1. Introducción: El derrumbe de la «aleatoriedad uniforme» en 1889
En los espacios finitos discretos, la expresión «elegir al azar» parece inequívoca: al lanzar un dado simétrico, cada una de sus seis caras tiene probabilidad $1/6$. Sin embargo, al pasar al continuo geométrico, esta intuición se quiebra por completo. En 1889, el matemático francés Joseph Bertrand (1822–1900) planteó en las primeras páginas de su obra Calcul des probabilités un problema elemental que sacudió los cimientos de la teoría de la probabilidad: la paradoja de Bertrand.
Consideremos un círculo unitario $S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$ de radio $R = 1$ y un triángulo equilátero inscrito $\triangle ABC$. La longitud del lado del triángulo es $L = 2R\sin(\pi/3) = \sqrt{3} \approx 1.732$, y el radio de su círculo inscrito (la distancia perpendicular desde el centro $O$ hasta cada lado) es $r_{\text{in}} = R\cos(\pi/3) = 1/2$.
[Problema de Bertrand (1889)] Se traza «al azar» una cuerda $c$ del círculo unitario. ¿Cuál es la probabilidad $P(c > \sqrt{3})$ de que la longitud de la cuerda sea mayor que el lado $L = \sqrt{3}$ del triángulo equilátero inscrito?
Bertrand presentó tres construcciones geométricas completamente naturales y simétricas que conducen a tres probabilidades exactas mutuamente contradictorias: $P_1 = 1/3$, $P_2 = 1/2$ y $P_3 = 1/4$.
flowchart TD
Q["Pregunta de Bertrand (1889)<br/>Se elige al azar una cuerda del círculo unitario:<br/>¿cuál es la probabilidad P(c > √3)?"]
Q --> M1["Método 1: Extremos aleatorios en S¹<br/>Ángulo central θ ~ Uniform(0, π)"]
Q --> M2["Método 2: Distancia radial aleatoria<br/>Distancia al centro r ~ Uniform(0, 1)"]
Q --> M3["Método 3: Punto medio aleatorio en D²<br/>Coordenadas (x, y) ~ Uniform(D²)"]
M1 --> D1["Densidad radial<br/>f₁(r) = 2 / (π√(1 - r²))"]
M2 --> D2["Densidad radial<br/>f₂(r) = 1"]
M3 --> D3["Densidad radial<br/>f₃(r) = 2r"]
D1 --> P1["Probabilidad P₁ = 1/3 ≈ 0.3333"]
D2 --> P2["Probabilidad P₂ = 1/2 = 0.5000"]
D3 --> P3["Probabilidad P₃ = 1/4 = 0.2500"]
2. Derivación rigurosa de las tres soluciones clásicas y sus funciones de densidad
Sea $\theta \in [0, \pi]$ el ángulo central subtendido por la cuerda, $r \in [0, 1]$ la distancia perpendicular desde el centro $O$ hasta el punto medio $M(x,y) = (r\cos\phi, r\sin\phi)$ de la cuerda, y $c$ su longitud. Por el teorema de Pitágoras:
$$c = 2\sqrt{1 - r^2} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad r = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{1 - \frac{c^2}{4}}$$El suceso $E = \{c > \sqrt{3}\}$ equivale exactamente en los tres sistemas de coordenadas a:
$$c > \sqrt{3} \iff 2\sqrt{1 - r^2} > \sqrt{3} \iff 0 \le r < \frac{1}{2} \iff \theta \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right)$$2.1 Método 1: Extremos aleatorios sobre la circunferencia ($P_1 = 1/3$)
Por simetría rotacional $SO(2)$, fijamos el primer extremo $A$ en un vértice del triángulo ($\theta = 0$) y elegimos el segundo extremo $B$ con ángulo $\theta \sim \text{Uniform}(0, 2\pi)$. Se cumple $c(\theta) > \sqrt{3}$ si y solo si $B$ cae en el arco opuesto $\theta \in (2\pi/3, 4\pi/3)$, cuya longitud es $2\pi/3$ de un total de $2\pi$:
$$P_1(c > \sqrt{3}) = \frac{4\pi/3 - 2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}$$Mediante $r = \cos(\theta/2)$ ($\theta \in [0, \pi]$, $f_\Theta(\theta) = 1/\pi$) y el jacobiano $\left|\frac{d\theta}{dr}\right| = \frac{2}{\sqrt{1 - r^2}}$, obtenemos las densidades:
$$f_{R,1}(r) = \frac{2}{\pi\sqrt{1 - r^2}}, \qquad f_{C,1}(c) = \frac{2}{\pi\sqrt{4 - c^2}}, \qquad \mathbb{E}_1[c] = \frac{4}{\pi} \approx 1.2732$$2.2 Método 2: Distancia radial aleatoria a lo largo de un radio fijo ($P_2 = 1/2$)
Elegimos un radio con ángulo $\phi \sim \text{Uniform}(0, 2\pi)$ y sobre él seleccionamos la distancia al centro $r \sim \text{Uniform}(0, 1)$. Como el lado del triángulo equilátero dista $r_{\text{in}} = 1/2$ del centro, $c > \sqrt{3} \iff 0 \le r < 1/2$:
$$P_2(c > \sqrt{3}) = \int_0^{1/2} 1\,dr = \frac{1}{2}, \qquad f_{R,2}(r) = 1, \qquad f_{C,2}(c) = \frac{c}{2\sqrt{4 - c^2}}, \qquad \mathbb{E}_2[c] = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$$2.3 Método 3: Punto medio aleatorio uniformemente en el disco ($P_3 = 1/4$)
Toda cuerda no diametral queda determinada de forma única por su punto medio $M(x, y) \in D^2$. Si elegimos $M$ uniformemente respecto al área $dx\,dy$ del disco unitario $D^2$ ($f_{X,Y}(x,y) = 1/\pi$), entonces $c > \sqrt{3}$ si y solo si $M$ cae dentro del disco inscrito concéntrico $D_{1/2}$ de radio $1/2$:
$$P_3(c > \sqrt{3}) = \frac{\text{Área}(D_{1/2})}{\text{Área}(D_1)} = \frac{\pi (1/2)^2}{\pi (1)^2} = \frac{1}{4}$$¿Por qué difieren los métodos 2 y 3? Porque el elemento de área en coordenadas polares incluye el determinante jacobiano $J = r$, es decir, $dx\,dy = r\,dr\,d\phi$. Al integrar respecto a $\phi \in [0, 2\pi)$, la densidad marginal radial resulta lineal:
$$f_{R,3}(r) = \int_0^{2\pi} \frac{1}{\pi} r\,d\phi = 2r, \qquad f_{C,3}(c) = \frac{c}{2}, \qquad \mathbb{E}_3[c] = \frac{4}{3} \approx 1.3333$$| Característica | Método 1: Extremos aleatorios | Método 2: Radio aleatorio | Método 3: Punto medio aleatorio |
|---|---|---|---|
| Coordenada uniforme | Ángulo $\theta \sim U(0, \pi)$ | Distancia $r \sim U(0, 1)$ | Área $(x,y) \sim U(D^2)$ ($r^2 \sim U(0,1)$) |
| Elemento de medida $d\mathbb{P}(r,\phi)$ | $\dfrac{1}{\pi^2\sqrt{1 - r^2}}\,dr\,d\phi$ | $\dfrac{1}{2\pi}\,dr\,d\phi$ | $\dfrac{r}{\pi}\,dr\,d\phi = \dfrac{1}{\pi}\,dx\,dy$ |
| Densidad radial $f_R(r)$ | $\dfrac{2}{\pi\sqrt{1 - r^2}}$ | $1$ | $2r$ |
| Densidad de longitud $f_C(c)$ | $\dfrac{2}{\pi\sqrt{4 - c^2}}$ | $\dfrac{c}{2\sqrt{4 - c^2}}$ | $\dfrac{c}{2}$ |
| Probabilidad $P(c > \sqrt{3})$ | $1/3 \approx 0.3333$ | $1/2 = 0.5000$ | $1/4 = 0.2500$ |
| Valor esperado $\mathbb{E}[c]$ | $4/\pi \approx 1.2732$ | $\pi/2 \approx 1.5708$ | $4/3 \approx 1.3333$ |
3. La crisis del principio de indiferencia de Laplace y la paradoja del vino y el agua de Keynes (1921)
La probabilidad clásica de Pierre-Simon Laplace descansaba en el principio de razón insuficiente, rebautizado como principio de indiferencia (Principle of Indifference) por John Maynard Keynes (1921) en A Treatise on Probability. En un espacio continuo, asignar una densidad constante $f_X(x) = \frac{1}{b-a}$ a un parámetro $x \in [a, b]$ bajo una transformación no lineal $y = g(x)$ multiplica la densidad por el jacobiano $\left|\frac{dx}{dy}\right|$:
$$f_Y(y) = f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{dx}{dy}\right|$$En la paradoja del vino y el agua de Keynes (1921):
- Sabemos únicamente que la proporción de vino respecto a agua $x = W_{\text{vino}}/W_{\text{agua}}$ en una copa está entre $1/3$ y $3$. Si $x \sim \text{Uniform}(1/3, 3)$, la mediana es $x_{\text{med}} = 5/3$ y $P_X(x \le 2) = \frac{2 - 1/3}{3 - 1/3} = \frac{5}{8} = 0.625$.
- Pero la misma premisa implica que la proporción inversa $y = 1/x = W_{\text{agua}}/W_{\text{vino}}$ también pertenece a $[1/3, 3]$. Si $y \sim \text{Uniform}(1/3, 3)$, la mediana es $y_{\text{med}} = 5/3$ (¡contradiciendo $x \cdot y = 1$!) y el mismo suceso $x \le 2 \iff y \ge 1/2$ tiene probabilidad $P_Y(y \ge 1/2) = \frac{3 - 1/2}{3 - 1/3} = \frac{15}{16} = 0.9375 \neq \frac{5}{8}$.
4. Las tres resoluciones matemáticas y físicas modernas
flowchart TD
Crisis["Crisis del principio de indiferencia de Laplace<br/>La reparametrización no lineal y = g(x) introduce el jacobiano |dx/dy|"]
Crisis --> R1["Resolución 1: Kolmogórov (1933)<br/>Axiomas de la teoría de la medida (Ω, F, P)"]
Crisis --> R2["Resolución 2: Jaynes (1973) y Geometría Integral<br/>Medida cinemática E(2)-invariante"]
Crisis --> R3["Resolución 3: Jeffreys (1946) y Geometría de la Información<br/>Elemento de volumen de Fisher"]
R1 --> R1D["Sin especificar explícitamente la medida P, el problema está mal planteado;<br/>cada mecanismo físico define un espacio de probabilidad distinto."]
R2 --> R2D["La invariancia bajo el grupo euclídeo E(2) selecciona de forma única<br/>la medida cinemática dμ = dp dφ (Método 2, P = 1/2, fórmula de Cauchy-Crofton)."]
R3 --> R3D["La distribución a priori de Jeffreys p(θ) ∝ √det I(θ) o la medida de Haar dx/x<br/>garantiza invariancia exacta bajo reparametrizaciones."]
4.1 Axiomatización en teoría de la medida de Kolmogórov $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ (1933)
En 1933, Andréi Kolmogórov demostró que todo problema probabilístico exige definir explícitamente la terna $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Sin especificar la medida de probabilidad $\mathbb{P}$, pedir la probabilidad de una cuerda «al azar» carece de sentido matemático.
4.2 Invariancia bajo grupos de transformación de E. T. Jaynes (1973) y geometría integral
En “The Well-Posed Problem” (1973), el físico Edwin T. Jaynes demostró que al lanzar pajitas largas sobre un círculo en el suelo, la densidad $h(p, \phi)\,dp\,d\phi$ de las rectas $x\cos\phi + y\sin\phi = p$ debe ser invariante bajo:
- Rotaciones $SO(2)$: $h(p, \phi) = g(p)/(2\pi)$;
- Cambios de escala (restricción a un subcírculo concéntrico de radio $a < 1$);
- Traslaciones $\mathbb{R}^2$ (grupo euclídeo de movimientos rígidos $E(2) = \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)$): al trasladar el origen en $(x_0, y_0)$, se tiene $p' = p - x_0\cos\phi - y_0\sin\phi$ y $\phi' = \phi$, cuyo determinante jacobiano es idénticamente $1$: $$J = \det\frac{\partial(p', \phi')}{\partial(p, \phi)} = \det\begin{pmatrix} 1 & x_0\sin\phi - y_0\cos\phi \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$$ La invariancia traslacional $g(p') = g(p)$ obliga de manera única a que $g(p) = \text{const.}$
Esta es la medida cinemática de Poincaré–Santaló de la geometría integral:
$$d\mu(L) = dp\,d\phi$$Por la fórmula de Cauchy–Crofton (que también rige la aguja de Buffon), la medida de las rectas que cortan un cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^2$ es igual a su perímetro $\text{Perimeter}(\partial K)$. El cociente entre el perímetro del círculo inscrito ($\pi$) y del círculo unitario ($2\pi$) arroja de inmediato el Método 2 ($P = 1/2$).
4.3 Distribución a priori de Jeffreys (1946)
En inferencia bayesiana, Harold Jeffreys (1946) utilizó la raíz cuadrada del determinante de la matriz de información de Fisher $I_{ij}(\theta) = -\mathbb{E}\left[\frac{\partial^2 \ln p(X\mid\theta)}{\partial\theta_i\partial\theta_j}\right]$:
$$p_J(\theta) \propto \sqrt{\det I(\theta)}$$Para la paradoja del vino y el agua, la medida de Haar del grupo multiplicativo $(\mathbb{R}_{>0}, \times)$, $d\mu(x) = \frac{dx}{x}$ con densidad $f(x) = \frac{1}{2\ln 3 \cdot x}$ en $[1/3, 3]$, es invariante bajo $y = 1/x$, dando una mediana consistente $x_{\text{med}} = y_{\text{med}} = 1$.
5. Simulación de Montecarlo en Python
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