga cruz en el primer lanzamiento y ganar solo 2 dólares, perdiendo así mucho dinero.

Sin embargo, si hacemos los cálculos fielmente a la teoría de probabilidades matemáticas (valor esperado), descubrimos un hecho sorprendente. Matemáticamente hablando, deberías participar en este juego incluso si la entrada costara 10.000 dólares o 1 millón de dólares, incluso si tuvieras que pedir prestado todo el dinero que tienes.

¿Por qué ocurre esto?

2. Calculemos el valor esperado

Para determinar matemáticamente si un juego es “rentable o perjudicial”, utilizamos un indicador llamado “valor esperado”. El valor esperado es un número que representa “cuánto dinero ganarías en promedio por vez si jugaras a ese juego repetidamente”. La fórmula se calcula sumando todos los resultados de “(premio recibido) × (su probabilidad)”.

Calculemos el valor esperado de este juego.

Probabilidad de que salga cruz en el 1er lanzamiento: $\frac{1}{2}$ El premio es de $2$ dólares. Contribución al valor esperado = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el 2do lanzamiento: Sale cara y luego cruz, por lo tanto $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ El premio es de $4$ dólares. Contribución al valor esperado = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el 3er lanzamiento: Sale cara, cara, y cruz, por lo tanto $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ El premio es de $8$ dólares. Contribución al valor esperado = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el enésimo ($n$) lanzamiento: $(\frac{1}{2})^n$ El premio es de $2^n$ dólares. Contribución al valor esperado = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dólar

Es decir, no importa en qué lanzamiento termine el juego, el valor esperado de ese escenario es siempre “1 dólar”. Como el juego puede continuar infinitamente, si sumamos todos estos valores esperados obtenemos lo siguiente:

$$ \text{Valor esperado total} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (infinito)} $$

La respuesta obtenida por las matemáticas fue: “El valor esperado de este juego es infinito”. Dado que el valor esperado es infinito, no importa cuán alta sea la cuota de entrada, teóricamente es un “juego rentable” sin lugar a dudas.

Esta es la “Paradoja de San Petersburgo”, planteada por Nicolaus Bernoulli en 1713. El resultado matemático correcto (que tiene un valor infinito) y el sentido común humano realista (que solo querría pagar unos pocos dólares) están en una fuerte contradicción.

3. El descubrimiento de la “utilidad” que resuelve la discrepancia entre las matemáticas y los seres humanos

Quien resolvió esta paradoja fue el genial matemático Daniel Bernoulli, primo de Nicolaus. (Recibe este nombre porque presentó su artículo en la Academia de Ciencias de San Petersburgo).

Daniel profundizó en la psicología humana. Él pensó que “los seres humanos no juzgan las cosas por la ‘cantidad absoluta’ de dinero, sino por la ‘satisfacción (utilidad)’ que el dinero les proporciona”.

A esto se le llama la “ley de la utilidad marginal decreciente”.

El valor del dinero disminuye según la cantidad que poseas

Por ejemplo, si estás muriendo de sed en un desierto, el primer vaso de agua tiene un valor (satisfacción) por el que “pagarías hasta 10.000 dólares”. Sin embargo, a medida que bebes el segundo y tercer vaso, el valor de un vaso de agua disminuye gradualmente. Al llegar al décimo vaso, probablemente dirías “ya no lo quiero ni aunque sea gratis”.

Lo mismo ocurre con el dinero.

“10.000 dólares” para alguien con cero ahorros tienen un valor inmenso que puede salvarle la vida.
Sin embargo, “10.000 dólares” para Elon Musk, con un patrimonio de miles de millones, solo tienen el mismo valor (satisfacción) que una moneda tirada en la calle.

En otras palabras, aunque el premio aumente infinitamente de 2 dólares $\rightarrow$ 4 dólares $\rightarrow$ 8 dólares $\rightarrow$ 16 dólares…, la “alegría (utilidad)” que siente un ser humano no aumenta infinitamente en proporción a la cantidad.

4. Recalcular el valor esperado usando la “utilidad”

Daniel Bernoulli asumió que “el valor (utilidad) del dinero que siente un ser humano es proporcional al logaritmo ($\log$) de la cantidad”.

Si llamamos $x$ a la cantidad de dinero, expresemos el valor (utilidad) humano $u(x)$ mediante una función logarítmica (aquí consideraremos un modelo simple con base 2).

Utilidad de un premio de $2$ dólares: $\log_2(2) = 1$
Utilidad de un premio de $4$ dólares: $\log_2(4) = 2$
Utilidad de un premio de $8$ dólares: $\log_2(8) = 3$
Utilidad de un premio de $2^n$ dólares: $\log_2(2^n) = n$

La cantidad de dinero se duplica, pero la “alegría” humana solo aumenta poco a poco: 1, 2, 3… Usemos esta “utilidad” para calcular de nuevo el valor esperado (utilidad esperada).

$$ \text{Utilidad esperada} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Si calculamos la suma de esta serie infinita, el resultado no es “infinito”, sino que converge a “2”. Si calculamos a la inversa la cantidad de dinero que corresponde a una utilidad de “2”, obtenemos $2^2 = 4$ dólares.

Es decir, al recalcular incorporando la psicología humana (utilidad), obtenemos una respuesta extremadamente sensata y realista: “El valor de este juego, según la percepción humana, es de aproximadamente ‘4 dólares’”. Es por eso que no nos sentimos inclinados a pagar 10.000 dólares por jugar.

5. Resumen: La paradoja que abrió las puertas de la economía

La paradoja de San Petersburgo fue una paradoja revolucionaria que demostró matemáticamente que el número objetivo llamado “cantidad de dinero” y el valor subjetivo llamado “satisfacción humana” no concuerdan.

El concepto de “utilidad (Utility)” propuesto por Daniel Bernoulli se convirtió, tras 200 años, en la base más importante de la microeconomía moderna y la ingeniería financiera (como la teoría de carteras). Nuestro comportamiento de adquirir seguros o diversificar inversiones también se puede explicar completamente mediante este mecanismo psicológico humano de la “utilidad marginal decreciente (el dolor de una gran pérdida es mucho mayor que la alegría de una gran ganancia)”.

Un simple problema matemático sobre un juego de azar sirvió como catalizador para desentrañar la mente humana y dar origen a la vasta disciplina de la economía.

El dilema del prisionero: ¿Por qué tomamos decisiones donde "todos pierden"?

Thu, 10 Sep 2026 03:00:00 +0900

1. La elección definitiva: ¿Guardar silencio o traicionar?

Usted ha sido arrestado por la policía junto con un amigo cómplice como sospechoso de un delito. Los dos son puestos en salas de interrogatorio separadas y no pueden comunicarse entre sí de ninguna manera.

Dado que la policía no tiene pruebas completamente concluyentes, el fiscal les ofrece a usted y a su amigo el siguiente “acuerdo de culpabilidad”:

Si ambos “guardan silencio” (cooperan): Por falta de pruebas, ambos solo cumplirán 1 año de prisión.
Si usted “confiesa” (traiciona) y su amigo “guarda silencio”: Usted, que cooperó con la investigación, será absuelto (liberación inmediata), pero su amigo asumirá toda la culpa y recibirá 10 años de prisión. (Y viceversa).
Si ambos “confiesan” (se traicionan): Dado que ambos admitieron la culpa, sus sentencias se reducen ligeramente y ambos cumplen 5 años de prisión.

Entonces, ¿qué haría usted? ¿“Guardaría silencio” (cooperar con el otro)? ¿O “confesaría” (traicionar al otro)?

2. Análisis con la matriz de pagos

Organicemos esta situación en una “matriz de pagos” utilizada en la teoría de juegos. Los números en las celdas representan (sus años de prisión, años de prisión del amigo). Los números negativos significan pérdidas (años de prisión).

Usted \ Amigo	Guardar silencio (Cooperar)	Confesar (Traicionar)
Guardar silencio (Cooperar)	(-1, -1)	(-10, 0)
Confesar (Traicionar)	(0, -10)	(-5, -5)

Objetivamente, la mejor acción para ambos es clara. Si ambos “guardan silencio”, el tiempo total de prisión es de solo 2 años (-1 y -1). Este es el estado “Óptimo de Pareto”, donde se maximiza el beneficio total.

Sin embargo, si usted es una “persona racional que intenta maximizar solo su propio beneficio”, se llega a una conclusión completamente diferente.

3. ¿Por qué la “traición” se convierte en la opción racional?

Sigamos el proceso de pensamiento de predecir las acciones de su “amigo” en la otra habitación y decidir su propia acción.

Caso 1: Si predice que su amigo “guardará silencio”

Si usted también “guarda silencio”, cumple 1 año de prisión.
Si usted “confiesa”, es absuelto (liberación inmediata). $\rightarrow$ Como la absolución es mejor, “confesar (traicionar)” es óptimo.

Caso 2: Si predice que su amigo “confesará”

Si usted “guarda silencio”, cumple 10 años de prisión.
Si usted “confiesa”, cumple 5 años de prisión. $\rightarrow$ Como 5 años de prisión es menos malo, nuevamente “confesar (traicionar)” es óptimo.

¿Se ha dado cuenta? Sin importar qué acción tome la otra persona, para usted siempre es más ventajoso “confesar (traicionar)”. En la teoría de juegos, esto se llama una “estrategia dominante”.

Su amigo está en la misma situación y piensa exactamente de la misma manera racional, por lo que para su amigo, “confesar” también es la estrategia dominante.

Como resultado, ambos, pensando racionalmente, siempre elegirán “confesar (traicionar)”. El resultado final es que ambos reciben 5 años de prisión (-5, -5), que es casi el peor resultado en general. A pesar de que cooperando (guardando silencio) solo cumplirían 1 año, la búsqueda de la racionalidad individual termina perjudicándolos a ambos.

graph TD Start["Inicio de la elección"] --> Logic_You["Su pensamiento racional"] Start --> Logic_Friend["Pensamiento racional del amigo"] Logic_You -->|Si el otro calla, confesar es mejor
Si el otro confiesa, confesar es mejor| Betray_You["Usted elige confesar (traicionar)"] Logic_Friend -->|Si el otro calla, confesar es mejor
Si el otro confiesa, confesar es mejor| Betray_Friend["Su amigo elige confesar (traicionar)"] Betray_You --> Result["Resultado: Ambos confiesan (-5, -5)"] Betray_Friend --> Result Ideal["Ideal: Ambos guardan silencio (-1, -1)"] -.->|La racionalidad individual interfiere
y no se puede alcanzar| Result style Result fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Ideal fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px

Este estado, en el que “después de predecir la acción del otro, ninguno tiene motivos para cambiar de estrategia (ya no hay nada más que hacer)”, se denomina “Equilibrio de Nash”, en honor a John Nash, un maestro de la teoría de juegos.

El punto más aterrador del dilema del prisionero es que el “Óptimo de Pareto” (el mejor resultado para el conjunto) y el “Equilibrio de Nash” (el destino final de la racionalidad individual) no coinciden.

4. El “Dilema del prisionero” oculto en la sociedad cotidiana

El dilema del prisionero no es solo un acertijo. Muchos de los problemas de nuestra sociedad pueden explicarse con este modelo matemático.

1. Competencia de precios (Guerra de precios)

Dos empresas rivales venden un producto similar por 1000 yenes. Si ambas mantienen el precio en 1000 yenes (cooperación), ambas obtienen grandes beneficios. Sin embargo, ceden a la tentación de “vender un poco más barato que el otro (traición) para monopolizar a los clientes”, y ambas comienzan una guerra de precios. Como resultado, el producto baja a 500 yenes y ambas empresas sufren sin obtener beneficios (ambas traicionan).

2. Problemas ambientales y gases de efecto invernadero

Los países de todo el mundo prometen “reducir las emisiones de CO2 (cooperación)”. Esta es la solución óptima para todo el planeta. Sin embargo, al ignorar las restricciones de emisiones y operar sus fábricas (traición), un país puede hacer crecer rápidamente su propia economía. Por el contrario, si otros países traicionan pero su país sigue las reglas, su país sufrirá grandes pérdidas económicas. Como resultado, por temor a que otros se adelanten, todos los países eligen la traición y el medio ambiente global se destruye.

3. El problema del dopaje en el deporte

Lo ideal es que ningún atleta se dope (cooperación). Sin embargo, debido a la paranoia de que “el otro podría estar dopándose” o a la tentación de que “solo yo ganaré si me dopo”, eligen doparse (traición). Como resultado, todos caen en la peor situación, arruinando su salud y compitiendo llenos de drogas.

5. ¿Hay alguna solución? La estrategia “Toma y daca” (Tit for Tat)

En una transacción única, la “traición” es siempre la opción racional. Sin embargo, si se convierte en un “juego repetido con la misma persona (Dilema del prisionero iterado)”, la situación cambia drásticamente.

En la década de 1980, el politólogo Robert Axelrod organizó un torneo en el que programas de computadora con varias estrategias se enfrentaban entre sí. Entre estrategias complejas de académicos de todo el mundo, como “traicionar siempre”, “traicionar al azar” y “perdonar al oponente”, la que ganó por abrumadora ventaja fue la estrategia más simple: el “Toma y daca (Tit for Tat)”.

Las reglas de la estrategia “Toma y daca” son solo estas:

Al principio, siempre “coopera”.
A partir de ahí, imita exactamente “la acción que tomó el oponente” la última vez.
- Si el oponente cooperó la última vez, usted coopera esta vez.
- Si el oponente lo traicionó la última vez, usted lo traiciona y toma represalias esta vez.

La razón por la que esta estrategia es fuerte es que tiene cuatro características: “nunca traiciona primero (bondad)”, “castiga inmediatamente la traición (severidad)”, “perdona tan pronto como el oponente cambia de actitud (indulgencia)” y “su estructura es simple y fácil de entender para el oponente (claridad)”.

graph LR Start["1ra vez: Cooperar incondicionalmente"] --> Round2 Round2["Observar la acción del oponente"] -->|El oponente cooperó| Act_Coop["Yo también coopero"] Round2 -->|El oponente traicionó| Act_Betray["Yo también traiciono (represalia)"] Act_Coop --> Round2 Act_Betray -->|Si el oponente reflexiona
y vuelve a cooperar| Act_Coop

En las relaciones humanas o en la sociedad internacional, si existe la premisa de una relación a largo plazo, compartir la regla de “básicamente cooperar, pero penalizar la traición”, como la estrategia “Toma y daca”, nos permite superar el dilema del prisionero y construir relaciones de cooperación.

6. Conclusión: El valor de la “confianza” enseñado por las matemáticas

El dilema del prisionero demostró matemáticamente que la “racionalidad egoísta humana” a veces puede hundir a toda la sociedad en la desgracia. La racionalidad individual de “querer beneficiarse solo uno mismo” o “no querer ser engañado” finalmente conduce a un resultado (Equilibrio de Nash) que termina estrangulándolo a uno mismo.

Pero al mismo tiempo, la teoría de juegos también nos enseña que mientras exista la condición de que “la relación continúe a largo plazo”, “confiar y cooperar mutuamente” es en última instancia la estrategia más racional que también maximiza nuestro propio beneficio.

La próxima vez que dude si “hacer un poco de trampa solo usted”, intente recordar la matriz de pagos de este dilema del prisionero. Después de todo, una “traición racional” en busca de ganancias a corto plazo puede ser la opción más irracional a largo plazo.