¿Por qué las tapas de alcantarilla (pozos de registro) de nuestras ciudades son casi universalmente redondas? Este célebre acertijo de ingeniería, popularizado por el premio Nobel Richard Feynman y las entrevistas de Microsoft, se basa en una desigualdad geométrica elemental.

Si una tapa de alcantarilla fuera un cuadrado de lado $w$, la abertura cuadrada tendría lado $w$, pero su diagonal mediría $\sqrt{2}w \approx 1,4142\,w$ por el teorema de Pitágoras. Si se levanta la pesada tapa cuadrada verticalmente y se gira $45^\circ$ alineándola con la diagonal del hueco, al ser $w < \sqrt{2}w$, la tapa se colará por su propio agujero hasta el fondo del pozo. En cambio, un círculo de diámetro $w$ tiene exactamente la misma anchura $w$ en todas las direcciones y jamás puede caer por su abertura.

Planteemos ahora la pregunta matemática inversa: ¿Una tapa que no pueda caer por su hueco —o un rodillo sobre el cual una plataforma plana se deslice horizontalmente sin oscilar ni un milímetro hacia arriba o hacia abajo— tiene que ser necesariamente circular?

¡La respuesta es no! En geometría convexa existen infinitas figuras planas no circulares cuya distancia entre rectas tangentes de soporte paralelas es constantemente igual a $w$ en cualquier dirección: son las curvas de anchura constante (llamadas orbiformes por Leonhard Euler en 1778). Su representante más famoso y extremo es el triángulo de Reuleaux, bautizado en honor al ingeniero mecánico alemán Franz Reuleaux (1829–1905).

Si colocamos un tablón plano sobre rodillos con sección de triángulo de Reuleaux de anchura $w$, el tablón avanza a altura constante $y = w$ de forma perfectamente horizontal y sin ningún cabeceo vertical. Y lo que es aún más asombroso: en 1914, el ingeniero Harry James Watts acopló una broca con perfil de triángulo de Reuleaux a un mandril flotante, logrando que un taladro rotatorio convencional perforase directamente un agujero cuadrado que cubre exactamente el $98,77005\,\%$ del área del cuadrado.

1. La paradoja cinemática: Rodillo sin vibración frente a eje saltarín

1.1 Traslación horizontal perfecta de un tablón

Cuando un triángulo de Reuleaux de anchura $w$ rueda sobre el suelo horizontal $y = 0$, permanece en todo ángulo de giro $\theta \in [0, 2\pi)$ simultáneamente tangente al suelo ($y = 0$) y a la cara inferior del tablón superior. Como la anchura vertical entre tangentes paralelas es constante e igual a $w$, el tablón se mantiene fijo a la altura $y_{\text{tablón}}(\theta) \equiv w$.

1.2 Oscilación vertical de un eje fijo en el baricentro $G$

¿Por qué entonces las ruedas de los automóviles no son triángulos de Reuleaux? Porque un vehículo se apoya sobre un eje central fijo que pasa por el centroide geométrico $G$. En un triángulo de Reuleaux construido sobre un triángulo equilátero $\triangle ABC$ de lado $w$:

• La distancia del centroide $G$ a los tres vértices $A, B, C$ es $R = \frac{w}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}w \approx 0,57735\,w$.
• La distancia del centroide $G$ al punto medio del arco opuesto es $r = w - R = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)w \approx 0,42265\,w$.

Al dar una vuelta completa sobre el suelo, la altura del eje $G$ sube y baja 3 veces por revolución con una excursión vertical de:

Esta separación entre una envolvente exterior estacionaria y un centroide en órbita excéntrica es la clave cinemática de la broca para agujeros cuadrados y del motor rotativo Wankel.

2. Geometría convexa y la función de soporte de Minkowski $h_K(\theta)$

2.1 Función de soporte, envolvente y radio de curvatura

Sea $K \subset \mathbb{R}^2$ un cuerpo convexo compacto. Para cada ángulo $\theta \in [0, 2\pi)$, definimos el vector normal unitario exterior $\mathbf{u}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)^\top$ y el vector tangente unitario $\mathbf{t}(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta)^\top$. La función de soporte de Minkowski (Support Function) de $K$ se define como:

  flowchart TD
    A["Cuerpo convexo plano K ⊂ ℝ²"] --> B["Normal unitaria exterior u(θ) = (cos θ, sin θ)"]
    B --> C["Función de soporte de Minkowski h(θ) = max_{(x,y)∈K} (x cos θ + y sin θ)"]
    C --> D["Función de soporte opuesta h(θ + π)"]
    C --> E["Parametrización de la envolvente r(θ) = h(θ)u(θ) + h'(θ)t(θ)"]
    D --> F["Anchura direccional W(θ) = h(θ) + h(θ + π)"]
    E --> G["Radio de curvatura ρ(θ) = ds/dθ = h(θ) + h''(θ) ≥ 0"]
    F --> H["Anchura constante W(θ) ≡ w  ⇔  Todos los armónicos pares se anulan (a_{2m} = b_{2m} = 0)"]

Cuando $h(\theta) \in C^2(\mathbb{S}^1)$, la curva frontera $\partial K$ se reconstruye como la envolvente de las rectas de soporte $x\cos\theta + y\sin\theta = h(\theta)$ junto con su derivada $-x\sin\theta + y\cos\theta = h'(\theta)$:

Derivando respecto a $\theta$ ($\mathbf{u}' = \mathbf{t}, \mathbf{t}' = -\mathbf{u}$), obtenemos el diferencial de arco $ds$ y el radio de curvatura $\rho(\theta)$:

2.2 Condición de anchura constante y series de Fourier impares

La anchura en la dirección $\theta$ es $W_K(\theta) = h_K(\theta) + h_K(\theta + \pi)$. Por tanto, $K$ tiene anchura constante $w$ si y solo si:

De aquí se deduce que $\rho(\theta) + \rho(\theta + \pi) = w$ y que el desarrollo en serie de Fourier de $h_K(\theta)$ contiene únicamente armónicos impares ($a_{2m} = b_{2m} = 0$ para todo $m \ge 1$):

Tomando por ejemplo $h(\theta) = \frac{w}{2} + \frac{w}{16}\cos(3\theta)$, se cumple $\rho(\theta) = \frac{w}{2}(1 - \cos 3\theta) \ge 0$, lo que produce una curva de anchura constante analítica ($C^\infty$) no circular y totalmente libre de esquinas (ecuación polinómica de grado 8 de Rabinowitz, 1997).

3. Área del triángulo de Reuleaux y de los polígonos de Reuleaux impares

Trazando tres arcos de círculo de radio $w$ centrados en los vértices $A, B, C$ de un triángulo equilátero de lado $w$, obtenemos el triángulo de Reuleaux. Por inclusión-exclusión, su área es la suma de tres sectores circulares de ángulo $\frac{\pi}{3}$ ($\frac{\pi}{6}w^2$ cada uno) menos dos veces el área del triángulo equilátero central ($\frac{\sqrt{3}}{4}w^2$):

Esto representa un $10,27\,\%$ menos de área que el círculo del mismo diámetro $w$ ($A_{\text{círculo}} = \frac{\pi}{4}w^2 \approx 0,7853982\,w^2$). Para cualquier polígono regular de Reuleaux con un número impar de lados $n = 2k+1$ ($n = 3, 5, 7, \dots$), su área exacta viene dada por:

4. Dos demostraciones completas del teorema de Barbier (1860) y el teorema de Blaschke–Lebesgue (1914)

$$L(\partial K) = \pi w$$

4.1 Demostración 1: Geometría diferencial mediante la función de soporte

Integrando $ds = \left(h(\theta) + h''(\theta)\right)d\theta$ en $[0, 2\pi]$ y aplicando la $2\pi$-periodicidad de $h'(\theta)$:

Dado que una curva de anchura constante no puede contener segmentos rectos, $h_K$ es siempre de clase $C^1(\mathbb{S}^1)$ (o mediante aproximación por molificadores $h_\varepsilon = h_K * \eta_\varepsilon$ en la métrica de Hausdorff), por lo que la prueba es totalmente rigurosa incluso con vértices. $\blacksquare$

4.2 Demostración 2: Geometría integral, fórmula de Cauchy–Crofton y el «Fideo de Buffon»

En el espacio de rectas orientadas $\ell(p, \theta) : x\cos\theta + y\sin\theta = p$ con la medida cinemática invariante $d\ell = dp \wedge d\theta$, la linealidad de la esperanza aplicada al número de cortes $n_\gamma(p, \theta) = \#(\gamma \cap \ell(p, \theta))$ de una curva rectificable («fideo de Buffon») conduce a la fórmula de Cauchy–Crofton:

Para la frontera $\gamma = \partial K$ de un cuerpo convexo, toda recta secante corta a $\partial K$ en exactamente $n_{\partial K} = 2$ puntos sobre un intervalo de longitud $W_K(\theta) = w$. Por consiguiente:

4.3 El teorema de Blaschke–Lebesgue (1914)

La fórmula de área de Blaschke $A(K) = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(h(\theta)^2 - h'(\theta)^2\right)d\theta$ junto con la identidad de Parseval arroja:

Así, el círculo maximiza de forma única el área ($\frac{\pi}{4}w^2$), mientras que la minimización bajo la restricción $0 \le \rho(\theta) \le w$ conduce por el principio del máximo de Pontryagin a una distribución de curvatura «bang-bang» $\rho(\theta) \in \{0, w\}$ con 3 conmutaciones: el triángulo de Reuleaux minimiza de forma única el área entre todas las curvas de anchura constante $w$ (Henri Lebesgue 1914, Wilhelm Blaschke 1915).

5. Cómo el triángulo de Reuleaux taladra un agujero cuadrado: La broca de Harry Watts (1914)

Dentro del cuadrado fijo $S = \left[-\frac{w}{2}, \frac{w}{2}\right]^2$, en el intervalo fundamental $\theta \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$, el vértice $A$ se desliza por la pared izquierda $x = -\frac{w}{2}$ y el vértice $B$ por la pared inferior $y = -\frac{w}{2}$:

  flowchart TD
    S["Plantilla cuadrada fija S = [-w/2, w/2]² de lado w"] --> R["El triángulo de Reuleaux de anchura w gira tocando siempre las 4 paredes"]
    R --> G["Lugar del centroide G(θ): 4 arcos de elipse (diámetro ≈ 0,07735 w, órbita retrógrada -3ω)"]
    R --> V["Envolvente de vértices C(θ): 73,2 % de cada lado exactamente recto + 4 arcos elípticos en las esquinas"]
    G --> W["Acoplado al husillo rotatorio mediante acoplamiento Oldham flotante de Watts"]
    V --> H["¡Perfora exactamente el 98,77005 % del área del cuadrado!"]

5.1 Órbita elíptica del centroide $G(\theta)$ y cobertura del $98,77\,\%$ del cuadrado

1. Lugar del centroide $G(\theta)$: $$x_G(\theta) + \frac{w}{2} = \frac{w}{\sqrt{3}}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right), \qquad y_G(\theta) + \frac{w}{2} = \frac{w}{\sqrt{3}}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$$ Es un arco de elipse exacto centrado en la esquina $\left(-\frac{w}{2}, -\frac{w}{2}\right)$ con semiejes $a_G = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}w$ y $b_G = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}w$. Los 4 arcos forman una pequeña órbita cerrada de diámetro $d_G = \left(\frac{2\sqrt{3}-3}{3}\right)w \approx 0,07735\,w$ recorrida a velocidad $-3\omega$, absorbida mediante un acoplamiento Oldham flotante.
2. Trayectoria de esquina $C(\alpha)$ y área barrida $A_{\text{swept}}$: Haciendo $\alpha = \frac{\pi}{3} - \theta \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right]$, el vértice $C$ traza en la esquina superior derecha el arco de elipse: $$x_C(\alpha) = -\frac{w}{2} + w\cos\alpha, \qquad y_C(\alpha) = -\frac{w}{2} + w\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$$ En cada lado del cuadrado, el tramo central de longitud $(\sqrt{3}-1)w \approx 0,73205\,w$ ($73,2\,\%$ del lado) es matemáticamente recto. El área sin cortar en una esquina es: $$A_{\text{esquina}} = w^2 \int_0^{\pi/6} \left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right)\sin\alpha\,d\alpha = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{24}\right) w^2 \approx 0,0030749\,w^2$$ Por tanto, el área total excavada por la broca de Reuleaux es exactamente: $$A_{\text{barrida}} = w^2 - 4 A_{\text{esquina}} = \left(2\sqrt{3} + \frac{\pi}{6} - 3\right) w^2 \approx 0,9877005\,w^2 \quad (98,77\,\%!)$$

6. Aplicaciones modernas y frontera 3D: Cuerpos de Meissner (1911) y conjetura de Meissner (1934)

Además del motor rotativo Wankel (epitrocoide de dos lóbulos) y las monedas británicas de 20p y 50p (heptágonos de Reuleaux, $n=7$), el salto a 3 dimensiones revela que el tetraedro de Reuleaux no tiene anchura constante, pues la distancia entre los puntos medios de dos aristas curvas opuestas es

En 1911, Ernst Meissner y Friedrich Schilling redondearon quirúrgicamente tres de las seis aristas mediante parches de toro husiforme (spindle torus), creando los dos cuerpos de Meissner $M_1$ y $M_2$ de volumen $V \approx 0,419860\,w^3$. La conjetura de Meissner (Bonnesen–Fenchel, 1934), que afirma que $M_1$ y $M_2$ minimizan el volumen (y el área superficial vía la relación de Blaschke $V = \frac{1}{2}wS - \frac{\pi}{3}w^3$) entre todos los cuerpos 3D de anchura constante $w$, sigue siendo hoy uno de los grandes problemas abiertos de la geometría.