Introducción: ¿Por qué unos pocos golpes de suerte al principio se convierten en brechas irreversibles?
Dos vídeos o estándares de calidad idéntica se lanzan al mismo tiempo: gracias a una pequeña ventaja aleatoria inicial, uno se amplifica mediante retroalimentación positiva hasta monopolizar el mercado (efecto Mateo), mientras el otro queda en el olvido. Sin embargo, la Ley Fuerte de los Grandes Números (SLLN) enseña lo contrario: en ensayos independientes (i.i.d.) como lanzar una moneda, las fluctuaciones iniciales se diluyen cuando $n \to \infty$ y la proporción converge casi seguramente a la constante $p$.
Muchos procesos reales son procesos estocásticos reforzados donde la ocurrencia de un evento aumenta la probabilidad de que se repita. En 1923, George Pólya y Florian Eggenberger formularon el modelo de la urna de Pólya, revelando dos paradojas:
- Primera paradoja (Intercambiabilidad): Aunque la urna cambia en cada paso, $\mathbb{P}(I_n = 1) = \frac{r}{r+b}$ es constante para todo $n$, y la probabilidad de cualquier secuencia depende solo del total de bolas rojas y azules, sin importar el orden (intercambiabilidad).
- Segunda paradoja (Límite aleatorio): Cuando $n \to \infty$, la proporción roja $X_n$ converge casi seguramente hacia una variable aleatoria $X_\infty \sim \mathrm{Beta}(r, b)$. ¡Para $r=1, b=1$, el límite sigue la distribución uniforme $\mathrm{Uniform}(0, 1)$ en $[0, 1]$!
Capítulo 1: Tres universos de urnas — Agotamiento, falta de memoria y refuerzo de Pólya
En $n = 0$, una urna contiene $R_0 = r$ bolas rojas y $B_0 = b$ azules ($N_0 = r + b$). En cada paso se extrae una bola y se devuelve con $c$ bolas del mismo color: 1. Sin reemplazo ($c = -1$) (retroalimentación negativa, hipergeométrica), 2. Con reemplazo ($c = 0$) (sin memoria i.i.d. $\mathrm{Binomial}(n, \frac{r}{r+b})$), 3. Urna de Pólya ($c = +1$) (retroalimentación positiva: bola extraída más $1$ bola del mismo color).
flowchart TD
Start["Inicio (n = 0): Rojas r, Azules b, X₀ = r/(r+b)"]
Draw["Paso n+1: Extraer 1 bola, P(Iₙ₊₁ = 1 | Fₙ) = Xₙ"]
BranchW["1. Sin reemplazo (c = -1)"]
BranchB["2. Con reemplazo (c = 0)"]
BranchP["3. Urna de Polya (c = +1)"]
LimW["Termina en n = r+b con r/(r+b)"]
LimB["SLLN: Xₙ → r/(r+b) c.s."]
LimP["Doob: Xₙ → X_∞ ~ Beta(r, b) c.s."]
Start --> Draw
Draw --> BranchW --> LimW
Draw --> BranchB --> LimB
Draw --> BranchP --> LimP
Con $I_n \in \{0, 1\}$ y $S_n = \sum_{k=1}^n I_k$, tenemos $R_n = r + S_n$ y $N_n = r + b + n$:
$$X_n := \frac{R_n}{N_n} = \frac{r + S_n}{r + b + n}, \qquad \mathbb{P}(I_{n+1} = 1 \mid \mathcal{F}_n) = X_n, \qquad |X_{n+1} - X_n| \le \frac{1}{r + b + n + 1}$$| Característica | 1. Sin reemplazo ($c = -1$) | 2. Con reemplazo ($c = 0$) | 3. Urna de Pólya ($c = +1$) |
|---|---|---|---|
| Retroalimentación | Negativa (agotamiento) | Nula (sin memoria) | Positiva (autorrefuerzo) |
| Dependencia | Correlación negativa | Independiente (i.i.d.) | Infinitamente intercambiable |
| Distribución $S_n$ | $\mathrm{Hypergeom}(N_0, r, n)$ | $\mathrm{Binomial}(n, \frac{r}{r+b})$ | $\mathrm{BetaBinom}(n, r, b)$ |
| Límite $X_\infty$ | Constante $\frac{r}{r+b}$ | Constante $\frac{r}{r+b}$ c.s. | Variable $X_\infty \sim \mathrm{Beta}(r, b)$ c.s. |
Capítulo 2: Intercambiabilidad y distribución Beta-Binomial
Para cualquier secuencia $(i_1, \dots, i_n) \in \{0, 1\}^n$ con $k = \sum_{j=1}^n i_j$ rojas, el producto de denominadores es $(r+b)^{(n)}$ y el de numeradores es conmutativamente $r^{(k)} b^{(n-k)}$:
$$\mathbb{P}(I_1 = i_1, \dots, I_n = i_n) = \frac{r^{(k)} \, b^{(n-k)}}{(r+b)^{(n)}}, \qquad \mathbb{P}(S_n = k) = \binom{n}{k} \frac{\mathrm{B}(r+k, \, b+n-k)}{\mathrm{B}(r, \, b)}$$Para $r = 1, b = 1$, los factoriales se cancelan dando la distribución uniforme discreta $\mathbb{P}(S_n = k) = \frac{1}{n + 1}$ ($k = 0, 1, \dots, n$).
Capítulo 3: Martingala de Doob y límite $\mathrm{Beta}(r,b)$
Como $\mathbb{E}[R_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = R_n + X_n = (N_n + 1)X_n$, la proporción $X_n$ es una martingala acotada en $[0, 1]$:
$$\mathbb{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = \frac{R_n + \mathbb{E}[I_{n+1} \mid \mathcal{F}_n]}{N_n + 1} = \frac{(N_n + 1) X_n}{N_n + 1} = X_n$$Por el teorema de convergencia de martingalas de Doob, $X_n \xrightarrow{\text{c.s.}} X_\infty$. La asintótica $\frac{\Gamma(z+\alpha)}{\Gamma(z+\beta)} \sim z^{\alpha-\beta}$ para $k = \lfloor np \rfloor$ demuestra que $X_\infty$ sigue la distribución Beta $\mathrm{Beta}(r, b)$:
$$\boxed{f_{X_\infty}(p) = \frac{\Gamma(r+b)}{\Gamma(r)\Gamma(b)} \, p^{r-1} (1-p)^{b-1} \quad (0 < p < 1), \qquad \mathbb{E}[X_\infty] = \frac{r}{r+b}, \qquad \mathrm{Var}(X_\infty) = \frac{rb}{(r+b)^2(r+b+1)} > 0}$$Capítulo 4: Teorema de de Finetti, transiciones no lineales y aplicaciones
- Teorema de representación de de Finetti (1931): Toda sucesión infinitamente intercambiable es una mezcla de ensayos de Bernoulli i.i.d. con distribución a priori $\mathrm{Beta}(r,b)$: $$\mathbb{P}(I_1 = i_1, \dots, I_n = i_n) = \int_0^1 p^k (1-p)^{n-k} \, \frac{\Gamma(r+b)}{\Gamma(r)\Gamma(b)} p^{r-1}(1-p)^{b-1} \, dp$$
- Urnas no lineales ($f(x) = \frac{x^\gamma}{x^\gamma + (1-x)^\gamma}$): $X_{n+1} - X_n = \frac{1}{N_n+1}[(f(X_n)-X_n) + \xi_{n+1}]$ produce tres regímenes:
flowchart TD
Root["Urna no lineal: f(x) = x^γ / (x^γ + (1-x)^γ)"]
Sub["1. Sublineal (0 < γ < 1)"]
Lin["2. Lineal (γ = 1): g(x) ≡ 0"]
Sup["3. Superlineal (γ > 1)"]
ResSub["Coexistencia: Xₙ → 1/2 c.s."]
ResLin["Dependencia del camino: Xₙ → Beta(r, b) c.s."]
ResSup["Winner-Take-All: P(X_∞ ∈ {0, 1}) = 1"]
Root --> Sub --> ResSub
Root --> Lin --> ResLin
Root --> Sup --> ResSup
- Aplicaciones y límites: W. Brian Arthur (1989) explica el bloqueo ($\gamma > 1$, QWERTY, VHS); la conexión preferencial (Yule–Simon / Barabási–Albert) genera $P(k) \sim k^{-(2 + \frac{1}{1-\alpha})}$; muestrear nuevos colores ($\theta > 0$, $H_0$) converge al proceso de Dirichlet $\mathrm{DP}(\theta, H_0)$ (CRP); MusicLab (Salganik et al. 2006) valida estos efectos bajo cuatro límites: aptitud $\eta_i$, saturación, olvido y red.