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【Análisis Completo】¿Qué es una computadora cuántica? 〜El principio de cálculo definitivo desde cero〜

Sat, 05 Sep 2026 22:10:00 +0900

Introducción: El “cambio de paradigma computacional” que traen las computadoras cuánticas

En los últimos años, no hay un solo día en que no veamos el término “computadora cuántica” en las noticias o artículos técnicos. Historias que parecen sacadas de películas de ciencia ficción, como “cálculos que tomarían miles de años en las supercomputadoras actuales se terminarán en minutos” o “todas las tecnologías de cifrado actuales podrían ser descifradas”, se cuentan de forma muy persuasiva. Desde gigantes corporativos de TI como Google, IBM y Microsoft, hasta universidades y startups de todo el mundo, compiten ferozmente por llevar a la práctica esta tecnología de ensueño.

Sin embargo, cuando se nos pregunta, “¿qué es exactamente una computadora cuántica al final del día?”, pocos pueden responder con precisión. Muchas personas tienen una imagen vaga de una “caja mágica que puede calcular todas las combinaciones simultáneamente”, pero, estrictamente hablando, eso no es correcto.

En este artículo, explicaremos a fondo desde los conceptos básicos y de forma comprensible, a pesar de ser técnica, en qué se diferencian fundamentalmente las computadoras cuánticas de las computadoras clásicas (las PC y los teléfonos inteligentes que usamos habitualmente), y cómo fenómenos extraños de la mecánica cuántica como la “Superposición”, el “Entrelazamiento cuántico (Entanglement)” y las “Puertas cuánticas (Quantum gates)” se utilizan para el cálculo. Para cuando termines de leer este artículo, deberías comprender claramente la verdadera grandeza y los desafíos actuales de las computadoras cuánticas.

Capítulo 1: La diferencia crucial entre las computadoras clásicas y las computadoras cuánticas

Para entender cómo funciona una computadora cuántica, primero debemos repasar cómo funcionan las “computadoras clásicas” que usamos actualmente.

Tabla comparativa: Computadoras Clásicas vs Computadoras Cuánticas

Característica	Computadora Clásica	Computadora Cuántica
Unidad básica	Bit (0 o 1)	Qubit (superposición de 0 y 1)
Representación del estado	Determinista	Probabilística (no se determina hasta que se observa)
Método de cálculo	Procesamiento secuencial (requiere núcleos físicos para paralelizar)	Paralelismo cuántico (manipulación simultánea de un número exponencial de estados)
Cálculos en los que destaca	Operaciones aritméticas básicas, procesamiento de datos diarios	Factorización de números primos, química cuántica
Tolerancia a errores	Muy fuerte	Muy débil (requiere entornos criogénicos o corrección de errores)

El mundo de las computadoras clásicas: “Bits” de 0 o 1

Las computadoras clásicas representan toda la información en un estado de “0” o “1”. A esto se le llama Bit. Físicamente, esto se representa mediante la tensión de un transistor en un chip semiconductor: alta (1) o baja (0). Las fotos de alta calidad en tu teléfono inteligente, el texto que estás leyendo ahora y tus videos favoritos de YouTube se reducen en última instancia a una enorme cantidad de “secuencias de 0 y 1”. La computación es simplemente el proceso de aplicar operaciones a estas secuencias combinando circuitos lógicos fundamentales como AND (conjunción lógica), OR (disyunción lógica) y NOT (negación lógica). Este es un mundo muy seguro y determinista. Si las entradas son las mismas, siempre se obtiene el mismo resultado.

El mundo de las computadoras cuánticas: “Qubits” que son 0 y 1 al mismo tiempo

Por otro lado, la unidad mínima de información de una computadora cuántica se llama Qubit (bit cuántico). La mayor característica de un qubit es que no se encuentra solo en un estado de “0” o “1” como los bits clásicos, sino que puede tomar un estado en el que “0 y 1 se mezclan con cierta probabilidad”. A esto se le llama “Superposición” (Superposition).

Por ejemplo, si un bit clásico es una moneda sobre una mesa que muestra “cara” o “cruz”, a menudo se compara al qubit con “una moneda girando en el aire”. Una moneda girando no es ni cara ni cruz, sino una superposición de ambos estados. Y en el momento en que la moneda cae al suelo y se detiene (lo que en mecánica cuántica se llama “observación” o “medición”), solo entonces se determina si es “cara” o “cruz”.

Una computadora cuántica incorpora directamente en su proceso de procesamiento de información esta propiedad única del mundo microscópico (mecánica cuántica) de que “el estado no se determina hasta que es observado”.

Capítulo 2: Las 3 propiedades de la mecánica cuántica que revolucionarán el cálculo

La fuente del asombroso poder computacional de una computadora cuántica no se debe a que la velocidad del reloj sea alta o a que los componentes sean pequeños. Radica en el uso de las propias leyes de la física como recursos computacionales. Los siguientes tres fenómenos de la mecánica cuántica son la clave.

1. Superposición (Superposition) y la cantidad de información exponencial

Como se mencionó anteriormente, los qubits pueden mantener ambos estados de 0 y 1 simultáneamente. Un qubit es una “superposición de 0 y 1”, pero ¿qué sucede cuando se aumenta la cantidad de qubits?

1 qubit: superposición de 2 estados (0, 1)
2 qubits: superposición de 4 estados (00, 01, 10, 11)
3 qubits: superposición de 8 estados
N qubits: superposición de $2^N$ patrones

Con tan solo 50 qubits, se pueden mantener simultáneamente $2^{50}$ (aproximadamente 1.100 billones) estados. ¡Y con tan solo 300 qubits, puedes mantener a la vez $2^{300}$ patrones (¡más que el número de todos los átomos que existen en el universo!). Esta capacidad de retención de información exponencial es la base del potencial de la computadora cuántica. Físicamente es imposible que las computadoras clásicas almacenen un número de estados mayor al número de átomos en el universo en la memoria.

2. Entrelazamiento cuántico (Entanglement): la escalofriante acción a distancia

El entrelazamiento cuántico es un fenómeno tan contraintuitivo que Einstein lo llamó “espeluznante acción a distancia” y se negó a aceptarlo por el resto de su vida.

Cuando múltiples qubits se encuentran en un estado de “entrelazamiento cuántico”, se conectan fuertemente entre sí. Tienen una relación como si compartieran el mismo destino, en la que “cuando el estado de uno de ellos se determina, sin importar cuán lejos estén, el estado del otro se determina instantáneamente”.

Por ejemplo, supongamos que hay dos qubits A y B en estado de entrelazamiento (cada uno en un estado de superposición de 0 y 1). Si se observa A y resulta ser “0”, superando la velocidad de la luz que es el límite de la transmisión de información, el estado de B también se determina instantáneamente (por ejemplo, siempre será “1”). En las computadoras cuánticas, usar este entrelazamiento cuántico permite expresar correlaciones complejas entre múltiples qubits y llevar a cabo un procesamiento de información superparalelo. Sin el entrelazamiento, la potencia computacional de una computadora cuántica no sería muy diferente a la de una computadora clásica.

3. Interferencia Cuántica (Quantum Interference): La magia para revelar la respuesta correcta

Es posible que pienses: “Si puede contener todos los patrones al mismo tiempo, ¿no se pueden calcular en paralelo de una vez y obtener la respuesta en un instante?”. Este es el malentendido más común sobre las computadoras cuánticas. Incluso si haces los cálculos en un estado de superposición, finalmente debes “observar” para conocer la respuesta. Pero en el instante en que observas, el estado colapsa aleatoriamente en uno de los $2^N$ patrones. Así que solo obtendrías una respuesta completamente aleatoria.

Aquí es donde entra la “Interferencia cuántica” (Interference). Al igual que cuando chocan dos ondas, utilizamos el fenómeno de que cuando las fases coinciden se amplifican y cuando están desalineadas se cancelan mutuamente (esencialmente el mismo principio que los auriculares con cancelación de ruido).

Un excelente “algoritmo cuántico”, durante el proceso de cálculo, manipula hábilmente los estados cuánticos para que “las amplitudes de probabilidad de los estados (ondas) que conducen a la respuesta correcta se refuercen entre sí (amplificación)” y “las amplitudes de probabilidad de los estados que conducen a la respuesta incorrecta se cancelen (interferencia destructiva)”. Finalmente, cuando se observa, asegura que la “respuesta correcta” aparezca con una probabilidad cercana al 100%. El verdadero arte de la programación cuántica consiste en diseñar bien este proceso de interferencia.

Capítulo 3: ¿Cómo calculan? “Puertas cuánticas” y “Circuitos cuánticos”

De manera similar a cómo las computadoras clásicas realizan operaciones usando puertas lógicas (AND, OR, NOT, etc.), las computadoras cuánticas realizan operaciones aplicando “Puertas cuánticas” (Quantum Gates) a los qubits. Una combinación de múltiples puertas cuánticas se llama “Circuito cuántico” (Quantum Circuit).

El estado de un qubit se expresa matemáticamente como un punto en la superficie de una esfera tridimensional llamada “esfera de Bloch” (Bloch sphere). El polo norte es “0”, el polo sur es “1”, y el ecuador es “el estado de superposición donde 0 y 1 están mezclados por igual”. Las puertas cuánticas no son más que operaciones que giran el estado (vector) a lo largo de la superficie de esta esfera.

Permítanme presentarles algunas puertas cuánticas típicas.

1. Puerta Hadamard (Puerta H)

Esta es la puerta más fundamental exclusiva de las computadoras cuánticas y que no existe en las computadoras clásicas. Pasar un qubit en un estado perfecto de “0” a través de una puerta H crea un “estado de superposición perfecto” (un punto en el ecuador de la esfera de Bloch) en el que “0” y “1” se observan con una probabilidad exacta de la mitad cada uno. Como paso de inicialización en los cálculos cuánticos, muchos algoritmos comienzan aplicando la puerta H a todos los qubits.

2. Puertas de Pauli (Puertas X, Y, Z)

Estas puertas incluyen operaciones equivalentes a la puerta NOT (invierte el 0 en 1 y el 1 en 0) en las computadoras clásicas. Equivalen a girar 180 grados alrededor de los ejes X, Y y Z en la esfera de Bloch. Específicamente, la puerta X invierte el polo norte (0) al polo sur (1), por lo que funciona exactamente de la misma forma que una puerta NOT clásica. La puerta Z tiene el papel de invertir la “fase (como el ritmo de una ola)” de la superposición, lo que es extremadamente importante para causar interferencia cuántica.

3. Puerta CNOT (Puerta NOT controlada)

Es una puerta sumamente importante para crear entrelazamiento cuántico. Usa dos qubits (un bit de control y un bit objetivo). “Si el bit de control es 1, invierte el estado del bit objetivo (puerta X). Si el bit de control es 0, no hace nada”. Parece una simple bifurcación de condición IF, pero ¿qué pasa si el bit de control está en un “estado de superposición de 0 y 1”? El bit objetivo queda en un “estado de superposición de uno invertido y uno no invertido”, y el destino de ambos bits se vincula por completo. Con brillantez, los dos qubits se “entrelazan”.

Colocando y aplicando estas puertas en orden de izquierda a derecha como si se tratara de la partitura de una música, se ejecutan algoritmos complejos.

Capítulo 4: ¿En qué son buenas las computadoras cuánticas y en qué son malas?

Debo decirte un hecho importante: las computadoras cuánticas no son dioses omnipotentes. Para tareas cotidianas como navegar por la web, renderizar videos, procesar macros de Excel o el funcionamiento general de las aplicaciones de los teléfonos inteligentes, es probable que las computadoras cuánticas nunca superen a las clásicas. Estos procesos secuenciales ya están altamente optimizados y las computadoras clásicas, debido a su velocidad abrumadora y su bajo costo, son más adecuadas.

El verdadero valor de las computadoras cuánticas se desata únicamente en “problemas específicos donde las combinaciones computacionales estallan exponencialmente en computadoras clásicas, llevando un tiempo del tamaño de la vida del universo”. A esto se lo llama “Supremacía Cuántica” (Quantum Supremacy) o “Ventaja Cuántica” (Quantum Advantage).

En lo que destacan las computadoras cuánticas (Aplicaciones asesinas)

1. Factorización y descifrado de códigos (Algoritmo de Shor)

Actualmente, el “cifrado RSA”, que protege las comunicaciones seguras en Internet (pagos con tarjeta de crédito, transmisión de información personal, etc.), se basa en la premisa de que “la factorización de números gigantes es prácticamente imposible (toma una cantidad asombrosa de tiempo) para las computadoras clásicas”. Sin embargo, al utilizar el “algoritmo de Shor” descubierto por el matemático Peter Shor en 1994, las computadoras cuánticas pueden resolver esto a una velocidad dramática (tiempo polinómico) al explotar hábilmente la interferencia. Por este motivo, existe el riesgo de que el actual sistema criptográfico colapse en el futuro, y los bancos centrales y las agencias gubernamentales de todo el mundo se apresuran a migrar a la “Criptografía Post-Cuántica” (Post-Quantum Cryptography).

2. Cálculos de química cuántica y desarrollo de nuevos materiales / fármacos

El comportamiento de las moléculas y los átomos en la naturaleza obedece inherentemente a las leyes de la mecánica cuántica. Tratar de simular el comportamiento de moléculas complejas con computadoras clásicas resulta en una explosión de combinaciones de interacciones electrónicas, topando con los límites del cómputo incluso con moléculas relativamente pequeñas. Como dijo el físico ganador del premio Nobel Richard Feynman: “Si quieres simular la naturaleza, tienes que hacerlo mediante la mecánica cuántica”. Las computadoras cuánticas desatan un poder nativo abrumador en la simulación de materia. Se esperan grandes avances que resuelvan los desafíos de la humanidad, como el diseño de nuevos medicamentos revolucionarios, el descubrimiento de materiales superconductores a temperatura ambiente, el desarrollo de materiales de baterías y células solares altamente eficientes, o la síntesis de fertilizantes energéticamente eficientes.

3. Problemas de optimización combinatoria y búsqueda (Algoritmo de Grover)

Los algoritmos cuánticos también son potentes en problemas en los que hay que encontrar la mejor opción entre una inmensa cantidad de alternativas (optimización de rutas de logística, optimización de carteras financieras, etc.). El “algoritmo de Grover” permite encontrar los datos deseados de bases de datos desestructuradas en una cantidad de intentos igual a la raíz cuadrada de las que requeriría una computadora clásica. Por ejemplo, si hay 100 millones de datos, la búsqueda que requeriría un máximo de 100 millones de iteraciones a nivel clásico podría completarse en solo unas 10.000 iteraciones.

Capítulo 5: El muro de hardware por superar, la “Decoherencia” y la “Corrección de errores cuánticos”

Aunque en teoría son computadoras asombrosamente potentes, el camino hacia el uso práctico está bloqueado por un muro físico extremadamente alto y empinado. Su mayor enemigo es el “Ruido”.

La “superposición” y el “entrelazamiento cuántico” de los qubits son estados extremadamente frágiles. Al tocar siquiera una mínima cantidad de calor del entorno, una fluctuación electromagnética o rayos cósmicos, el estado mágico colapsa en un instante, convirtiéndose en un bit clásico ordinario. A este fenómeno se le conoce como “Decoherencia” (Decoherence).

La feroz competencia de los métodos de realización física

En la actualidad, hay investigaciones en todo el mundo y una batalla por la hegemonía sobre cómo crear físicamente estos delicados qubits.

Método de superconductores (Superconducting): Adoptado por Google, IBM, Amazon, etc. Utilizan circuitos superconductores en forma de bucle y se enfrían con refrigeradores gigantescos a temperaturas ultrabajas cercanas al cero absoluto (aprox. -273°C) para controlar los estados cuánticos. Hoy en día es el método más avanzado y en el que es más fácil incrementar los qubits, pero los dispositivos de refrigeración son gigantes y caros.
Método de trampa de iones (Trapped Ion): Adoptado por IonQ, Quantinuum, etc. Confinan iones (átomos) en el vacío mediante campos electromagnéticos y los controlan disparando láseres precisos. Su ventaja es que todos los qubits son idénticos y pueden mantener el estado durante mucho tiempo (tiempo de coherencia prolongado), pero la velocidad de operación es más lenta que el método de superconductores.
Método de fotónica cuántica (Photonic): Fomentado por PsiQuantum, etc. Usa partículas de luz (fotones). Muchas partes pueden operar a temperatura ambiente sin necesidad de criogenia, lo que ofrece la enorme ventaja de la compatibilidad con las tecnologías actuales de fabricación de chips de silicio y transmisión por fibra óptica.
Método topológico (Topological): Investigado a largo plazo por Microsoft. Aprovecha las propiedades topológicas de partículas especiales llamadas “anyones”, con un enfoque ambicioso de crear qubits fundamentalmente resistentes al ruido ambiental (menos propensos a errores). Teóricamente es el mejor, pero se considera que su obstáculo de realización física es el más alto.

El camino al objetivo final: “Computadora Cuántica Tolerante a Fallos (FTQC)”

En el mundo actual de las computadoras clásicas también existen los errores de cálculo (inversión de bits por los rayos cósmicos, etc.), pero al ser corregidos a la perfección mediante “códigos de corrección de errores”, podemos usar nuestros teléfonos inteligentes sin jamás ser conscientes de los fallos. Para que una computadora cuántica realice cálculos a gran escala a nivel práctico, es indispensable una “Corrección de errores cuánticos (Quantum Error Correction: QEC)” similar.

Sin embargo, dado que los estados cuánticos se “rompen al ser observados”, existe un dilema letal, ya que el contenido no se puede observar directamente para comprobar el error. Para evitar esto, se ha establecido la teoría de combinar hábilmente muchos “qubits físicos” inestables para construir un “qubit lógico” estable que sea capaz de detectar y rectificar fallos (como el código de superficie). Aun así, se dice que construir un solo qubit lógico requiere entre 1.000 y 10.000 qubits físicos. Para ejecutar algoritmos como el de Shor utilizando miles de qubits lógicos, se necesitará un sistema enorme con entre millones y decenas de millones de qubits físicos.

En este momento estamos en lo que se llama la era de los dispositivos NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum: Cuántica de Escala Intermedia Ruidosa). Es una fase de transición para máquinas que operan con docenas a cientos de qubits, sin corrección de errores. El objetivo final de una “Computadora Cuántica Tolerante a Fallos (Fault-Tolerant Quantum Computer: FTQC)” plenamente dotada con corrección de errores, requerirá aún otra década o más de investigación y desarrollo, según pronostican los expertos.

Capítulo 6: La historia y perspectivas a futuro de la computadora cuántica

Finalmente, demos un vistazo a cómo nacieron las computadoras cuánticas y adónde se dirigen.

Desde el nacimiento de la teoría hasta la prueba de la “Supremacía Cuántica”

Años 1980: Los físicos Paul Benioff y Richard Feynman propusieron el concepto de computadoras basadas en los principios de la mecánica cuántica. Todo empezó con la frase “si vas a simular la naturaleza, usa la mecánica cuántica”.
1994: Peter Shor publicó el algoritmo cuántico de factorización (el algoritmo de Shor). Impactó al mundo, provocando una avalancha de grandes fondos de investigación.
1996: Lov Grover publicó el algoritmo de Grover, que acelera la búsqueda de datos.
**2019 **: Hito histórico. Google, usando un procesador superconductor de 53 qubits llamado “Sycamore”, anunció que la supercomputadora clásica tardaría 10.000 años en calcular una verificación de generación de números aleatorios, que ellos habían completado en unos 200 segundos. Como la primera demostración de “Supremacía Cuántica” (Quantum Supremacy) del mundo, fue un tema inmenso (luego IBM y otros mejoraron el algoritmo del lado clásico argumentando que era calculable en un par de días, produciendo debates candentes).
A partir del 2023: IBM anunció el procesador “Condor”, que supera los 1000 qubits. Además, la Universidad de Harvard y otras han tenido éxito en la generación y operación de “qubits lógicos”, con los primeros informes que demuestran una sucesión de las primeras pruebas de tecnologías de corrección de errores.

Hacia la tecnología de la próxima generación

Una computadora cuántica no es solo una “CPU de nueva generación con una velocidad de reloj más rápida”. Se trata de un cambio de paradigma en la informática en el cual el concepto mismo de calcular se reescribe desde sus raíces bajo las normas de la mecánica cuántica que gobiernan el mundo microscópico.

No vamos a tener a lo largo de nuestra vida un “smartphone cuántico personal” en nuestros bolsillos (no es necesario). Sin embargo, seguro se acerca el futuro en el que los enormes centros de datos cuánticos, más allá de redes en la nube como AWS o Azure, un día repentinamente encuentren la cura milagrosa para una enfermedad incurable o identifiquen los soñados materiales para una energía limpia que solucionarán el calentamiento global (por ejemplo, catalizadores para sintetizar amoníaco desde el nitrógeno del aire a temperatura ambiente).

Ahora seguimos en el equivalente al inicio de los años 40, al igual que ENIAC, con sus tarjetas perforadas y un cuarto ardiendo de calor por enormes tubos de vacío. No obstante, ingenieros e investigadores de primer nivel de todo el mundo dedican toda su sabiduría al esfuerzo, e informes con innovaciones técnicas llegan a diario. Nosotros, que podemos presenciar la evolución de este nuevo “amanecer computacional” en tiempo real, podríamos decir que vivimos en una era excepcionalmente emocionante de la historia.

Las puertas al mundo cuántico acaban de abrirse. No podemos quitarle los ojos a las futuras tendencias.

Este artículo tiene la intención de explicar los conceptos básicos de la computación cuántica de manera comprensible a personas del mundo de los negocios y el público general interesado en tecnología. Tenga en cuenta que ha sido en parte simplificado, omitiendo las definiciones matemáticas y físicas estrictas (como los detalles de la notación bra-ket y de la amplitud de probabilidad compleja).

¿Realmente las computadoras cuánticas destruirán el cifrado RSA? ~ El algoritmo de Shor y el estado actual ~

Sat, 05 Sep 2026 22:09:21 +0900

Introducción: La intersección entre la criptografía y la computación cuántica

En la sociedad de Internet moderna, la base para proteger el secreto de las comunicaciones es la “criptografía de clave pública”. Entre ellas, un representante típico es el “cifrado RSA”, desarrollado en 1977 por Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman. Desde los pagos en compras en línea que utilizamos todos los días, la navegación de sitios web (HTTPS) hasta el envío y recepción de correos electrónicos, el cifrado RSA funciona como el corazón de la infraestructura de Internet.

Sin embargo, con la llegada de las “computadoras cuánticas”, se ha señalado la posibilidad de que esta seguridad se vea socavada desde sus cimientos. A veces, en los medios de comunicación aparecen titulares sensacionalistas como: “Si se perfecciona la computadora cuántica, las contraseñas y códigos de todo el mundo serán descifrados en segundos”. Pero, ¿es esto realmente cierto?

En este artículo, profundizaremos en los mecanismos del GNFS (Criba General del Cuerpo de Números), que es un método clásico de criptoanálisis, y el “Algoritmo de Shor” (Shor’s Algorithm), que es la versión definitiva del algoritmo de descifrado utilizando computadoras cuánticas. Explicaremos de manera sencilla conceptos avanzados como la transformada cuántica de Fourier y el hallazgo de períodos, y examinaremos en detalle el estado actual del hardware cuántico en la era actual NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) y los obstáculos necesarios para romper realmente RSA-2048.

La base del cifrado RSA: La dificultad de la factorización de enteros

La seguridad del cifrado RSA depende de una asimetría extremadamente simple en matemáticas. Es el hecho de que “multiplicar dos números primos gigantescos es fácil, pero encontrar (factorizar) los dos números primos originales a partir del resultado multiplicado (número compuesto) es extremadamente difícil”.

Por ejemplo, supongamos que hay dos números primos $ p = 61 $ y $ q = 53 $. Calcular esta multiplicación $ N = p \times q = 3233 $ es instantáneo. Sin embargo, si solo se da el número “3233” y se nos pide resolver “¿de qué números primos es esta la multiplicación?”, a medida que el número crece, la cantidad de cálculo explota exponencialmente.

En el RSA-2048, que es la corriente principal en la actualidad, la longitud de la clave es de 2048 bits, es decir, se utiliza un gigantesco número compuesto $ N $ de unos 617 dígitos decimales. Si este $ N $ pudiera ser factorizado, el cifrado estaría prácticamente descifrado.

El desafío de las computadoras clásicas: GNFS (Criba General del Cuerpo de Números)

Para resolver el problema de la factorización, matemáticos y criptógrafos han desarrollado varios algoritmos a lo largo de los años. Entre ellos, el que actualmente se considera el más rápido en computadoras clásicas es la Criba General del Cuerpo de Números (GNFS: General Number Field Sieve).

GNFS es un método para factorizar un número gigantesco $ N $ extendiendo el cálculo en el anillo de enteros a un cuerpo de números algebraicos más abstracto (Number Field) para su análisis. El flujo general es el siguiente:

Selección de polinomios : Encontrar un polinomio $ f(x) $ con el grado y los coeficientes adecuados que tenga a $ N $ como raíz.
Recopilación de datos (cribado) : Buscar en el cuerpo de los números racionales y en el cuerpo algebraico una gran cantidad de pares de números que se puedan descomponer en números primos pequeños (números suaves, Smooth numbers). Este proceso se llama “cribado” y es la parte que requiere más tiempo.
Generación y reducción de matrices : Generar una matriz dispersa gigante (una matriz donde la mayoría de los componentes son 0) basada en las relaciones recopiladas, y usar métodos de álgebra lineal (como el método de Block-Lanczos) para encontrar una solución.
Cálculo de raíces cuadradas : Finalmente, calcular la raíz cuadrada sobre el cuerpo algebraico para derivar los factores (factores primos) de $ N $.

La complejidad computacional de GNFS se evalúa asintóticamente como $ O(\exp((\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)) (\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})) $. Esto se llama complejidad temporal “subexponencial” (Sub-exponential). Aunque es más rápido que el tiempo exponencial, es mucho más lento que el tiempo polinómico (Polynomial time).

De hecho, en 2020, un equipo de investigación internacional logró factorizar el RSA-250 (un número compuesto de 829 bits y 250 dígitos) utilizando GNFS. Este cálculo consumió un enorme tiempo de computación de aproximadamente 2700 CPU core-años, reuniendo recursos informáticos de todo el mundo. Sin embargo, cuando se trata de 2048 bits, se menciona que la cantidad de cálculo necesaria aumentaría a billones de veces la edad del universo, por lo que no importa cuántas supercomputadoras actuales funcionen en paralelo, es imposible descifrarlo en un tiempo realista utilizando métodos clásicos.

La carta de triunfo de la computadora cuántica: El algoritmo de Shor

Aquí es donde entra en juego el “Algoritmo de Shor”, publicado por Peter Shor en 1994. Este algoritmo fue revolucionario al poder resolver el problema de la factorización de enteros en una computadora cuántica en tiempo polinómico ( $ O((\log N)^3) $ ). La diferencia entre el tiempo subexponencial y el tiempo polinómico es decisiva, lo que significa que, en teoría, el uso de una computadora cuántica destruiría por completo el cifrado RSA.

Flujo general del algoritmo de Shor

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graph TD
 A[Ingresar el número N a factorizar] --> B[Seleccionar un número entero aleatorio a]
 B --> C{Máximo común divisor<br>de a y N}
 C -->|Mayor que 1| D[¡Afortunadamente encontramos un factor primo!]
 C -->|1 Coprimos| E[Turno de la computadora cuántica]
 E --> F[Encontrar el período r de la función<br>f_x = a^x mod N mediante<br>la transformada cuántica de Fourier]
 F --> G{¿Es el período r par y<br>a^r/2 ≢ -1 mod N?}
 G -->|Sí| H[Calcular el máximo común divisor gcd_a^r/2 ± 1, N]
 H --> I((¡Factorización exitosa!))
 G -->|No| B

El algoritmo de Shor no resuelve directamente el problema de la factorización, sino que utiliza teoremas de la teoría de números para convertirlo en otro problema llamado “Problema de hallazgo de períodos” (Period Finding Problem), y aborda resolverlo rápidamente aprovechando las características de las computadoras cuánticas.

Paso 1: Reducción de la factorización al problema de hallazgo de períodos (Procesamiento clásico)

El primer paso del algoritmo se realiza en una computadora clásica. Para el número $ N $ que queremos factorizar, elegimos un entero aleatorio $ a $ ( $ 1 < a < N $ ) que sea coprimo con $ N $ (su máximo común divisor es 1). Si, por casualidad, el máximo común divisor no es 1, entonces el divisor común encontrado en ese punto es un factor primo de $ N $ y el descifrado está completo, pero la probabilidad es extremadamente baja.

Luego, consideramos la siguiente secuencia de ecuaciones modulares: $ f(x) = a^x \pmod N $

Si sustituimos $ x = 1, 2, 3, \dots $ en esta función $ f(x) $, los valores parecen ser aleatorios, pero dado que estamos calculando dentro de un rango finito, inevitablemente volverá al valor original en algún punto y repetirá la misma secuencia de números. A este período de repetición lo llamamos $ r $. Es decir, $ a^r \equiv 1 \pmod N $ El problema de encontrar el entero positivo más pequeño $ r $ que cumpla con esto, es el “Problema de hallazgo de períodos”.

Si se encuentra este período $ r $, y si $ r $ es par, entonces $ a^r - 1 \equiv 0 \pmod N $, y usando la fórmula de factorización se puede transformar en: $ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $ A partir de aquí, al calcular el máximo común divisor de $ N $ y $ a^{r/2} \pm 1 $ usando el algoritmo de Euclides, se puede obtener un factor primo de $ N $ con una probabilidad extremadamente alta.

Para encontrar el período $ r $ en una computadora clásica, en última instancia, se requieren pasos exponenciales y no se puede acelerar. Sin embargo, una computadora cuántica puede encontrar este período $ r $ en un instante (en tiempo polinómico).

Paso 2: Preparación del estado cuántico y superposición

A partir de aquí es el turno de la computadora cuántica. Las computadoras cuánticas utilizan “cúbits” (Qubits) que pueden tener los estados “0” y “1” simultáneamente. En el algoritmo de Shor, se preparan dos registros: un registro para almacenar la entrada (el primer registro) y un registro para almacenar los resultados del cálculo (el segundo registro).

Primero, se aplica una operación de puerta cuántica llamada Puerta de Hadamard (Hadamard gate) a todos los cúbits del primer registro. Como resultado, el primer registro se convierte en un estado de superposición uniforme de todos los valores posibles de $ x $ (desde $ 0 $ hasta $ 2^n-1 $, donde $ n $ es un número de bits suficientemente grande).

En otras palabras, dentro de la computadora cuántica se crea un estado en el que existen de manera simultánea y paralela innumerables valores de entrada $ x=0, 1, 2, 3, \dots $.

Paso 3: Exponenciación modular cuántica (Quantum Modular Exponentiation)

A continuación, tomando el estado de superposición del primer registro como entrada, calculamos $ f(x) = a^x \pmod N $ y almacenamos el resultado en el segundo registro. Dado que este cálculo se ejecuta como una transformación unitaria en el circuito cuántico, el cálculo de $ f(x) $ para todos los $ x $ se realiza “simultáneamente y en paralelo (paralelismo cuántico)” manteniendo la superposición.

En este punto, el espacio general del sistema cuántico es: $ |x, a^x \bmod N\rangle $ que es una enorme superposición de estados.

Sin embargo, si simplemente medimos (observamos) el segundo registro aquí, un valor aleatorio de $ a^x \bmod N $ se elegirá probabilísticamente, y en conjunto con esto, el $ x $ del primer registro también se fijará a uno solo. Hacer esto equivaldría a calcularlo una vez en una computadora clásica y no nos permitiría encontrar el período $ r $.

Bajo las reglas de la mecánica cuántica, no podemos mirar directamente el contenido de un estado de superposición. Entonces, ¿cómo extraemos la información global, que es el “período” de todo el sistema?

Paso 4: Transformada Cuántica de Fourier (QFT: Quantum Fourier Transform)

La verdadera genialidad del algoritmo de Shor para superar este obstáculo es la aplicación de la Transformada Cuántica de Fourier (QFT) al primer registro.

Antes de realizar la medición, analizamos las propiedades de onda de la función $ f(x) $. Supongamos que observamos el segundo registro. Asumamos que se obtuvo un valor $ y $. Entonces, el estado del primer registro colapsa en “la superposición de todos los $ x $ tal que $ a^x \pmod N = y $”. Los valores de este $ x $ estarán separados por un intervalo del período $ r $ de la forma $ x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, x_0 + 3r, \dots $, resultando en un estado discretamente alineado (una especie de distribución de amplitud de probabilidad en forma de peine).

Aplicamos la Transformada Cuántica de Fourier (QFT) a este estado. Así como la transformada discreta de Fourier clásica convierte una señal en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, la QFT causa interferencia en las amplitudes de probabilidad del estado cuántico.

Al aplicar la QFT, debido al efecto de interferencia cuántica, las probabilidades de respuestas incorrectas que no resuenan (están desfasadas) con el período $ r $ se anulan mutuamente y se acercan a cero (interferencia destructiva), y solo se amplifica la probabilidad de la respuesta correcta que tiene la información del período $ r $ (interferencia constructiva).

Paso 5: Medición y expansión en fracciones continuas (Post-procesamiento clásico)

Si se mide el primer registro después de aplicar la QFT, con una probabilidad muy alta se obtendrá un entero $ c $ muy cercano a la forma $ c \approx \frac{j \cdot 2^n}{r} $ (donde $ j $ es un número entero desconocido y $ 2^n $ es el tamaño del registro).

Este resultado de medición $ c $ se devuelve a la computadora clásica para crear una fracción $ \frac{c}{2^n} \approx \frac{j}{r} $. Luego, calculando una aproximación utilizando un método matemático llamado “expansión en fracciones continuas” (Continued fraction expansion), podemos extraer de manera brillante el período $ r $ que está en el denominador.

Una vez que conocemos $ r $, todo lo que queda es usar la fórmula del Paso 1 para calcular los factores primos de $ N $ y el cifrado RSA estará completamente descifrado.

El poder y los desafíos de las computadoras cuánticas actuales (NISQ)

El algoritmo de Shor es teóricamente perfecto, pero si se pregunta “¿Se romperá el cifrado RSA mañana?”, la respuesta es claramente “no”. La razón radica en las limitaciones de la tecnología de hardware de las computadoras cuánticas actuales.

La era NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum)

En la actualidad nos encontramos en una era llamada “NISQ”. Los dispositivos NISQ tienen decenas a cientos de cúbits físicos, pero son extremadamente vulnerables al ruido.

Los cúbits son susceptibles a influencias ambientales externas como el calor y las ondas electromagnéticas, lo que hace que ocurra con frecuencia la “decoherencia” (pérdida de entrelazamiento cuántico), que destruye el estado cuántico, o los “errores de puerta” al operar las puertas cuánticas. Si se intenta ejecutar un circuito cuántico muy profundo (con una cantidad masiva de pasos de cálculo) como el algoritmo de Shor, los errores se acumulan durante el cálculo y el resultado final será ruido completo sin significado.

Cúbits físicos y cúbits lógicos

Para resolver este problema de errores, es indispensable la “Corrección de errores cuánticos” (Quantum Error Correction). Aunque también se utilizan códigos de corrección de errores en las computadoras clásicas, la corrección de errores cuánticos es muy compleja debido al “Teorema de no clonación cuántica” que prohíbe copiar estados cuánticos.

En la corrección de errores cuánticos, se utilizan tecnologías como el “Código de superficie” (Surface Code) para combinar muchos “cúbits físicos” ruidosos, y así crear un “cúbit lógico” ideal y sin errores.

Teniendo en cuenta las tasas de error actuales, se estima que se necesitarán aproximadamente de 1,000 a 10,000 cúbits físicos para crear un solo cúbit lógico. Esto se denomina la “sobrecarga de la corrección de errores”.

¿Cuáles son los recursos necesarios para destruir RSA-2048?

Entonces, para descifrar realmente RSA-2048, ¿cuántos recursos se necesitan para ejecutar el algoritmo de Shor?

En una estimación de recursos revolucionaria realizada en un artículo de 2021 por Craig Gidney (Google) y Martin Ekerå, utilizando un algoritmo de Shor optimizado y realizando la corrección de errores con código de superficie, se requerirían los siguientes recursos:

Número de cúbits lógicos : Aproximadamente 4,096
Número de cúbits físicos ** : ** Aproximadamente 20 millones (asumiendo una tasa de error de alrededor de $10^{-3}$)
Tiempo de cálculo : Aproximadamente 8 horas (se requieren de millones a miles de millones de operaciones de puertas físicas)

Por el contrario, ¿cuál es el nivel alcanzado por el hardware cuántico actual? A finales de 2023, el procesador cuántico superconductor “Condor”, anunciado por IBM, tiene 1,121 cúbits. Además, también han aparecido investigaciones innovadoras sobre la generación de cúbits lógicos (como la generación de 48 cúbits lógicos utilizando una computadora cuántica de átomos neutros por la Universidad de Harvard y la empresa QuEra), pero aún no estamos en la etapa en que se puedan ejecutar “cálculos perfectos sin ruido” de manera continua y prolongada.

Para escalar desde unos miles de cúbits físicos hasta 20 millones de cúbits físicos prácticos (y un sistema interconectado, operando de manera estable a temperaturas criogénicas y capaz de procesar señales de control a ultra alta velocidad) existe un muro de ingeniería tremendo (problemas de cableado, límites de capacidad de enfriamiento y la expansión excesiva de la electrónica de control). Muchos expertos predicen que tomará al menos de 10 a 30 años, o incluso más, lograr una “Computadora cuántica tolerante a fallas (FTQC)” capaz de descifrar RSA-2048.

La inminente amenaza de “Store Now, Decrypt Later” y el amanecer de PQC

Es prematuro pensar: “Si faltan más de 10 años, estamos a salvo”. Actualmente existen datos cuyo secreto debe garantizarse durante décadas en el futuro, como la información confidencial del estado, los datos médicos y el diseño de infraestructura a largo plazo.

Lo que preocupa aquí es el método de ataque “Store Now, Decrypt Later” (Almacenar ahora, descifrar después) . Estados u organizaciones malintencionadas interceptan todos los datos de comunicaciones cifrados actualmente con RSA o ECC (Criptografía de curva elíptica) y los guardan en sistemas de almacenamiento. Luego, dentro de 10 o 20 años, en el momento en que se complete una poderosa computadora cuántica, utilizarán el algoritmo de Shor para descifrar todos los datos pasados y exponer los secretos.

Para contrarrestar la amenaza de este desfase temporal, el proceso de estandarización de la “Criptografía Post-Cuántica (PQC: Post-Quantum Cryptography)” ha avanzado a un ritmo acelerado, centrado principalmente en el NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU.).

PQC es un nuevo algoritmo criptográfico basado en problemas matemáticos que son difíciles de resolver incluso utilizando computadoras cuánticas (es decir, a los que no se puede aplicar el algoritmo de Shor). Los enfoques principales incluyen los siguientes:

Criptografía basada en retículos (Lattice-based cryptography) : Basado en el problema LWE (Learning with Errors), entre otros. Es la corriente principal en la estandarización del NIST (Kyber, Dilithium, etc.).
Criptografía basada en códigos (Code-based cryptography) : Depende de la dificultad del problema de decodificar códigos de corrección de errores.
Criptografía multivariante (Multivariate cryptography) : Depende de la dificultad de resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas con múltiples variables.
Firmas basadas en hash (Hash-based signatures) : Firmas digitales que dependen únicamente de la seguridad de la función hash.

Ya se han iniciado las pruebas de implementación y las implementaciones híbridas de PQC en los principales software y plataformas, como Google Chrome y el iMessage de Apple.

Conclusión

Las computadoras cuánticas están pasando de ser el sueño del mundo de la ciencia ficción a un desafío de ingeniería en la realidad. El algoritmo de Shor es un gran logro intelectual de la humanidad que fusiona las matemáticas y la mecánica cuántica, pero al mismo tiempo tiene un “poder destructivo” oculto que puede sacudir los cimientos de nuestra sociedad digital.

El cifrado RSA no quedará inutilizable inmediatamente mañana. Sin embargo, considerando la evolución de la tecnología cuántica y el riesgo de “Store Now, Decrypt Later”, la migración masiva en la historia de la criptografía, que es la transición a PQC, ya ha comenzado. Ahora mismo somos testigos de la primera línea de un cambio de paradigma en la seguridad de la información.

[Consideración matemática] ¿Por qué el algoritmo de descifrado 'GNFS' es derrotado por el algoritmo de Shor en la era cuántica?

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

La seguridad de la información en la sociedad de Internet moderna está protegida por sistemas de criptografía de clave pública como la criptografía RSA. La base de la seguridad del cifrado RSA depende del hecho de que “la factorización de números compuestos enormes es computacionalmente muy difícil”.

En este artículo, desentrañaremos el mecanismo matemático de la “Criba General del Cuerpo de Números” (General Number Field Sieve, GNFS), que es el algoritmo de factorización más fuerte en computadoras clásicas, y profundizaremos a través de fórmulas y diagramas conceptuales por qué es completamente derrotado por el “Algoritmo de Shor” descubierto por Peter Shor, y el cambio de paradigma que esto representa.

1. El enfoque de la factorización en la computación clásica: Desarrollo a partir del método de factorización de Fermat

El problema de factorización prima es encontrar los números primos $p, q$ tales que $N = p \times q$ para un número compuesto $N$ dado.

La idea básica se reduce a encontrar valores no triviales $x, y$ que satisfagan la siguiente congruencia:

$$ x^2 \equiv y^2 \pmod N $$

Transformando esto,

$$ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod N $$ $$ (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod N $$

Aquí, si $x \not\equiv \pm y \pmod N$, al calcular $\gcd(x-y, N)$ o $\gcd(x+y, N)$, podemos obtener un factor no trivial de $N$. Este hecho es la base de los algoritmos de factorización modernos como GNFS.

2. El algoritmo clásico más fuerte: Las profundidades de la “Criba General del Cuerpo de Números” (GNFS)

“GNFS” es el algoritmo de factorización más rápido conocido en la actualidad para computadoras clásicas. Su complejidad temporal requiere un tiempo subexponencial.

Complejidad del GNFS

Si el número de dígitos de $N$ es $b = \log_2 N$, la complejidad del GNFS se expresa de la siguiente manera:

$$ O\left( \exp \left( \left(\frac{64}{9} b\right)^{1/3} (\log b)^{2/3} \right) \right) $$

Como se puede ver en esta fórmula, el tiempo de cálculo no es polinomial, sino “tiempo subexponencial”, que es ligeramente más lento que el exponencial. Aun así, si el número de dígitos aumenta, el tiempo de cálculo aumenta astronómicamente.

Mecanismo matemático de GNFS

GNFS consta principalmente de 4 pasos:

Selección de polinomios (Polynomial Selection)
Criba (Sieving)
Reducción de matrices (Matrix Reduction)
Cálculo de raíz cuadrada (Square Root)

2.1. Selección de polinomios y cuerpos de números

Primero, seleccionamos polinomios irreducibles $f(x)$ y $g(x)$ con coeficientes enteros. Estos se configuran para tener una raíz común $m$ módulo $N$. Es decir,

$$ f(m) \equiv 0 \pmod N $$ $$ g(m) \equiv 0 \pmod N $$

Normalmente, $g(x)$ se elige como un polinomio de primer grado $g(x) = x - m$. Si hacemos que la raíz de $f(x)$ sea $\alpha$, construimos un “cuerpo de números” (Number Field) llamado $\mathbb{Q}(\alpha)$. Comparamos las operaciones en el anillo de $\mathbb{Q}(\alpha)$ y las operaciones en el anillo de enteros habitual $\mathbb{Z}$ a través del homomorfismo $\phi: \alpha \mapsto m$.

2.2. Criba (Sieving)

A continuación, buscamos una gran cantidad de pares de enteros coprimos $(a, b)$. El objetivo es encontrar pares tales que los dos valores siguientes sean “B-smooth” (compuestos solo por factores primos relativamente pequeños):

$a - bm$ (valor en el anillo de enteros)
$b^d f(a/b)$ (correspondiente a la norma $N(a - b\alpha)$ sobre el cuerpo de números)

Aquí se utiliza una técnica de búsqueda rápida llamada “criba” (Sieve). Esto extrae eficientemente pares $(a, b)$ que cumplen las condiciones de entre una enorme cantidad de candidatos.

2.3. Reducción de matrices (Linear Algebra over GF(2))

A partir de los pares recolectados $(a, b)$, formamos vectores de exponentes y encontramos el espacio nulo izquierdo de una enorme matriz dispersa sobre $\mathbb{F}_2$ (un cuerpo cuyos elementos son solo 0 y 1).

Encontramos el vector $v$ como solución para que las relaciones $ \prod (a_i - b_i m) $ y $ \prod (a_i - b_i \alpha) $ se conviertan ambas en elementos cuadrados. Esto no es más que resolver el sistema de ecuaciones lineales:

$$ M \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \pmod 2 $$

Aquí se aprovechan algoritmos numéricos avanzados como el algoritmo de Block Lanczos o el algoritmo de Block Wiedemann.

2.4. Cálculo de raíz cuadrada

Finalmente, extraemos raíces cuadradas tanto en el cuerpo de números como en el anillo de enteros para derivar la relación $x^2 \equiv y^2 \pmod N$. Luego, calculamos $\gcd(x-y, N)$ para obtener los factores.

3. El avance mediante computación cuántica: “Algoritmo de Shor”

Mientras que el GNFS requiere tiempo subexponencial, el “Algoritmo de Shor” introducido por Peter Shor en 1994 puede resolver este problema en “tiempo polinomial” utilizando una computadora cuántica.

Complejidad del Algoritmo de Shor

Cuando el número de qubits es $O(\log N)$, la complejidad temporal es:

$$ O((\log N)^3) $$

Esto significa que no causa una explosión exponencial con respecto al número de bits. Es un resultado sorprendente donde números compuestos enormes que excederían la vida útil del universo con “computación clásica”, pueden ser descifrados en unas pocas horas o días con “computación cuántica”.

Visión general del Algoritmo de Shor: Reducción al problema de búsqueda de períodos

El algoritmo de Shor reduce ingeniosamente el problema de factorización prima a un “problema de búsqueda de períodos”.

Elegir un entero aleatorio $a$ coprimo con $N$ ($1 < a < N$).
Definir la función $f(x) = a^x \bmod N$.
Encontrar el período $r$ de $f(x)$, es decir, el entero positivo mínimo $r$ tal que $a^r \equiv 1 \pmod N$.
Si $r$ es par, verificar si $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$ y calcular $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ para obtener los factores primos.

Esta “búsqueda del período $r$” en el paso 3 es el cuello de botella que requiere un tiempo exponencial en las computadoras clásicas, pero las computadoras cuánticas lo resuelven en un instante utilizando “superposición cuántica” y la “Transformada de Fourier Cuántica” (QFT).

4. Transformada de Fourier Cuántica (QFT) y Extracción de Períodos

Veamos en detalle a través de fórmulas la manipulación de estados cuánticos, que es el núcleo del algoritmo de Shor.

4.1. Generación de superposición cuántica

Primero, preparamos dos registros cuánticos. El registro 1 almacena el estado de superposición de la entrada $x$, y el registro 2 almacena el resultado de la función $f(x)$. Aplicamos la Transformada de Hadamard al estado inicial $|0\rangle |0\rangle$ para crear una superposición de todos los $x$ posibles.

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |0\rangle $$

(donde $Q$ es una potencia de 2 que satisface $N^2 \le Q < 2N^2$)

A continuación, utilizamos el oráculo cuántico $U_f$ para calcular $f(x) = a^x \bmod N$ y almacenarlo en el registro 2.

$$ |\psi_2\rangle = U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |a^x \bmod N\rangle $$

Supongamos que medimos el registro 2 aquí (en realidad, la estructura matemática es la misma incluso sin medir). Si se observa un cierto valor $y = a^{x_0} \bmod N$, el estado del registro 1 colapsa a una superposición de todos los $x$ tales que $f(x) = y$. Si el período es $r$, tales $x$ serán $x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, \dots$

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k=0}^{M-1} |x_0 + kr\rangle $$

(donde $M \approx Q/r$ es el número de términos)

Este estado contiene información sobre el período $r$, pero la medición directa solo arrojaría un $x_0 + kr$ aleatorio, por lo que el período $r$ sigue siendo desconocido. Aquí es donde entra en juego la QFT.

4.2. Aplicación de la Transformada de Fourier Cuántica

La QFT es una operación que realiza una transformada de Fourier discreta sobre las amplitudes de los estados cuánticos. La acción de la QFT sobre el estado $|x\rangle$ se define de la siguiente manera:

$$ \text{QFT} |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} e^{2\pi i \frac{xy}{Q}} |y\rangle $$

Al aplicar esto a $|\psi_3\rangle$, ocurre una interferencia de fase (interferencia cuántica).

$$ |\psi_4\rangle = \text{QFT} |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{MQ}} \sum_{y=0}^{Q-1} \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{(x_0 + kr)y}{Q}} |y\rangle $$

Expandiendo la suma en esta fórmula,

$$ \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{kry}{Q}} $$

Aparece esta parte. La suma de esta serie geométrica se refuerza constructivamente solo cuando $ry/Q$ está cerca de un entero (Interferencia constructiva), y de lo contrario se cancela mutuamente (Interferencia destructiva).

Por lo tanto, el estado $|y\rangle$ medido con alta probabilidad es un entero $y$ que satisface la condición:

$$ \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

(donde $c$ es algún entero).

4.3. Identificación de períodos mediante expansión en fracciones continuas

Después de obtener $y$ mediante medición, usamos una computadora clásica para realizar la “expansión en fracciones continuas” (Continued Fraction Expansion) de $y/Q$. Esto nos permite calcular la fracción aproximada $c/r$ de $y/Q$ y extraer eficientemente los candidatos para el período $r$ a partir del denominador.

5. Comparación de modelos conceptuales y el cambio de paradigma

Para entender intuitivamente la diferencia entre GNFS y el algoritmo de Shor, mostramos un diagrama conceptual utilizando sintaxis Mermaid.

Diagrama conceptual del algoritmo de Shor mediante circuito cuántico

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graph TD
 A[Estado inicial: 0...0] --> B[Superposición de todos los estados por Transformada de Hadamard]
 B --> C[Operación de exponenciación modular a^x mod N]
 C -->|Entrelazamiento cuántico| D[Colapso a un estado con periodicidad]
 D --> E[Transformada de Fourier Cuántica QFT]
 E -->|Amplificación de probabilidad por interferencia| F[Medición: Obtener y]
 F --> G[Procesamiento clásico: Expansión en fracciones continuas]
 G --> H[Búsqueda del período r]
 H --> I[Cálculo de factores primos de N]

 style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
 style E fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
 style I fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

La esencia del cambio de paradigma

El GNFS adopta el enfoque de “buscar relaciones dentro de un espacio matemático (cuerpo de números)”. Sin embargo, debido a que el espacio de búsqueda se expande exponencialmente con el número de dígitos, la capacidad de cálculo de las computadoras clásicas (incluso con paralelización) hace que sea virtualmente imposible de descifrar cuando la longitud de la clave supera los 2048 bits, etc.

Por otro lado, el algoritmo de Shor utiliza “las propiedades ondulatorias debidas a la interferencia cuántica”. Evalúa simultáneamente todas las rutas de cálculo en estado de superposición y cancela (interferencia destructiva) las respuestas innecesarias mediante la QFT, amplificando (interferencia constructiva) solo la amplitud de probabilidad del período que es la respuesta correcta. Con esto, logra un enfoque en una dimensión completamente diferente que, en lugar de buscar en el espacio, “hace que la respuesta correcta misma emerja”.

6. Conclusión

En este artículo, comparamos profundamente los antecedentes matemáticos y las estructuras de los algoritmos de “GNFS”, que es el pináculo del límite clásico, y el “Algoritmo de Shor”, que muestra el poder de la computación cuántica.

Mientras que el GNFS redujo la complejidad temporal al tiempo subexponencial mediante elaboradas técnicas matemáticas como la selección de polinomios y el cálculo de enormes matrices, el algoritmo de Shor fusionó la superposición y la interferencia, que son los principios básicos de la mecánica cuántica, con herramientas matemáticas (QFT) para lograr un avance hacia el tiempo polinomial de un solo golpe.

Actualmente, no existe una computadora cuántica tolerante a fallas (FTQC) que pueda ejecutar el algoritmo de Shor a una escala práctica (miles de qubits). Sin embargo, la existencia misma de este cambio de paradigma matemático y teórico es la mayor razón por la que en todo el mundo se está acelerando la transición a la criptografía poscuántica (PQC: Post-Quantum Cryptography).