En los parlamentos democráticos, los consejos internacionales y las juntas de accionistas, suele darse por sentado un supuesto lineal tan intuitivo como falso: que la proporción de escaños de un partido —o el porcentaje de acciones de un socio— equivale directamente a su poder real de decisión (Voting Power).
Imaginemos un parlamento de 100 escaños donde aprobar una ley exige una mayoría absoluta de $q = 51$ votos. El partido A tiene 49 escaños, el partido B tiene 49 escaños y un diminuto partido C cuenta con solo 2 escaños. A primera vista, A y B dominan el hemiciclo con un $49\%$ cada uno, mientras que C parece irrelevante con un $2\%$. Sin embargo, la teoría de juegos cooperativos (Cooperative Game Theory) demuestra un hecho sorprendente: los partidos A, B y C poseen exactamente el mismo poder de voto: un tercio ($33,33\%$) cada uno.
Por el contrario, un partido o Estado puede poseer un bloque considerable de votos y tener un poder de voto matemáticamente igual a cero ($0\%$), convirtiéndose en lo que la teoría de juegos denomina un jugador ficticio (Dummy Player). Entre 1958 y 1973, el Consejo de Ministros de la Comunidad Económica Europea (CEE) aplicó el sistema ponderado $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$. Aunque Luxemburgo tenía 1 voto ($5,88\%$ del total), todos los demás países tenían un número par de votos ($4, 4, 4, 2, 2$) y la cuota era par ($12$). Como la suma de números pares siempre es par, ninguna coalición perdedora (máximo $10$ votos) podía alcanzar $12$ gracias al voto único de Luxemburgo: durante 15 años, su poder de voto fue exactamente del $0\%$.
En este artículo desarrollamos la teoría matemática de los índices de poder de voto: la formulación axiomática de los juegos simples ponderados, el índice de Banzhaf, el índice de Shapley-Shubik, el teorema probabilístico de Straffin, los algoritmos mediante funciones generatrices, el derecho de veto en el Consejo de Seguridad de la ONU y las paradojas de redistribución.
1. La ilusión de la cuota de escaños: tres experimentos mentales
Consideremos tres parlamentos con $W = 100$ escaños y una cuota de mayoría $q = 51$:
- El hacedor de reyes (Kingmaker) $[51;\, 49, 49, 2]$: Ningún partido alcanza los 51 escaños por sí solo. Las coaliciones ganadoras son $\{A, B\}(98)$, $\{A, C\}(51)$, $\{B, C\}(51)$ y $\{A, B, C\}(100)$. Como cualquier pareja de partidos gana, este juego es isomorfo a la votación mayoritaria simple $[2;\, 1, 1, 1]$. Con solo el $2\%$ de los escaños, el partido C ostenta el $33,33\%$ del poder de decisión, exactamente igual que A y B.
- El dictador y la oposición impotente $[51;\, 52, 47, 1]$: Dado que $w_A = 52 \ge 51$, el partido A es un dictador ($100\%$ del poder). Aunque el partido B controla el $47\%$ de los escaños, ni siquiera uniéndose a C ($47 + 1 = 48 < 51$) puede aprobar o bloquear nada: B y C son jugadores ficticios ($0\%$ de poder).
- El jugador ficticio invisible y el caso del condado de Nassau (1965) $[51;\, 35, 35, 25, 5]$: Ningún partido tiene mayoría absoluta. Pero las sumas posibles de los subconjuntos de $\{A, B, C\}$ (pesos $35, 35, 25$) son únicamente $0, 25, 35, 60, 70, 95$. ¡Ningún subconjunto suma entre $46$ y $50$ (el intervalo crítico $[q - w_D,\, q - 1]$)! Por tanto, los $5$ escaños del partido D jamás pueden transformar una derrota en victoria y su poder es del $0\%$. En 1965, el jurista John F. Banzhaf III empleó exactamente este análisis para demostrar que tres municipios de la Junta de Supervisores del condado de Nassau (Nueva York) tenían un $0\%$ de poder de voto, logrando que los tribunales declararan inconstitucional dicho sistema.
2. Formulación matemática: índices de Banzhaf y Shapley-Shubik
Juegos simples y juegos de votación ponderada
$$v(S) = \begin{cases} 1 & \text{si } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{coalición ganadora}) \\ 0 & \text{si } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{coalición perdedora}) \end{cases}$$Un jugador $i \in S$ es crítico (Swing Voter) en $S$ si $v(S) = 1$ y $v(S \setminus \{i\}) = 0$, es decir, $\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1$.
flowchart TD
A["Juego de votación ponderada [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["Peso de la coalición w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
B --> C{"¿Se cumple w(S) ≥ q?"}
C -- "Sí: v(S) = 1" --> D["Coalición ganadora S ∈ W"]
C -- "No: v(S) = 0" --> E["Coalición perdedora S ∉ W"]
D --> F{"¿Al retirar al jugador i se tiene w(S \ {i}) < q?"}
F -- "Sí: v(S \ {i}) = 0" --> G["El jugador i es crítico (Swing Voter) en S"]
F -- "No: v(S \ {i}) = 1" --> H["El jugador i es excedentario en S"]
G --> I["Índice de Banzhaf βᵢ: cuenta los swings ηᵢ en los 2ⁿ⁻¹ subconjuntos"]
G --> J["Índice de Shapley-Shubik φᵢ: cuenta los pivotes en las n! permutaciones"]
1. El índice de poder de Banzhaf (Penrose 1946 / Banzhaf 1965)
$$\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}$$2. El índice de poder de Shapley-Shubik (Shapley & Shubik 1954)
$$\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]$$3. Comparación paso a paso en $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ y funciones generatrices
En el juego $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ ($w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1$, peso total $10$, cuota $q=6$), el análisis exhaustivo de las 7 coaliciones ganadoras y las 24 permutaciones arroja:
| Coalición ganadora $S$ | Peso $w(S)$ | Peso tras retiro $w(S \setminus \{i\})$ | Jugadores críticos (Swing) | Partido | Cuota de votos | Swings $\eta_i$ | Banzhaf normalizado $\beta_i$ | Pivotes ($/24$) | Shapley-Shubik $\phi_i$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\{A, B\}$ | $7$ | $-A:3,\ -B:4$ | A, B | A ($w_A=4$) | $40,0\%$ | $5$ | $5/12 \approx \mathbf{41,67\%}$ | $10$ | $10/24 \approx \mathbf{41,67\%}$ |
| $\{A, C\}$ | $6$ | $-A:2,\ -C:4$ | A, C | B ($w_B=3$) | $30,0\%$ | $3$ | $3/12 = \mathbf{25,00\%}$ | $6$ | $6/24 = \mathbf{25,00\%}$ |
| $\{A, B, C\}$ | $9$ | $-A:5,\ -B:6,\ -C:7$ | A | C ($w_C=2$) | $20,0\%$ | $3$ | $3/12 = \mathbf{25,00\%}$ | $6$ | $6/24 = \mathbf{25,00\%}$ |
| $\{A, B, D\}$ | $8$ | $-A:4,\ -B:5,\ -D:7$ | A, B | D ($w_D=1$) | $10,0\%$ | $1$ | $1/12 \approx \mathbf{8,33\%}$ | $2$ | $2/24 \approx \mathbf{8,33\%}$ |
| $\{A, C, D\}$ | $7$ | $-A:3,\ -C:5,\ -D:6$ | A, C | Total | $100\%$ | $12$ | $100,00\%$ | $24$ | $100,00\%$ |
| $\{B, C, D\}$ | $6$ | $-B:3,\ -C:4,\ -D:5$ | B, C, D | ||||||
| $\{A,B,C,D\}$ | $10$ | Cualquier retiro $\ge 6$ | Ninguno |
Aunque el partido B ($30\%$) tiene un $50\%$ más de escaños que el partido C ($20\%$), ambos poseen exactamente el mismo poder ($25,00\%$) según ambos índices. En cambio, en $[5;\, 3, 2, 1, 1]$, ambos índices difieren: $\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)$ frente a $\phi = (58,33\%, 25,00\%, 8,33\%, 8,33\%)$. Según el teorema de Straffin (1977), Banzhaf corresponde al supuesto de independencia ($p_i = 1/2$ independientes) y Shapley-Shubik al supuesto de homogeneidad ($p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$).
$$P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}$$4. Instituciones reales y las paradojas del poder de voto
1. El Consejo de Ministros de la CEE (1958–1973) $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$
Para Luxemburgo ($w_{\text{Lux}} = 1$, cuota $q = 12$), el polinomio generatriz $P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2$ solo tiene exponentes pares, por lo que el coeficiente de $x^{11}$ es $0$ ($\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%$). Al ampliarse la CEE en 1973 a 9 miembros ($[41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]$), aunque la cuota de votos de Luxemburgo cayó del $5,88\%$ al $3,45\%$, su poder de Banzhaf subió del $0\%$ al $1,62\%$ (paradoja de los nuevos miembros, Brams & Affuso 1976).
2. El Consejo de Seguridad de la ONU (el poder de veto del P5)
El Consejo de Seguridad (5 miembros permanentes P5 con veto y 10 no permanentes NP10, mayoría de 9 votos incluyendo los 5 P5) equivale al juego ponderado $[39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$.
- Índice de Banzhaf: $\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848$, $\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16,69\%}$ y $\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1,65\%}$.
- Índice de Shapley-Shubik: Un miembro no permanente solo es pivote en la 9.ª posición tras los 5 P5 y exactamente 3 de los otros 9 NP: $$\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0,1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19,627\%}$$ ¡Los 5 miembros permanentes acaparan el $98,135\%$ del poder de Shapley-Shubik (cada P5 tiene 105,25 veces el poder de un miembro no permanente)!
flowchart TD
P["Paradojas no lineales de los juegos de votación ponderada"] --> P1["1. Paradoja de los nuevos miembros (Brams & Affuso 1976)"]
P --> P2["2. Paradoja de la escisión (Large Size)"]
P --> P3["3. Paradoja de la redistribución (Fischer & Schotter 1978)"]
P1 --> D1["La entrada de nuevos miembros puede aumentar el poder de un miembro existente pese a reducir su porcentaje de votos (ej. Luxemburgo en 1973: 0% → 1,6%)"]
P2 --> D2["Un partido grande que se divide en dos facciones puede aumentar su poder de voto combinado"]
P3 --> D3["Un partido que pierde la mitad de sus escaños en una elección puede duplicar su poder de voto real"]
3. La paradoja de la redistribución (Fischer & Schotter 1978)
Comparecemos un parlamento de 14 escaños (cuota $q = 9$) antes y después de unas elecciones:
- Antes de la elección $[9;\, 6, 4, 2, 2]$: Las únicas coaliciones ganadoras mínimas son $\{A, B\}(10)$ y $\{A, C, D\}(10)$; A tiene poder de veto. El partido D ($2$ escaños) tiene $\beta_D = 10,00\%$ y $\phi_D = 8,33\%$.
- Después de la elección $[9;\, 5, 5, 3, 1]$: A pierde 1 escaño en favor de B, y el partido D pierde la mitad de sus escaños ($2 \to 1$) en favor de C. Sin embargo, ahora $\{B, C, D\}$ suma $5+3+1=9$ y se convierte en coalición ganadora. Roto el monopolio de veto de A, el partido D, con un solo escaño, pasa a ser el hacedor de reyes indispensable tanto para $\{A, C, D\}$ como para $\{B, C, D\}$: su poder salta a $\beta_D = \mathbf{16,67\%}$ y $\phi_D = \mathbf{16,67\%}$ — la mitad de escaños, el doble de poder.
Finalmente, en sistemas federales de dos niveles, la ley de la raíz cuadrada de Penrose (1946) demuestra que para igualar el poder indirecto de cada ciudadano independientemente de la población $P_k$ de su Estado, el índice de Banzhaf $\beta'_k$ de cada Estado debe ser proporcional a $\sqrt{P_k}$.