Introducción: ¿Qué es un Paseo Aleatorio?

Un paseo aleatorio (o camino aleatorio) es un concepto matemático que se refiere a un movimiento donde la siguiente posición se determina aleatoriamente (probabilísticamente). A menudo se le llama “el paseo del borracho”, ya que se asemeja a una persona ebria tambaleándose de izquierda a derecha con pasos inestables. A primera vista, parece un movimiento caótico e impredecible, pero a medida que aumenta el número de pasos, emergen leyes matemáticas asombrosamente hermosas y regulares.

Formulación Matemática Estricta (1D)

Supongamos que una partícula situada en el origen $x = 0$ se mueve a la derecha $+1$ con probabilidad $p = 1/2$ y a la izquierda $-1$ con probabilidad $q = 1/2$. Sea $X_i$ la variable aleatoria para el movimiento en el paso $i$:

$$ X_i = \begin{cases} +1 & (\text{probabilidad } 1/2) \\ -1 & (\text{probabilidad } 1/2) \end{cases} $$

La posición tras $n$ pasos es:

$$ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i $$

  flowchart LR
    A["Posición 0"] -->|"+1 (Probabilidad 1/2)"| B["Posición +1"]
    A -->|"-1 (Probabilidad 1/2)"| C["Posición -1"]
    B -->|"+1"| D["Posición +2"]
    B -->|"-1"| A
    C -->|"+1"| A
    C -->|"-1"| E["Posición -2"]
    %% Diagrama de flujo del movimiento 1D

Valor Esperado y Varianza

$$ E[X_i] = 0, \quad V(X_i) = 1 $$$$ E[S_n] = 0, \quad V(S_n) = n $$

En promedio, la partícula permanece en el origen, pero su dispersión crece proporcional a $\sqrt{n}$.

De Discreto a Continuo: Ecuación de Difusión

Tomando el límite continuo, el paseo aleatorio se aproxima por la ecuación de difusión:

$$ \frac{\partial P}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} $$

  stateDiagram-v2
    direction LR
    state "Vista Microscópica" as Micro {
        [*] --> PaseoAleatorio
        PaseoAleatorio --> PasosDiscretos
    }
    state "Vista Macroscópica" as Macro {
        [*] --> EcuacionDifusion
        EcuacionDifusion --> PropagacionContinua
    }
    Micro --> Macro : "Límite Continuo (Δx, Δt → 0)"
    %% Transición de discreto a continuo

Movimiento Browniano y el Teorema de Pólya

El límite continuo es el Proceso de Wiener. Además, el Teorema de recurrencia de Pólya nos dice:

1D y 2D: Regresa al origen con probabilidad 1.
3D o más: Probabilidad menor a 1.

“A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever.”

  flowchart TD
    Start["Inicio en el Origen"] --> Dim12{"¿1D o 2D?"}
    Dim12 -- "Sí" --> Ret12["Regreso con prob. 1 (Recurrente)"]
    Dim12 -- "No (3D o superior)" --> Ret3["Probabilidad < 1 (Transitorio)"]
    %% Ramificación del teorema de Polya

Simulación en Python

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_random_walk_2d(steps):
    """
    Función para simular un paseo aleatorio en 2D
    """
    directions = np.array([[1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1]])
    random_steps = np.random.randint(0, 4, size=steps)
    movements = directions[random_steps]
    path = np.vstack([[0, 0], np.cumsum(movements, axis=0)])
    return path

steps = 50000
path = simulate_random_walk_2d(steps)

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], alpha=0.6, color='royalblue', linewidth=0.5)
plt.scatter(0, 0, color='red', marker='x', s=150, label='Inicio', zorder=5)
plt.scatter(path[-1, 0], path[-1, 1], color='darkorange', marker='o', s=100, label='Fin', zorder=5)

plt.title(f"2D Random Walk ({steps} steps)", fontsize=16)
plt.xlabel("Eje X", fontsize=12)
plt.ylabel("Eje Y", fontsize=12)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axis('equal')
plt.show()