1. Introducción: Un gigante de la teoría de números, Goro Shimura
En la historia de las matemáticas modernas, hay un matemático japonés que tuvo un impacto decisivo en el campo de la geometría aritmética. Su nombre es Goro Shimura (1930 - 2019). Sus logros son inconmensurables: propuso la “Conjetura de Taniyama-Shimura” (ahora conocida como el Teorema de Modularidad), que más tarde se convertiría en la clave principal para la demostración del “Último Teorema de Fermat”, y construyó las “variedades de Shimura”, un objeto de extrema importancia en la teoría de números moderna.
En este artículo, al recordar la vida de Goro Shimura, un matemático solitario, profundizaremos en los logros monumentales que estableció en el mundo de las matemáticas, y en la feroz filosofía y estética que los sustentan. No es exagerado decir que comprender sus logros es sinónimo de comprender cómo se desarrollaron las matemáticas a finales del siglo XX.
2. Primeros años y despertar a las matemáticas
2.1 La sombra de la guerra y la sed de conocimiento
Goro Shimura nació el 23 de febrero de 1930 en la ciudad de Hamamatsu, prefectura de Shizuoka. Su infancia coincidió exactamente con la dura época en la que se cernían los oscuros nubarrones de la Segunda Guerra Mundial. Incluso en medio de la escasez de materiales de la guerra y el terror de los ataques aéreos, su curiosidad intelectual nunca se perdió. En la caótica época de la posguerra, cuando muchos jóvenes luchaban simplemente por sobrevivir, Shimura cultivó un profundo interés por las matemáticas, la física y la literatura.
Según su libro “The Map of My Life”, leía libros de matemáticas avanzadas por su cuenta y, en ocasiones, se atrevía con difíciles textos matemáticos en francés. Esta actitud de “explorar la verdad por las propias fuerzas sin que nadie te enseñe” sentaría las bases del estilo matemático de Shimura a lo largo de toda su vida.
2.2 Sus días en la Universidad de Tokio
En 1949, Shimura ingresó en el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Tokio. En aquella época, la comunidad matemática japonesa, aunque se basaba en la teoría de cuerpos de clases de Teiji Takagi y otros, se enfrentaba al reto de cómo ponerse al día con las tendencias mundiales durante el periodo de reconstrucción de la posguerra. Allí conoció a Yutaka Taniyama, con quien más tarde entablaría una profunda amistad y compartiría un destino común.
Taniyama era un genio de las matemáticas con ideas intuitivas y desinhibidas, mientras que Shimura era un perfeccionista que valoraba el rigor y no permitía concesiones en los detalles lógicos. El encuentro de estas dos figuras tan contrastadas acabaría dando lugar a la semilla de una enorme teoría que sacudiría el mundo de las matemáticas.
3. El encuentro con Yutaka Taniyama y la “Conjetura de Taniyama-Shimura”
3.1 Un encuentro fatídico
Se dice que el detonante para que Shimura y Taniyama se hicieran íntimos fue un intercambio trivial sobre un problema matemático. Se reconocieron el talento mutuo y se sumergieron en discusiones matemáticas día y noche. Lo que les interesaba especialmente era la modernización de la “teoría de la multiplicación compleja” en la intersección de la geometría algebraica y la teoría de números.
3.2 El simposio de Nikko de 1955
En 1955 se celebró un simposio internacional sobre teoría de números algebraica en Nikko, prefectura de Tochigi. A esta conferencia asistieron matemáticos de talla mundial como André Weil y Jean-Pierre Serre.
Para este simposio, los jóvenes matemáticos japoneses aportaron sus problemas sin resolver y compilaron una colección de problemas. Entre ellos se incluían varios problemas presentados por Yutaka Taniyama. Este es el prototipo de lo que más tarde se llamaría la “Conjetura de Taniyama-Shimura”.
3.3 El puente entre las curvas elípticas y las formas modulares
Dicho de forma muy sencilla, la conjetura de Taniyama-Shimura es la afirmación de que “toda curva elíptica sobre el cuerpo de los números racionales es modular”. Se trataba de una conjetura revolucionaria que conectaba dos universos matemáticos completamente diferentes.
$$ E: y^2 = x^3 + ax + b \quad (a, b \in \mathbb{Q}) $$Las propiedades de una curva elíptica $E$ representada por tal ecuación se caracterizan por una sucesión $\{a_p\}$ relacionada con el número de soluciones de la ecuación módulo cada número primo $p$. A partir de esto, se define la función $L$ de Hasse-Weil $L(s, E)$.
$$ L(s, E) = \prod_{p \mid \Delta} (1 - a_p p^{-s})^{-1} \prod_{p \nmid \Delta} (1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s})^{-1} $$Por otro lado, una forma modular $f$ (aquí, una forma cúspide de peso 2) es una función altamente simétrica definida en el semiplano superior complejo, y su propia función $L$, $L(s, f)$, se define a partir de sus coeficientes de expansión de Fourier $\{c_n\}$.
$$ f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{2\pi i n z} $$La afirmación de Taniyama y Shimura era que “para cualquier curva elíptica $E$, existe una forma modular $f$ tal que $a_p = c_p$ se cumple para todos los números primos $p$”, es decir, $L(s, E) = L(s, f)$. Esto significa que el mundo de la teoría de números (curvas elípticas) y el mundo del análisis (formas modulares) están perfectamente en correspondencia.
flowchart LR
A["Teoría de números"] -->|"Igualdad de funciones L"| B["Análisis"]
subgraph SG1 ["Curvas elípticas sobre números racionales"]
N1["Ecuación E: y² = x³ + ax + b"]
N2["Función L de Hasse-Weil L(s, E)"]
end
subgraph SG2 ["Formas modulares"]
N3["Forma cúspide de peso 2 f(z)"]
N4["Serie de Dirichlet L(s, f)"]
end
SG1 -->|"Conjetura de Taniyama-Shimura"| SG2
%% Este diagrama muestra cómo conceptos completamente diferentes están profundamente conectados.
Al principio, esta conjetura era tan extravagante que incluso grandes matemáticos como Weil se mostraron escépticos. Sin embargo, Shimura proporcionó un riguroso respaldo matemático a esta conjetura intuitiva y la pulió hasta convertirla en una teoría.
4. La tragedia de Taniyama y la determinación de Shimura
En 1958, justo cuando la construcción de la teoría comenzaba en serio, ocurrió una tragedia. Yutaka Taniyama se quitó la vida a la temprana edad de 23 años. Su nota de suicidio hablaba de “gratitud a quienes me han criado hasta ahora” y de una “fatiga para la que ni yo mismo puedo definir una razón clara”. Además, unas semanas más tarde, siguió un trágico acontecimiento cuando la mujer comprometida con Taniyama también se quitó la vida para unirse a él.
Para Shimura, el dolor de perder a Taniyama, su mejor confidente y colaborador, fue inconmensurable. Sin embargo, Shimura superó el dolor y albergó un fuerte sentido de la misión de probar las ideas inacabadas que Taniyama había dejado atrás con sus propias manos y hacer que el mundo las reconociera. Más tarde, Shimura se trasladó a los Estados Unidos, continuando su investigación en la Universidad de Princeton y en otros lugares, al tiempo que formulaba esta conjetura de una forma más precisa y aumentaba su perfil internacional. Por esta razón, la conjetura llegó a conocerse como la “Conjetura de Taniyama-Shimura”.
5. El camino hacia el último teorema de Fermat
5.1 La idea de Frey y la demostración de Ribet
Pasó el tiempo, y en la década de 1980, la conjetura de Taniyama-Shimura se relacionó dramáticamente con el “Último teorema de Fermat”. En 1984, Gerhard Frey demostró que si se supone que existe un contraejemplo $a^n + b^n = c^n$ al último teorema de Fermat, se podría construir a partir de él una extraña curva elíptica (curva de Frey).
$$ y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) $$Frey conjeturó que debido a que esta curva tiene propiedades extraordinariamente anormales, no puede ser modular (lo que significa que no satisface la conjetura de Taniyama-Shimura). Si esto fuera cierto, significaría que “si se demuestra la conjetura de Taniyama-Shimura, también se demuestra el último teorema de Fermat”.
En 1986, Ken Ribet demostró por completo la conjetura de Frey (la conjetura épsilon). Con esto, el último teorema de Fermat, que había estado sin resolver durante 350 años, se redujo por completo al problema de demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura.
5.2 La demostración de Andrew Wiles
Quien se puso en pie al escuchar esta noticia fue el matemático británico Andrew Wiles. Después de siete años de investigación secreta, anunció una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables en 1993. Por el camino, hubo una crisis al encontrarse un fallo crítico en la demostración, pero con la ayuda de su antiguo alumno Richard Taylor, se solucionó por completo en 1994.
La demostración de Wiles de (una parte de) la conjetura de Taniyama-Shimura significó una demostración completa del último teorema de Fermat. Fue uno de los mayores dramas en la historia de las matemáticas.
5.3 La reacción de Shimura: “Te lo dije”
Cuando se anunció la demostración de Wiles y el mundo se vio envuelto en un torbellino de entusiasmo, Goro Shimura, al que un periodista le preguntó su opinión, respondió en voz baja pero con firmeza:
“I told you so.” (Te lo dije)
Estas palabras encerraban una confianza absoluta en que su intuición (y la de Taniyama) era acertada, y una profunda emoción por el hecho de que se hubiera demostrado después de tantos años. No le sorprendió en absoluto; para él era evidente que la verdad se acabaría demostrando. En 1999, la conjetura de Taniyama-Shimura fue demostrada por completo para todas las curvas elípticas por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor, convirtiéndose en un teorema firme conocido como el “Teorema de la modularidad”.
6. Variedades de Shimura: Un nuevo horizonte en la geometría aritmética
Aunque a menudo se ve eclipsada por la conjetura de Taniyama-Shimura, lo que consolida aún más el nombre de Goro Shimura en el mundo matemático profesional es la teoría de las “Variedades de Shimura”.
6.1 Teoría de la multiplicación compleja de dimensiones superiores
El matemático del siglo XIX Kronecker demostró que todas las extensiones abelianas de un cuerpo cuadrático imaginario se pueden construir utilizando los puntos de división de curvas elípticas con multiplicación compleja (el Jugendtraum de Kronecker). Shimura emprendió un gran proyecto para generalizar esto a variedades abelianas de dimensiones superiores.
Construyó objetos geométricos masivos que son análogos de dimensiones superiores a las curvas modulares, utilizando grupos algebraicos reductivos y dominios simétricos hermíticos. Estas son las “variedades de Shimura”. Las variedades de Shimura poseen estructuras extremadamente ricas en las que se cruzan la teoría de números, la geometría algebraica y la teoría de representaciones.
6.2 La posición de las variedades de Shimura en las matemáticas modernas
En la actualidad, las variedades de Shimura desempeñan un papel central en el “Programa de Langlands” propuesto por Robert Langlands. En este gran programa que conecta representaciones de grupos de Galois con representaciones automorfas, las variedades de Shimura son el escenario indispensable para realizar geométricamente dicha correspondencia. La previsión de Shimura también queda demostrada por el hecho de que la teoría que construyó se convirtió en la base para el desarrollo de las matemáticas décadas más tarde.
7. El verdadero rostro de un matemático solitario: Su filosofía y estética
7.1 Una actitud intransigente y estricta
Goro Shimura mantuvo una actitud extremadamente estricta e intransigente hacia las matemáticas. En sus artículos y libros, eliminó exhaustivamente las expresiones ambiguas y las demostraciones incompletas. También, en ocasiones, criticó implacablemente los errores o deficiencias de otros matemáticos, y muchos le temían por su severidad.
Sin embargo, esa severidad también se dirigía hacia sí mismo. Tenía la firme convicción de que “las matemáticas deben ser hermosas”, y detestaba las demostraciones feas y las teorías artificiales. En la base de sus matemáticas se encontraba la actitud de perseguir la belleza natural y la verdad absoluta.
7.2 La porcelana de Imari y sus logros literarios
Cuando se alejaba del duro mundo de las matemáticas, Shimura era un ávido coleccionista e investigador de antigüedades, especialmente de la porcelana de Imari. Poseía unos conocimientos tan profundos que escribió un libro especializado sobre la porcelana de Imari en inglés, y amaba el sentido estético tradicional japonés que residía en ella.
También estaba muy versado en la literatura japonesa y los clásicos chinos, y sus escritos están salpicados de una profunda cultura y un rico vocabulario. Su pensamiento lógico y refinado puede haber estado respaldado por esa profunda comprensión de la literatura y el arte.
7.3 Lo que nos dice “The Map of My Life”
En su ensayo autobiográfico “The Map of My Life”, publicado en sus últimos años, relata con franqueza su agudo intelecto, su humor ocasional y su profundo afecto por las personas que amaba (especialmente Yutaka Taniyama). La lectura de este libro permite conocer el complejo y rico mundo interior del ser humano Goro Shimura, que va más allá de la mera imagen de un “matemático estricto”.
8. Conclusión: La luz que dejó Goro Shimura
El 3 de mayo de 2019, Goro Shimura cerró sus 89 años de vida en Nueva Jersey, Estados Unidos. Incluso después de su fallecimiento, su nombre quedará grabado eternamente en la historia de las matemáticas como la “Conjetura de Taniyama-Shimura” y las “Variedades de Shimura”.
Partiendo de las ruinas de la posguerra, Goro Shimura ascendió a la cumbre de las matemáticas mundiales armado únicamente con su propio intelecto y su voluntad resiliente. Su vida demuestra lo sublime que es el espíritu humano en busca de la verdad y cómo puede producir grandes cosas.
Los matemáticos modernos que se enfrentan a problemas sin resolver de la teoría de números siguen caminando por la vasta tierra que Goro Shimura fue pionero en explorar. La luz matemática que encendió seguramente seguirá brillando con intensidad durante mucho tiempo.