En la vida cotidiana, la transitividad parece un principio indiscutible: si $A$ supera a $B$, y $B$ supera a $C$, entonces lógicamente $A$ debe superar a $C$. Esta regla gobierna la recta real ($\mathbb{R}, <$), las dimensiones físicas y el valor económico.
Formalmente, una relación binaria $\succ$ es transitiva si:
$$ \forall x, y, z \in S, \quad (x \succ y) \land (y \succ z) \implies (x \succ z) $$Sin embargo, cuando la probabilidad y las comparaciones multidimensionales entran en juego, esta intuición se desploma de forma rotunda.
El ejemplo clásico es Piedra, Papel o Tijera. Solemos creer que esto ocurre solo en juegos cualitativos. No obstante, al numerar inteligentemente dados físicos convencionales de seis caras, se obtienen los fascinantes dados no transitivos: el dado $A$ vence a $B$, $B$ vence a $C$, $C$ vence a $D$, y paradójicamente $D$ vence a $A$, ¡todos con un $66.7\%$ de probabilidad!
Y lo más asombroso: si cada jugador lanza dos dados y suma sus puntuaciones (los dados de Grime), ¡la jerarquía de dominancia se invierte por completo!
1. La falacia del valor esperado
Nuestra intuición falla porque confunde la probabilidad de ganar con el valor esperado $E[X]$, que es un operador estrictamente lineal:
$$ E[X - Y] = E[X] - E[Y] $$El orden de los valores esperados es siempre transitivo. Sin embargo, en un duelo individual, la victoria la decide la función escalón discontinua $\mathbf{1}_{\{x > y\}}$:
$$ P(X > Y) = \iint_{\mathbb{R}^2} \mathbf{1}_{\{x > y\}} \, dF_X(x) \, dF_Y(y) $$Ganar por una diferencia de $+3$ o de $+1$ cuenta exactamente igual: una sola victoria. Esta no-linealidad intrínseca genera un remolino probabilístico que habilita ciclos cerrados de dominancia.
2. Los dados de Efron: El ciclo perfecto de cuatro dados
Diseñados por el célebre estadístico de Stanford Bradley Efron, estos dados poseen las siguientes caras:
| Dado | Caras del dado | Distribución | Valor Esperado $E[\cdot]$ |
|---|---|---|---|
| Dado $A$ | $4, 4, 4, 4, 0, 0$ | Cuatro 4, dos 0 | $E[A] = 16/6 \approx 2.667$ |
| Dado $B$ | $3, 3, 3, 3, 3, 3$ | Seis 3 | $E[B] = 18/6 = 3.000$ |
| Dado $C$ | $6, 6, 2, 2, 2, 2$ | Dos 6, cuatro 2 | $E[C] = 20/6 \approx 3.333$ |
| Dado $D$ | $5, 5, 5, 1, 1, 1$ | Tres 5, tres 1 | $E[D] = 18/6 = 3.000$ |
Analizando los 36 resultados elementales del espacio muestral:
flowchart LR
A["Dado A<br/>[4,4,4,4,0,0]"] -->|"P = 2/3 (66.7%)"| B["Dado B<br/>[3,3,3,3,3,3]"]
B -->|"P = 2/3 (66.7%)"| C["Dado C<br/>[6,6,2,2,2,2]"]
C -->|"P = 2/3 (66.7%)"| D["Dado D<br/>[5,5,5,1,1,1]"]
D -->|"P = 2/3 (66.7%)"| A
- $P(A > B) = 4/6 = 2/3 \approx 66.7\%$
- $P(B > C) = 4/6 = 2/3 \approx 66.7\%$
- $P(C > D) = 24/36 = 2/3 \approx 66.7\%$
- $P(D > A) = 24/36 = 2/3 \approx 66.7\%$
En una apuesta donde el primer jugador elige su dado primero, el segundo jugador siempre tiene ventaja matemática absoluta, pues puede elegir un dado que triunfe dos de cada tres veces.
3. Dados de Grime y la inversión por convolución
Creados por James Grime en 2009, cinco dados (Rojo $R$, Azul $B$, Oliva $O$, Amarillo $Y$, Magenta $M$) forman el ciclo $R \succ B \succ O \succ Y \succ M \succ R$ con un solo dado.
$$ R \prec B \prec O \prec Y \prec M \prec R $$4. Votación democrática y evolución biológica
4.1 Paradoja de Condorcet y Teorema de Arrow
Los dados no transitivos son formalmente idénticos a la paradoja de Condorcet en la teoría de la elección social: las mayorías agregadas pueden ser cíclicas aunque los individuos sean racionales. El Teorema de Imposibilidad de Arrow confirma la inevitabilidad de este conflicto en sistemas de votación.
4.2 La lagartija de manchas laterales (Uta stansburiana)
En California, los machos exhiben tres colores de garganta con estrategias cíclicas: naranja vence a azul, azul vence a amarillo, y amarillo vence a naranja. Esta no-transitividad es el motor natural que preserva la diversidad genética.
5. Conclusión
Los dados no transitivos desarticulan la ilusión de una jerarquía escalar universal. La superioridad siempre es relativa a la estructura del juego y al rival en contienda.