Capítulo 1: Agujeros negros clásicos y el “Teorema de no pelo”

Detrás de las innumerables estrellas que brillan en el cielo nocturno, se esconden cuerpos celestes oscuros de los que ni siquiera la luz puede escapar: los agujeros negros. La teoría de la relatividad general, publicada por Einstein en 1915, trajo consigo el cambio de paradigma más hermoso de la historia de la física, describiendo la gravedad como una “distorsión del espacio-tiempo”. Poco después, en 1916, Karl Schwarzschild descubrió una solución exacta (la solución de Schwarzschild) que mostraba cómo una distribución de masa con simetría esférica distorsiona el espacio-tiempo a su alrededor. Este fue el amanecer matemático del concepto de agujero negro.

En el marco de la relatividad general clásica, un agujero negro es una entidad sorprendentemente “simple”. El proceso por el cual una estrella llega al final de su vida y colapsa bajo su propia gravedad es extremadamente complejo, y la estrella original posee una enorme cantidad de información (grados de libertad), como su composición química, la estructura del campo magnético o la asimetría de su forma. Sin embargo, una vez que se forma un horizonte de sucesos (Event Horizon), toda esa información compleja se oculta en su interior o se irradia hacia el exterior en forma de ondas gravitacionales.

Esta sorprendente propiedad se expresa en la famosa frase acuñada por John Archibald Wheeler, “los agujeros negros no tienen pelo” (Black holes have no hair), es decir, el “Teorema de no pelo” (No-Hair Theorem). Según este teorema, un agujero negro que se ha estabilizado en un estado estacionario se describe completamente por solo tres cantidades físicas:

1. Masa (Mass, $M$)
2. Carga Eléctrica (Electric Charge, $Q$)
3. Momento Angular (Angular Momentum, $J$)

La solución de Schwarzschild es el agujero negro más simple que solo tiene masa; la solución de Kerr es un agujero negro rotatorio con masa y momento angular; la solución de Reissner-Nordström es un agujero negro con masa y carga; y la solución de Kerr-Newman es la solución más general que combina los tres. No importa cuán compleja sea la materia que forme el agujero negro (ya sea un bloque de hierro, antimateria o una montaña de enciclopedias), desde el exterior solo se pueden observar estos tres parámetros.

Sin embargo, esta extrema simplicidad provocó una profunda contradicción con otro pilar de la física: la “Termodinámica” (Thermodynamics), y en particular con la “Segunda ley de la termodinámica”. La segunda ley de la termodinámica establece que “la entropía de un sistema aislado nunca disminuye”. La entropía es una medida del número de estados microscópicos de un sistema, es decir, de su “desorden de información”.

Si los agujeros negros son entidades “sin pelo” especificadas completamente por los tres parámetros mencionados, su número de estados microscópicos sería exactamente uno (entropía cero). Esto es un problema grave. Supongamos que arrojamos a un agujero negro un gas caliente lleno de entropía o materia con una estructura compleja. Después de que el agujero negro lo trague, la entropía de esa materia desaparecerá por completo del universo observable exterior. Si la entropía del propio agujero negro es cero, la entropía total del universo habría disminuido, violando así la segunda ley de la termodinámica.

“Los agujeros negros no son los cubos de basura del universo”. Para salvar a la física de esta crisis, era necesario adentrarse en un territorio inexplorado: la fusión de la teoría de la gravedad, la termodinámica y la mecánica cuántica. ¿La barrera absoluta del horizonte de sucesos realmente reduce todo a la nada? ¿O existe una “entropía oculta” en los agujeros negros que aún desconocemos? En el próximo capítulo veremos la revolucionaria idea de un joven físico que desafió este misterio.

Capítulo 2: La fórmula de Bekenstein-Hawking

Frente a la grave paradoja de que los agujeros negros violarían la segunda ley de la termodinámica, en 1972, Jacob Bekenstein, estudiante de posgrado en la Universidad de Princeton, propuso una hipótesis audaz e intuitiva. Se centró en el “teorema del área de los agujeros negros” demostrado por Stephen Hawking (el área del horizonte de sucesos de un agujero negro nunca disminuye).

La entropía nunca disminuye. El área de un agujero negro tampoco disminuye nunca. ¿Será esta similitud una mera coincidencia? Bekenstein argumentó que “el área del horizonte de sucesos de un agujero negro es su entropía misma”. Cuando la materia cae en un agujero negro, su masa aumenta, y con ello el área de su horizonte de sucesos se expande. La entropía que tenía la materia no se pierde, sino que se conserva en forma de un aumento en el área del agujero negro, estableciendo así una segunda ley de la termodinámica generalizada (la suma de la entropía del universo y la entropía del agujero negro no disminuye).

Esta idea revolucionaria fue posteriormente respaldada por el análisis de mecánica cuántica de Hawking, consolidándose como la “fórmula de entropía de Bekenstein-Hawking”.

Aquí, $S_{BH}$ es la entropía del agujero negro y $A$ es el área de superficie del horizonte de sucesos. La constante de proporcionalidad reúne a todas las constantes fundamentales de la física: la constante de Boltzmann $k_B$, la velocidad de la luz $c$, la constante de gravitación universal de Newton $G$ y la constante de Dirac (la constante de Planck dividida por $2\pi$) $\hbar$. Esto demuestra elocuentemente que esta fórmula es el pináculo de una “teoría de la gravedad cuántica” donde se cruzan la termodinámica ($k_B$), la relatividad ($c, G$) y la mecánica cuántica ($\hbar$).

El significado de esta fórmula es sumamente profundo. La entropía es equivalente a la cantidad de información. Normalmente, la entropía de la materia aumenta en proporción a su volumen (espacio tridimensional) (por ejemplo: el número de moléculas que componen un gas). Sin embargo, ¡la entropía de un agujero negro es proporcional no a su volumen, sino a su “área (bidimensional)”! Reescribiendo la fórmula utilizando la longitud de Planck $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$, obtenemos:

Esto significa que si pavimentamos el horizonte de sucesos con diminutos cuadrados de un lado de longitud de Planck (aproximadamente $1.6 \times 10^{-35}$ metros), se almacena un bit de información (entropía) por cada 4 de esos mosaicos (4 áreas de Planck). Toda la información tridimensional de la materia que cayó en el agujero negro se graba como un “holograma” en el horizonte de sucesos bidimensional. Este hecho asombroso se convertiría en la premisa más importante para el posterior “Principio holográfico”.

Sin embargo, la existencia de entropía implica inevitablemente, a partir de la relación termodinámica básica, que el agujero negro tiene “temperatura”. Si introducimos la energía de masa del agujero negro $E = Mc^2$ y la entropía de Bekenstein en la primera ley de la termodinámica $dE = T dS$, se deduce que la temperatura del agujero negro $T$ es proporcional a su “gravedad superficial (surface gravity) $\kappa$”.

Inicialmente, muchos físicos, incluido el propio Hawking, pensaban que “dado que un agujero negro solo absorbe todo y no emite nada, su temperatura debería ser el cero absoluto”, mostrando escepticismo ante la hipótesis de Bekenstein. Un objeto con temperatura debe emitir radiación térmica (radiación de cuerpo negro). ¿Cómo podría ser posible que un agujero negro emitiera luz?

Hawking se sumergió en los cálculos aplicando la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo a los agujeros negros para demostrar el error de Bekenstein. Sin embargo, a lo que llegó fue a uno de los descubrimientos más bellos en la historia de la física, que echó por tierra sus propias expectativas desde la raíz. El agujero negro realmente estaba brillando debido a efectos de mecánica cuántica.

Capítulo 3: El descubrimiento de la radiación de Hawking

En 1974, Stephen Hawking publicó un artículo impactante titulado “Los agujeros negros no son negros”. Dedujo teóricamente el fenómeno en el que las partículas se emiten debido al efecto túnel cuántico desde el horizonte de sucesos, del cual clásicamente nada debería escapar: la “Radiación de Hawking” (Hawking Radiation).

Para comprender este fenómeno es necesario un cambio de perspectiva sobre el “vacío” desde la mecánica cuántica. Según la teoría de campos cuánticos, el vacío no es “un espacio vacío”, sino un mar de “fluctuaciones cuánticas” donde pares de partículas y antipartículas (partículas virtuales) se generan y aniquilan constantemente. Normalmente, estos pares de partículas virtuales se aniquilan en un instante, por lo que no pueden ser observados directamente.

Sin embargo, si esta creación de pares ocurre extremadamente cerca de un agujero negro, justo fuera del horizonte de sucesos, surge una situación dramática. Las intensas fuerzas de marea (gradiente gravitacional) cerca del horizonte separan el par de partículas recién creado. Existe la probabilidad de que una de las partículas cruce el horizonte y caiga al interior del agujero negro, mientras que la otra escape hacia el universo exterior.

Para un observador externo, parece que una partícula ha salido despedida del agujero negro. Esta es la radiación de Hawking. Pero, ¿qué pasa con la ley de conservación de la energía? La partícula que escapó se convierte en una partícula real con energía positiva. Para conservar la energía, la partícula que cayó en el agujero negro debe tener “energía negativa”. El agujero negro que absorbió energía negativa pierde masa (es decir, energía). En otras palabras, el agujero negro se “evapora” (evaporate) gradualmente al emitir radiación.

Hawking calculó rigurosamente el espectro de esta radiación utilizando una técnica matemática avanzada (la transformación de Bogoliubov) que combina la geometría del espacio-tiempo con la teoría de campos cuánticos. Definió el estado de vacío en el infinito pasado del espacio-tiempo plano ($\mathscr{I}^-$) y analizó cómo se observaría como un estado de partículas en el infinito futuro ($\mathscr{I}^+$) después de propagarse a través del espacio-tiempo del agujero negro formado por el colapso de una estrella.

Cuando el estado de vacío del pasado $|0\rangle_{in}$ se expande con los operadores de creación y aniquilación de partículas del futuro, se describe utilizando los coeficientes de Bogoliubov $\alpha, \beta$. El núcleo del cálculo de Hawking reside en demostrar que la fase de la luz que atraviesa la superficie de la estrella colapsante y alcanza el infinito futuro sufre un retraso logarítmico (desplazamiento al rojo) debido a la formación del horizonte de sucesos. Este desplazamiento al rojo geométrico es el factor decisivo que hace que el coeficiente de Bogoliubov $\beta$ (el coeficiente que rige la creación de partículas) sea distinto de cero y produzca un espectro térmico.

El resultado de la radiación obtenida, sorprendentemente, coincidía perfectamente con el espectro de Planck de la radiación de un cuerpo negro perfecto. Su temperatura (Temperatura de Hawking $T_H$) está dada por la siguiente fórmula:

Lo que destaca aquí es que la temperatura de Hawking es “inversamente proporcional” a la masa $M$ del agujero negro. Esto significa que a medida que el agujero negro pierde masa y se vuelve más pequeño, su temperatura aumenta y emite radiación de manera más intensa (su calor específico es negativo).

Para un agujero negro con la masa del Sol, la temperatura de Hawking es una temperatura criogénica extrema de aproximadamente $6 \times 10^{-8}$ Kelvin, mucho más baja que el fondo cósmico de microondas actual (aproximadamente 2.7 Kelvin), por lo que en la práctica es imposible observar su radiación. Sin embargo, a medida que su masa disminuye, la temperatura aumenta exponencialmente. El tiempo de vida hasta que un agujero negro se evapora por completo (tiempo de evaporación) es proporcional al cubo de su masa, siendo $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$. Un agujero negro de masa solar tardaría una cantidad alucinante de $10^{67}$ años en evaporarse, pero un agujero negro minúsculo emitiría una cantidad enorme de energía al final, desvaneciéndose de forma explosiva.

El descubrimiento de la radiación de Hawking completó la termodinámica de los agujeros negros y se convirtió en un pilar monumental de la física teórica. Sin embargo, al mismo tiempo, abrió la caja de Pandora de la paradoja más profunda e intrincada que sacudiría los cimientos de la física. Esta es la “Paradoja de la pérdida de información en agujeros negros”.

Capítulo 4: El estallido de la paradoja de la pérdida de información

La radiación de Hawking predijo que los agujeros negros acabarían evaporándose y desapareciendo por completo. A partir de aquí surge uno de los mayores misterios de la física moderna: la “Paradoja de la pérdida de información” (Information Paradox).

Uno de los principios más sagrados y fundamentales de la mecánica cuántica es la “Unitaridad” (Unitarity). Este principio sostiene que cuando el estado de un sistema evoluciona en el tiempo, la suma de las probabilidades siempre se mantiene en 1, y la información se conserva determinísticamente del pasado al futuro y del futuro al pasado. Es decir, si se conoce la información completa (el estado puro) de un sistema en un momento dado, al resolver la ecuación de Schrödinger (o su extensión), se puede predecir y reconstruir por completo su estado en cualquier momento pasado o futuro, garantizando la reversibilidad de las leyes físicas.

Apliquemos este principio al proceso de formación y evaporación de un agujero negro. Supongamos que materia en estado puro (por ejemplo, un grupo de partículas preparadas con precisión en un estado cuántico específico, o una enciclopedia) sufre un colapso gravitatorio para formar un agujero negro. En este momento, toda la información existe en el interior del agujero negro.

Luego comienza la radiación de Hawking. Según los cálculos de Hawking, la radiación que surge en el horizonte de sucesos es una “radiación térmica perfecta”. El espectro de la radiación térmica depende únicamente de la temperatura (la masa, la carga y el momento angular del agujero negro); no hay ninguna correlación cuántica (entrelazamiento) entre las partículas emitidas y no contiene absolutamente ninguna “información” sobre lo que era la materia original que cayó en el agujero negro. Si quemas una enciclopedia hasta convertirla en humo y cenizas, en principio, si mides todos los movimientos del humo y las cenizas, podrías reconstruir el texto original; pero Hawking afirmó que la radiación de Hawking es “aleatoria en el verdadero sentido de la palabra”.

Y, finalmente, el agujero negro se evapora y desaparece por completo. Lo único que queda es una radiación térmica sin información (un estado mixto). Un universo que se suponía en un estado puro ha hecho la transición a un estado mixto sin información. La inmensa cantidad de información que tenía la materia original ha desaparecido completamente del universo junto con el agujero negro.

Esto significa el colapso de la unitaridad en la mecánica cuántica. Ante esta paradoja donde chocan la mecánica cuántica y la relatividad general, los físicos se dividieron en bandos y protagonizaron intensos debates. A esto se le conoce comúnmente como la “Guerra de los agujeros negros”.

El abanderado de uno de los bandos era el mismísimo Stephen Hawking. Él afirmaba: “En los agujeros negros se rompen las reglas de la mecánica cuántica, y la información realmente se pierde”. Él y Kip Thorne hicieron una apuesta con John Preskill defendiendo que “la información se pierde”.

En contraposición a esto, se encontraban físicos de partículas como Leonard Susskind y Gerard ’t Hooft. “Si la información se perdiera, se violaría incluso la ley de la conservación de la energía, y los cimientos mismos de la física moderna colapsarían”. Ellos estaban convencidos de que, cuando un agujero negro se evapora, mediante algún mecanismo desconocido, la información debe ser encriptada en la radiación de Hawking y sacada al exterior.

Sin embargo, los cálculos de Hawking parecían irrefutables. Una vez que la información cruza el horizonte de sucesos, no puede salir a menos que supere la velocidad de la luz. El interior y el exterior del horizonte de sucesos están causalmente desconectados, y la relatividad general (localidad) no permite que la información escape. Si intentas salvar la conservación de la información (mecánica cuántica), violas la causalidad (relatividad), y si intentas salvar la causalidad, se pierde la información. Para resolver este dilema, era necesario derribar desde sus raíces el concepto mismo de espacio-tiempo.

Susskind y otros se enfrentarían a esta paradoja inexpugnable armados con el entrelazamiento cuántico y la Teoría de cuerdas (String Theory). En el próximo capítulo, profundizaremos en la “Complementariedad de los agujeros negros”, un salto teórico dramático para proteger la información, y la nueva chispa que de ahí surgió: el “Problema del muro de fuego (Firewall)”.

Capítulo 5: La complementariedad de los agujeros negros y el problema del muro de fuego

Convencidos de la conservación de la información, Susskind y otros, inspirándose en el principio de complementariedad de Niels Bohr, propusieron en 1993 el revolucionario concepto de “Complementariedad de los agujeros negros” (Black Hole Complementarity) para resolver la contradicción del horizonte de sucesos.

La causa fundamental de la paradoja era que si “la información cayendo en el agujero negro” y “la información escapando como radiación de Hawking” ocurrieran simultáneamente, la información se habría “copiado” (violando el teorema de no clonación cuántica).

La complementariedad de los agujeros negros afirma lo siguiente: Para un observador que se queda en el exterior (Alice), la materia que cae en la membrana ultracaliente justo encima del horizonte de sucesos (horizonte estirado o “stretched horizon”) es incinerada, y su información regresa al exterior con el tiempo montada en la radiación de Hawking. Por otro lado, para un observador en caída libre hacia el agujero negro (Bob), el horizonte de sucesos no es más que un punto de tránsito cualquiera en el espacio, y él cae intacto con su información hacia el interior.

A simple vista, parece que la información se ha dividido en dos, pero Susskind argumentó que “dado que es imposible en principio que Alice y Bob se comuniquen y comparen los resultados”, no surge ninguna contradicción. Existen dos descripciones diferentes pero complementarias para el mismo fenómeno físico, y no existe un punto de vista absoluto (el punto de vista de Dios) que describa el todo. Esto implicaba que, en el límite extremo donde convergen la gravedad y la mecánica cuántica, se desmorona el sentido común de la “localidad” del espacio-tiempo.

Parecía que la complementariedad de los agujeros negros había resuelto la paradoja. Sin embargo, en 2012, un artículo publicado por cuatro físicos de la Universidad de California en Santa Bárbara (Almheiri, Marolf, Polchinski y Sully: conocidos como AMPS) sacudió de nuevo al mundo de la física. Fue la aparición de la “Paradoja del Muro de fuego (Firewall) de AMPS”.

AMPS se centró en la compleja relación de distribución del entrelazamiento cuántico que surge después de que el agujero negro supera la mitad de su vida (el tiempo de Page), asumiendo que la radiación de Hawking transporta la información (preservando la unitaridad).

Para llevar la información al exterior, la partícula de Hawking recién emitida (B) debe estar fuertemente entrelazada (estado de entrelazamiento cuántico) con el conjunto de todas las partículas de Hawking emitidas en el pasado (A). Por otro lado, para pasar intacto a través del horizonte de sucesos (preservando el principio de equivalencia), también debe existir un fuerte entrelazamiento entre el par de partículas generadas por la fluctuación del vacío: la partícula que escapa hacia afuera (B) y la partícula que cae hacia adentro (C).

Sin embargo, la mecánica cuántica tiene una regla estricta llamada “monogamia del entrelazamiento”. Es imposible que un único sistema cuántico (B) esté máximamente entrelazado con otros dos sistemas independientes (A y C) al mismo tiempo.

Para resolver este dilema, había que sacrificar algo. AMPS concluyó que, si se pretendía mantener la complementariedad de los agujeros negros, no quedaba más remedio que cortar el entrelazamiento entre B y C. Sin embargo, cortar el entrelazamiento entre B y C significa que aparecería una pared de partículas de altísima energía en el horizonte de sucesos, es decir, un “Muro de fuego” (Firewall).

Si tal muro de fuego existiera, Bob, al intentar cruzar el horizonte de sucesos, lejos de pasar ileso, chocaría contra este muro de alta energía y sería incinerado al instante. Esto significaba el colapso total del “Principio de equivalencia”, la piedra angular de la relatividad general de Einstein (un observador en caída libre no siente la gravedad; es decir, no ocurre nada especial en el horizonte de sucesos).

Si intentas proteger la información, el horizonte de sucesos se convierte en un muro de fuego (colapso del principio de equivalencia). Si intentas proteger el principio de equivalencia, se pierde la información o se derrumban los cimientos de la mecánica cuántica. Los físicos se enfrentaron a una paradoja más profunda y aguda que nunca. La clave para salvar esta situación desesperada estaba oculta en el “Principio Holográfico”, que traspasa la barrera de las dimensiones, y en la última teoría de la gravedad cuántica.

Capítulo 6: El principio holográfico, la correspondencia AdS/CFT y la fórmula de las islas

Lo que trajo el cambio de paradigma decisivo que salvó la crisis de la física generada por la paradoja del muro de fuego fue el “Principio Holográfico” (Holographic Principle) y su estricta formulación matemática, la “Correspondencia AdS/CFT” (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence).

El principio holográfico fue propuesto por Gerard ’t Hooft en 1993 y fue incorporado en el marco de la teoría de cuerdas por Leonard Susskind en 1995. Como lo sugiere la fórmula de Bekenstein-Hawking vista en el Capítulo 2 (la entropía es proporcional al área y no al volumen), este principio afirma que “todos los fenómenos físicos (incluida la gravedad) que ocurren en una región espacial tridimensional pueden ser descritos completamente por las leyes de la física que no incluyen gravedad sobre una superficie límite (frontera) bidimensional que rodea dicha región”. Nuestro universo tridimensional podría ser simplemente el fantasma de un “holograma” proyectado sobre una pantalla bidimensional muy lejana.

En 1997, Juan Maldacena presentó por primera vez utilizando la teoría de supercuerdas un modelo concreto en el cual este principio holográfico se cumple estrictamente. Esta es la “Correspondencia AdS/CFT”. Maldacena demostró que una teoría de la gravedad cuántica (teoría de supercuerdas) en un espacio Anti-de Sitter con constante cosmológica negativa (espacio AdS), es matemática y completamente equivalente (dual) a una Teoría de Campos Conformes (Conformal Field Theory, CFT) sin gravedad definida en la frontera en el infinito de ese espacio.

Esto fue un milagro en la física. Dos teorías con dimensiones y leyes completamente diferentes (la física del bulto o espacio interior, que incluye la gravedad, y la física en la frontera o CFT, que no la incluye) resultaron ser simplemente dos traducciones diferentes de los mismos fenómenos físicos. Utilizando este diccionario de dualidad (diccionario holográfico), se hace posible convertir problemas de gravedad cuántica que son desesperadamente difíciles de calcular, en problemas tratables de la teoría cuántica de campos en la frontera.

En el contexto de la paradoja de la pérdida de información, la correspondencia AdS/CFT aportó una respuesta crucial. Dado que la CFT en la frontera obedece a la mecánica cuántica ordinaria, la unitaridad está completamente garantizada (la información nunca se pierde). Si la correspondencia AdS/CFT es correcta, el proceso de formación y evaporación de un agujero negro dentro del espacio AdS dual a ella debe ser también unitario en su conjunto, y la información debe estar preservada con toda certeza.

Sin embargo, aunque se comprobó que “la información se conserva”, el mecanismo de la dinámica de “cómo se transfiere concretamente la información del interior del agujero negro a la radiación de Hawking en el exterior” seguía siendo un misterio. El avance definitivo para esta pregunta llegó con el descubrimiento de la “Fórmula de la isla” (Island Formula) publicada en 2019.

Todo comenzó con el concepto de “Curva de Page” (Page Curve) propuesto por Don Page en 1993. Page predijo cómo debería cambiar la entropía de entrelazamiento de la radiación de Hawking con el tiempo si la información se conserva (si se mantiene la unitaridad). En las primeras etapas de la radiación, las partículas emitidas están entrelazadas con las partículas dentro del agujero negro, por lo que la entropía de entrelazamiento de la radiación total aumenta de forma monótona con el tiempo. Sin embargo, cuando el agujero negro llega a la mitad de su vida (el tiempo de Page), la situación se invierte drásticamente. Las partículas recién emitidas comienzan a entrelazarse con las partículas emitidas en el pasado, y la entropía de entrelazamiento de la radiación total comienza a disminuir. Finalmente, cuando el agujero negro desaparece, toda la radiación vuelve a su estado puro, y la entropía debería volver a ser cero. Esta curva en forma de montaña es la curva de Page.

Por otro lado, en el cálculo clásico de Hawking (bajo la posición de que la información se pierde), la entropía continúa aumentando para siempre y nunca disminuye (Curva de Hawking).

En 2019, Geoff Penington, Almheiri, Mahajan, Maldacena y Zhao recalcularon la entropía de la radiación de Hawking utilizando métodos de cálculo para la entropía de entrelazamiento holográfica derivados de la teoría de cuerdas (la fórmula de las superficies extremales cuánticas, que es una generalización de la fórmula de Ryu-Takayanagi). Como resultado, descubrieron que, a partir de cierto punto (el tiempo de Page), la región geométrica para calcular la entropía de entrelazamiento cambia discontinuamente.

La fórmula que dedujeron demostraba que al calcular la entropía de la radiación de Hawking, no solo se debe incluir la radiación exterior al agujero negro, sino que también hay que añadir la contribución de una región específica “dentro” del horizonte de sucesos (a la cual se llama “Isla” o “Island”).

Sorprendentemente, al avanzar con los cálculos utilizando esta fórmula de la isla, a partir del momento en que se supera el tiempo de Page, la contribución de la isla se vuelve dominante, y los resultados del cálculo reprodujeron espectacularmente la curva de Page propuesta por Don Page. En resumen, lo que le faltaba al cálculo de Hawking era un efecto cuántico no perturbativo de la gravedad (cambios en la topología del espacio-tiempo conocidos como agujeros de gusano de réplica). Al incorporarlo, se demostró que la información ciertamente se escapa codificada en la radiación de Hawking.

Aún más impactante es el hecho de que, aunque la “isla” esté en el interior del horizonte de sucesos, su información está completamente contenida en la radiación de Hawking. Esto significa que una parte del interior del agujero negro en realidad se proyecta holográficamente al exterior a través de la radiación de Hawking. Tal y como sugiere la conjetura ER=EPR (la hipótesis de que los puentes de Einstein-Rosen o agujeros de gusano y el entrelazamiento de Einstein-Podolsky-Rosen son esencialmente lo mismo), el entrelazamiento cuántico estaba formando un puente en el espacio-tiempo (un agujero de gusano) que conectaba el interior del agujero negro con la radiación de Hawking del exterior.

Apéndice A: La transformación de Bogoliubov en la radiación de Hawking y la derivación rigurosa del espectro térmico

Para comprender verdaderamente la profunda naturaleza de la radiación de Hawking, no se puede evitar el proceso de derivación detallada de la estructura matemática de la teoría cuántica de campos en espacios-tiempos curvos, y en particular, de la “Transformación de Bogoliubov” (Bogoliubov Transformation). En este apéndice, rastrearemos de la manera más rigurosa y detallada posible el núcleo de los cálculos desarrollados por Stephen Hawking en su histórico artículo de 1974.

1. La diferencia en la definición del “vacío” en espacios-tiempos planos y curvos

En la teoría cuántica de campos, un campo escalar $\phi(x)$ se desarrolla en modos utilizando operadores de creación $\hat{a}^\dagger$ y operadores de aniquilación $\hat{a}$. En el espacio-tiempo plano de Minkowski, las soluciones de la ecuación de campo (ecuación de Klein-Gordon) $(\square + m^2)\phi = 0$ se desarrollan utilizando ondas planas $e^{ikx}$ como base. Usando los modos de frecuencia positiva $f_k(x)$ y los modos de frecuencia negativa $f_k^*(x)$, el campo se escribe de la siguiente manera:

Sin embargo, cuando el espacio-tiempo es curvo (hay un campo gravitatorio presente), se pierde la simetría de Poincaré global, por lo que ya no existe una coordenada temporal universal que permita definir de manera única los “modos de frecuencia positiva”. Dependiendo del estado de movimiento del observador o de su posición (geometría del espacio-tiempo), lo que se considera “positivo” se vuelve relativo.

2. Desarrollo en modos en el infinito pasado ($\mathscr{I}^-$) y en el infinito futuro ($\mathscr{I}^+$)

Hawking consideró un espacio-tiempo dinámico en el que una estrella colapsa por su propia gravedad y forma un agujero negro. En este espacio-tiempo existe el “Infinito pasado nulo” (Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$), que es una región asintótica plana antes de que comience el colapso, y el “Infinito futuro nulo” (Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$), que es una región asintótica plana después de la formación del agujero negro.

Sean $f_k$ las funciones de modo en el infinito pasado $\mathscr{I}^-$, $\hat{a}_k$ y $\hat{a}_k^\dagger$ los operadores correspondientes, y $|0_{in}\rangle$ el vacío definido por los observadores en el pasado. Sean $p_j$ las funciones de modo en el infinito futuro $\mathscr{I}^+$, $\hat{b}_j$ y $\hat{b}_j^\dagger$ los operadores correspondientes, y $|0_{out}\rangle$ el vacío definido por los observadores en el futuro.

El campo $\hat{\phi}$ puede desarrollarse usando cualquiera de las dos bases, por lo que se cumple la siguiente igualdad:

3. Transformación de Bogoliubov y creación de partículas

Dado que los dos conjuntos distintos de funciones de modo, $f_k$ y $p_j$, forman sistemas completos, uno puede expresarse como combinación lineal del otro.

Esta transformación lineal es la transformación de Bogoliubov, y los coeficientes de expansión $\alpha_{jk}$ y $\beta_{jk}$ se denominan coeficientes de Bogoliubov. Usando esto, si expresamos el operador de aniquilación del futuro $\hat{b}_j$ en términos de los operadores del pasado:

Aquí se deduce un hecho crucial. Supongamos que el estado inicial era el vacío del pasado $|0_{in}\rangle$ (es decir, inicialmente no había partículas). En este estado, calculemos el valor esperado del número de partículas con número de onda $j$ que observará un observador en el futuro (el valor esperado del operador de número $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$).

¡Si $\beta_{jk} \neq 0$, a pesar de que el estado inicial era el vacío, para los observadores del futuro se observará que “existen partículas”! La fluctuación de la curvatura del espacio-tiempo (el colapso de la estrella) ha hecho que $\beta_{jk}$ sea distinto de cero, “creando” partículas a partir del vacío.

4. Retraso de fase logarítmico (desplazamiento al rojo) debido al horizonte de sucesos

El mayor logro de Hawking reside en que calculó específicamente este $\beta_{jk}$ mediante el trazado de rayos geométricos (ray tracing) en el espacio-tiempo de la formación de un agujero negro.

Consideremos el proceso en el que un paquete de ondas parte del infinito pasado $\mathscr{I}^-$, atraviesa la estrella en colapso y llega al infinito futuro $\mathscr{I}^+$. Un rayo de luz (modo) que pasa a través de la estrella justo antes de la formación del horizonte de sucesos, sufre un desplazamiento al rojo extremo debido a que tiene que trepar a lo largo de un fuerte campo gravitatorio.

Según cálculos geométricos, se demuestra que la fase de la onda en el tiempo $u$ que llega al infinito futuro se retrasa logarítmicamente a medida que se acerca al tiempo de formación del horizonte de sucesos. Específicamente, entre el tiempo $v$ en el infinito pasado y el tiempo $u$ en el infinito futuro, se establece la siguiente relación logarítmica (consecuencia de la ecuación de Raychaudhuri) cerca del horizonte de sucesos:

Donde $v_0$ es el tiempo de partida del rayo de luz que formará el horizonte de sucesos y $\kappa$ es la gravedad superficial (surface gravity) del agujero negro. Este retraso logarítmico de la fase $e^{-\kappa u}$, mediante la transformada de Fourier, rige decisivamente la forma funcional de $\beta_{jk}$.

5. Derivación del espectro de Planck y la temperatura de Hawking

Los coeficientes de Bogoliubov $\alpha_{jk}$ y $\beta_{jk}$ se calculan utilizando el producto interno (producto interno de Klein-Gordon). Al realizar la transformación de Fourier sobre las ondas con este retraso de fase logarítmico y ejecutar la integración (utilizando funciones Gamma e integrales complejas), se deduce una sorprendente relación analítica entre los valores absolutos de $\alpha_{jk}$ y $\beta_{jk}$:

Donde $\omega$ es la energía (frecuencia angular) de la partícula emitida. Además, a partir de las condiciones de normalización de la transformación de Bogoliubov (conservación de las relaciones de conmutación), se cumple que $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$. Resolviendo este sistema de dos ecuaciones para $|\beta_{jk}|^2$, obtenemos:

Este resultado es asombroso. El lado izquierdo representa el número de partículas (valor esperado) generadas a partir del vacío, ¡pero el lado derecho tiene exactamente la forma de la distribución térmica de los bosones (distribución de Planck) irradiados por un cuerpo negro con una temperatura $T$!

La forma estándar de la distribución de Planck es $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$. Al compararla con nuestro resultado, la temperatura del agujero negro (temperatura de Hawking $T_H$) se deduce inmediatamente:

Para un agujero negro de Schwarzschild, la gravedad superficial está dada por $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$, y al sustituir esto:

Y así, se ha derivado espléndidamente la fórmula de la temperatura de Hawking. Aquí yace la totalidad de la temible intuición matemática de Hawking: que el extremo desplazamiento al rojo geométrico (retraso de fase logarítmico) provocado por el horizonte de sucesos de un agujero negro produce un estado mixto puramente térmico (distribución de Planck) a partir de un estado inicial cuántico puramente puro. Este cálculo increíble es una obra cumbre del intelecto humano que integra en una sola ecuación la relatividad ($\kappa$), la mecánica cuántica ($\hbar$) y la termodinámica ($k_B$).

Apéndice B: La fórmula de Ryu-Takayanagi y las profundidades de la entropía de entrelazamiento holográfica

Para resolver la paradoja de la pérdida de información y hacer posible la reproducción de la curva de Page, en la base de la “fórmula de la isla”, se encuentra la “Fórmula de Ryu-Takayanagi” originada en la teoría de supercuerdas y la correspondencia AdS/CFT. Esta fórmula es una de las ecuaciones más importantes de la física moderna, ya que conecta directamente el entrelazamiento de la información cuántica con la geometría del espacio-tiempo (gravedad). Aquí explicamos en detalle su concepto y fundamento matemático.

1. Geometrización de la entropía de entrelazamiento

En la teoría cuántica de campos, la cantidad que mide el grado de entrelazamiento cuántico entre una región espacial $A$ y su región exterior $B$ es la “entropía de entrelazamiento” (entropía de von Neumann) $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$. Aquí, $\rho_A$ es la matriz de densidad reducida de la región $A$. Sin embargo, en una teoría de campos cuántica continua y con interacciones, calcular directamente la entropía de entrelazamiento es extremadamente difícil y en muchos casos uno se enfrenta a la dificultad de divergencias ultravioleta (infinitos).

En 2006, Shinsei Ryu y Tadashi Takayanagi propusieron una conjetura (fórmula) revolucionaria utilizando el marco de la correspondencia AdS/CFT: que la entropía de entrelazamiento en la CFT en la frontera podía calcularse geométricamente como “el área de una superficie mínima” en el bulto (el espacio AdS interior).

Aquí:

• $S_A$ es la entropía de entrelazamiento de la región $A$ en la CFT en la frontera.
• $\gamma_A$ es una superficie mínima de $(d-1)$ dimensiones (como una película de jabón) suspendida en el interior del espacio del bulto. El límite de esta superficie debe coincidir con el límite de la región $A$ en la CFT ($\partial \gamma_A = \partial A$).
• $G_N^{(d+1)}$ es la constante de Newton de $(d+1)$ dimensiones en el espacio del bulto.

Al ver la forma de esta fórmula, muchos lectores no podrán ocultar su sorpresa. ¡Esta ecuación tiene exactamente la misma estructura que la fórmula de entropía de Bekenstein-Hawking $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$ explicada en el Capítulo 2! La entropía termodinámica que posee el horizonte de sucesos de un agujero negro y la entropía de entrelazamiento que posee el campo cuántico del estado de vacío se integraron completamente como una entidad geométrica de “área” a través de una perspectiva holográfica.

2. Superficies mínimas y el “agujero de gusano de réplica”

Inicialmente, la fórmula de Ryu-Takayanagi era una “conjetura” basada en la intuición y diversa evidencia circunstancial, pero posteriormente fue demostrada matemáticamente por Aron Wall, Alexander Maloney, Juan Maldacena y otros, mediante la versión gravitacional (agujeros de gusano de réplica) del “truco de las réplicas” (Replica Trick) utilizando la representación de integrales de camino de la gravedad cuántica.

El truco de las réplicas es un método para evitar el cálculo directo de $\log \rho_A$, donde en su lugar se calcula la traza de la $n$-ésima potencia de $\rho_A$, $\text{Tr}(\rho_A^n)$, y al final se toma el límite $n \to 1$.

Calcular $\text{Tr}(\rho_A^n)$ en la CFT corresponde a calcular la función de partición sobre una superficie de Riemann múltiple compleja, que se obtiene cortando el espacio-tiempo original a lo largo de la región $A$, preparando $n$ copias (réplicas) y cosiendo todas juntas. Según la correspondencia AdS/CFT, esta función de partición en la frontera debe ser igual a la función de partición de la teoría de la gravedad en el bulto (evaluación en el punto de silla de la acción) que satisface las condiciones de frontera.

Maldacena y sus colegas demostraron que, en la integral de caminos gravitacional del bulto, cuando la frontera está compuesta por $n$ espacios-tiempos de réplica, la solución de un “agujero de gusano (agujero de gusano de réplica)” donde los $n$ espacios-tiempos se conectan entre sí en el interior del bulto se vuelve dominante. Y al tomar el límite de $n \to 1$, demostraron de manera rigurosa que la retroacción geométrica de este agujero de gusano se manifiesta precisamente como la “superficie mínima $\gamma_A$” de la fórmula de Ryu-Takayanagi.

3. Superficies Extremales Cuánticas (QES) y la emergencia de islas

La fórmula de Ryu-Takayanagi era aplicable cuando la gravedad en el espacio del bulto era clásica (los efectos cuánticos podían ser ignorados). Para abordar fenómenos donde los efectos cuánticos juegan un papel esencial, como la evaporación de un agujero negro (radiación de Hawking), era necesario extender la fórmula para incorporar los efectos de la teoría cuántica de campos dentro del bulto. Esta es la receta de la “Superficie Extremal Cuántica (Quantum Extremal Surface, QES)” propuesta por Engelhardt y Wall en 2014.

En la fórmula QES, el objeto a minimizar no es solo el “área”, sino que se reemplaza por la “Entropía Generalizada” (Generalized Entropy) $S_{gen}$, que es la suma del “área + entropía de entrelazamiento cuántico en el bulto”.

Donde $X$ es una superficie dentro del bulto y $\Sigma_X$ es la región del espacio en el bulto comprendida entre $X$ y la región $A$ en la frontera. Se busca extremizar (estacionarizar) esta entropía generalizada y además encontrar la superficie $X$ (que es la QES) que la minimice; el valor de $S_{gen}$ en ese punto se convierte en la entropía $S_A$ de la CFT en la frontera.

Al calcular la entropía de la radiación de Hawking, tomamos la región exterior que recoge la radiación como $A$. En las etapas iniciales, la QES es una superficie trivial (área cero) y la entropía aumenta de manera monótona (Curva de Hawking). Sin embargo, después del tiempo de Page, se produce una dramática transición de fase donde repentinamente aparece una QES no trivial en el “interior” del horizonte de sucesos, y su valor de $S_{gen}$ se vuelve menor (pasa a ser dominante).

La región interior del horizonte delimitada por esta nueva QES es precisamente la “Isla” (Island). Cuando aparece la isla, en el cálculo del término de entropía del bulto $S_{bulk}$, las partículas dentro de la isla (las partículas que cayeron en el agujero negro) y la radiación de Hawking (las partículas que escaparon) están fuertemente entrelazadas, por lo que la suma de las entropías se cancela drásticamente y comienza a disminuir.

De esta manera, la curva de Page predicha por Don Page fue derivada por completo a partir de cálculos de la teoría de la gravedad. La resolución de la paradoja de la pérdida de información trascendió los meros argumentos conceptuales y llegó a ser demostrada como una formulación matemática rigurosa al tener en cuenta los cambios de topología no perturbativos de la gravedad cuántica, llamados “agujeros de gusano de réplica”. El espacio-tiempo emerge del entrelazamiento cuántico, y la profunda información de los agujeros negros es ciertamente entregada a los confines del universo a través de los hilos invisibles que son los agujeros de gusano.