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Matemáticas, Criptografía Y Cuántica

La conjetura de Collatz

¿Es cierto que “cualquier número termina en 1”? ── Jugando con la Conjetura de Collatz

¡Hola! Soy kenji.

De repente, si escuchas sobre “una regla donde cualquier número termina finalmente en 1”, ¿no te parece un poco extraño?

Por ejemplo, el 19, el 87 o incluso el 1000000. Si sigues una regla simple y manipulas el número, por alguna razón siempre converge a “1” al final.

Esta historia que parece un sueño es la Conjetura de Collatz (Collatz Conjecture).

Para empezar, ¿qué es la Conjetura de Collatz?

Primero, presentaré la regla.

  • Inicio: Elige cualquier entero positivo

  • Operación:

    • Si es par → divídelo a la mitad (n → n / 2)
    • Si es impar → multiplícalo por 3 y suma 1 (n → 3n + 1)

Si repites esto una y otra vez, la conjetura es que cualquier número finalmente llegará a 1.

Por ejemplo, si empezamos con el 6:

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Efectivamente llegó a “1”. ¡Bienvenido de vuelta!

Hagámoslo con código: Collatz en Python

Bueno, en estos casos ¡es más rápido probar con código! Imprimamos la “secuencia de Collatz” en Python.

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def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# Ejemplo: empezando con 19
print(collatz(19))

Al ejecutarlo:

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Llega perfectamente al 1. Da bastantes rodeos, pero al final ¡alcanza la meta!

Por cierto, incluso si empiezas con 29, también llegará a 1 de la misma manera.

1

pythonprint(collatz(29))

Al ejecutarlo:

1
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[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

¡Vaya, toma 111 pasos!

Y además, hay momentos en los que se infla por encima de 9000. Es un patrón que da muchísimas vueltas antes de llegar a la meta.

Y, al final, ¿qué tiene de increíble?

Lo increíble de esta conjetura es,

Aunque no está comprobada, parece que funciona con cualquier número y termina en 1

Es justo eso.

¿Eh? Entonces, ¿qué pasa con 1 billón, o 1 trillón…?

Si pensaste eso, eres muy perspicaz. De hecho, usando computadoras se ha verificado hasta aproximadamente “2 elevado a 68”, y todos llegan a 1. Increíble…

Pero, no se ha demostrado teóricamente que “todos lo hagan”. Esto es lo que en el mundo de las matemáticas se llama un “problema no resuelto”.

¿Quién es el Sr. Collatz?

Y, al leer hasta aquí, seguro piensas “¿y quién es Collatz?”. ¡Lo presentaré adecuadamente!

  • Nombre: Lothar Collatz
  • Nacionalidad: Alemán
  • Nacimiento: 1910 - 1990
  • Profesión: Matemático (destacado en análisis funcional y teoría de números)

Propuso esta conjetura en 1937, y después de eso, durante más de 80 años nadie ha podido demostrarla ni refutarla.

Por cierto, este problema es tan simple pero tan profundo, que incluso el famoso Paul Erdős (un matemático súper famoso) dijo:

“Las matemáticas aún no están listas para la conjetura de Collatz”

En otras palabras, la teoría es que las matemáticas de la humanidad aún no han alcanzado este misterio…

No se necesitan “fórmulas matemáticas difíciles”

Lo bueno de la conjetura de Collatz es que cualquiera puede jugar.

Puedes hacerlo si tienes papel y bolígrafo. Si escribes el código en Python, puedes probarlo automáticamente. Y aun así, los matemáticos más avanzados lo están intentando en serio.

No sé, ¿no te emociona?

Bonus: Código para probar de una vez

También dejaré un código para probar varios números a la vez.

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for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n}: {steps} (pasos: {len(steps)-1})")

Esto imprimirá la secuencia de Collatz del “1 al 20” de una vez.

Conclusión: Este mundo, al final, es misterioso

Así que, la conjetura de Collatz.

  • Aunque es súper simple
  • Nadie puede probarlo
  • Es un gran problema en el mundo de las matemáticas

Es como una masa de misterio.

¡Incluso los principiantes en programación pueden probarlo, así que anímate a jugar!

Enlaces recomendados (para interesados)

Si quieres conocer más de este tipo de temas “Matemáticas misteriosas × Programación”, no dudes en pedirme “cuéntame más”. ¡Pronto te presentaré la Hipótesis de Riemann, historias sobre números primos y muchas cosas más!

📮 ¡Fin!

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