Teoría De La Probabilidad on kenji.blog

El problema de la bella durmiente: ¿la probabilidad de la moneda es 1/2 o 1/3? Un problema complejo que divide la teoría de la probabilidad

Thu, 10 Sep 2026 09:00:00 +0900

1. Las reglas de un experimento extraño

Tú (la bella durmiente) has sido elegida como sujeto de un cierto experimento científico. El experimento se lleva a cabo de domingo a miércoles. La noche del domingo, te dan una pastilla para dormir y te quedas dormida.

Después de que te duermas, el experimentador lanza una moneda justa (una moneda con una probabilidad exactamente de 1/2 de salir cara o cruz). Luego, dependiendo del resultado, te despertará con el siguiente horario:

【Si el resultado del lanzamiento de la moneda es “cara”】

Te despertarán solo una vez el lunes y te harán una pregunta. Después de eso, te volverán a dormir y no te despertarás hasta que termine el experimento (el miércoles).

【Si el resultado del lanzamiento de la moneda es “cruz”】

Te despertarán el lunes y te harán una pregunta. Después de eso, te darán una medicina especial (una medicina que borra la memoria) y te volverás a dormir.
Te despertarán nuevamente el martes y te harán la misma pregunta. Después de eso, te volverán a dormir y el experimento terminará (el miércoles).

※ Debido al efecto de la medicina que borra la memoria, cuando despiertas no puedes recordar en absoluto “qué día de la semana es hoy” ni “si te han despertado en el pasado”.

graph TD Sunday["Domingo: La bella durmiente duerme"] --> Toss{"Lanzamiento de moneda"} Toss -->|Cara (1/2)| Mon_Heads["Lunes: Despertar + Pregunta
(Luego el experimento termina)"] Toss -->|Cruz (1/2)| Mon_Tails["Lunes: Despertar + Pregunta
(Luego se borra la memoria)"] Mon_Tails --> Tue_Tails["Martes: Despertar + Pregunta
(Luego el experimento termina)"] style Toss fill:#ff9999,stroke:#333 style Mon_Heads fill:#aaffaa,stroke:#333 style Mon_Tails fill:#aaffaa,stroke:#333 style Tue_Tails fill:#aaffaa,stroke:#333

Ahora bien, es lunes (o martes) y te has despertado. No hay reloj ni calendario en la habitación, así que no sabes qué día es hoy.

Entonces, el experimentador llega y te hace esta pregunta: “En tu estado actual de vigilia, ¿cuál crees que es la probabilidad de que la moneda que se lanzó haya salido ‘cara’?”

Eres una belleza con grandes conocimientos matemáticos. Ahora bien, ¿qué respondes?

2. Dos facciones en choque: ¿1/2 o 1/3?

Este problema fue ideado en la década de 1990 y publicado en una revista académica por el filósofo Adam Elga en el año 2000. La probabilidad de la moneda puede parecer obvia, pero de hecho, en torno a este problema, matemáticos, estadísticos y filósofos de todo el mundo se han dividido exactamente por la mitad en dos bandos: “La facción de 1/2 (Halfers)” y “La facción de 1/3 (Thirders)”, y continúan debatiendo ferozmente hasta el día de hoy.

Escuchemos la “lógica perfecta” de cada bando.

Argumento de “La facción de 1/2 (Halfers)”

“Como la moneda es una moneda justa sin trucos, la probabilidad de que salga cara es naturalmente 1/2. Sin importar cuántas veces el experimentador me despierte o me borre la memoria después de que me haya dormido, eso no afecta en absoluto el resultado físico de la moneda. La probabilidad en el momento en que se lanzó la moneda era de 1/2, y no he obtenido ninguna información nueva (pistas para adivinar si fue cara o cruz) por haberme despertado. Por lo tanto, la probabilidad sigue siendo 1/2.”

Esta es una opinión muy razonable que enfatiza los fenómenos físicos objetivos y la no actualización de la información.

Argumento de “La facción de 1/3 (Thirders)”

“El hecho mismo de que estés ‘despierta’ es la información que cambia la probabilidad. Supongamos que repetimos este experimento 100 veces (100 semanas). La moneda debería salir ‘cara’ 50 veces y ‘cruz’ 50 veces.

En las 50 semanas en que sale cara, te despiertas solo una vez el lunes $\rightarrow$ El número de veces que te despiertas con ‘cara’ es de 50 veces

En las 50 semanas en que sale cruz, te despiertas dos veces, el lunes y el martes $\rightarrow$ El número de veces que te despiertas con ‘cruz’ es de 100 veces

En otras palabras, de un total de 150 situaciones en las que te despiertas, hay 50 veces para el ‘patrón de despertar con cara’ y 100 veces para el ‘patrón de despertar con cruz’. ¡Por lo tanto, la probabilidad de que el despertar que estás experimentando ahora sea ‘cara’ es 50 / 150 = 1/3!”

Esta es una opinión sólida basada en el “frecuentismo” o el “principio antrópico”, que incorpora la situación misma de “existir (observar) en este momento” en el cálculo como un elemento del espacio de probabilidad.

3. Intentando calcular con el Teorema de Bayes

También hay intentos de desentrañar este problema utilizando el “Teorema de Bayes”, una herramienta para actualizar matemáticamente las probabilidades. Organicemos la lógica de “La facción de 1/3” desde la perspectiva de la probabilidad condicional.

Al despertar, el estado será uno de los siguientes tres:

$E_1$: La moneda es “cara” y hoy es “lunes”
$E_2$: La moneda es “cruz” y hoy es “lunes”
$E_3$: La moneda es “cruz” y hoy es “martes”

La probabilidad de obtener “cara” es $1/2$, y la probabilidad de obtener “cruz” es $1/2$. Sin embargo, en el caso de cruz, como “lunes” y “martes” son completamente simétricos (no se pueden distinguir porque no hay memoria), se considera que la probabilidad de que ocurra $E_2$ y $E_3$ es igual.

Dado que la suma total de las probabilidades debe ser $1$, si asignamos cada despertar como un “evento (punto de observación)” independiente con igual probabilidad: $P(E_1) = 1/3$ $P(E_2) = 1/3$ $P(E_3) = 1/3$ Por lo tanto, la conclusión es que la “probabilidad de que fuera cara ($P(E_1)$)” es $1/3$.

Por otro lado, “La facción de 1/2” contraargumenta que, para empezar, “los lunes y martes cuando la moneda es cruz ($E_2$ y $E_3$) son eventos dependientes que simplemente se derivan del resultado de una misma moneda, y es incorrecto contarlos como probabilidades independientes”.

4. ¿Por qué no se resuelve este problema?

La razón por la cual “El problema de la bella durmiente” atormenta tanto a los académicos no se debe a un simple error de cálculo o ilusión. Es porque este problema toca la cuestión fundamental más profunda de la teoría de la probabilidad, a saber, la pregunta filosófica: "¿Qué es exactamente la probabilidad?"

Para la facción de 1/2, la probabilidad es “la propiedad física de la moneda” o “un hecho objetivo”.
Para la facción de 1/3, la probabilidad es “el grado de creencia del observador (la bella)” o “la frecuencia con la que se observa”.

Un tema profundo que también se conecta con el “problema de la medición” en la mecánica cuántica y el “principio antrópico” en cosmología (la idea de calcular inversamente las probabilidades del universo a partir del hecho de que existimos) está condensado en este simple experimento de lanzamiento de una moneda.

5. Resumen

Si fueras el sujeto de este experimento, ¿responderías “1/2” o “1/3” al despertar?

Cualquiera que respondas, matemáticos de clase mundial estarán a tus espaldas para defenderte. Cómo definiciones matemáticas aparentemente simples colapsan tan pronto como se vinculan con conceptos problemáticos como la “subjetividad” y la “existencia” humanas. Las paradojas continúan sacudiendo nuestro sentido común hoy en día.

La paradoja de San Petersburgo: ¿Cuánto pagarías por un juego con un valor esperado "infinito"?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. El juego de los sueños con un valor esperado “infinito”

Mientras caminas por un casino, un crupier te invita a jugar a un nuevo juego de lanzamiento de moneda.

[Reglas del juego]

Pagas una cuota de entrada para empezar a jugar.
Lanzas una moneda. Si sale cara, el premio se duplica y puedes volver a lanzar.
Si sale cruz, el juego termina. Recibirás el dinero acumulado hasta ese momento.

El premio inicial comienza en 2 dólares.

Si sale cruz en el primer lanzamiento, recibes 2 dólares y termina.
Si sale cara en el primero y cruz en el segundo, recibes 4 dólares y termina.
Si sale cara en el primero, cara en el segundo y cruz en el tercero, recibes 8 dólares y termina.
…Y así sucesivamente, mientras siga saliendo cara, el premio se duplica: 16 dólares, 32 dólares, 64 dólares…

graph TD Start["Inicio del juego"] --> Toss1{"1er lanzamiento de moneda"} Toss1 -->|Cruz (1/2)| End1["Fin: Ganas 2 dólares"] Toss1 -->|Cara (1/2)| Toss2{"2do lanzamiento de moneda"} Toss2 -->|Cruz (1/2)| End2["Fin: Ganas 4 dólares"] Toss2 -->|Cara (1/2)| Toss3{"3er lanzamiento de moneda"} Toss3 -->|Cruz (1/2)| End3["Fin: Ganas 8 dólares"] Toss3 -->|Cara (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Mientras más consecutivas sean| Infinite["¡El premio se duplica infinitamente!"]

Ahora, te hago una pregunta. Si la entrada para este juego costara “10.000 dólares”, ¿participarías?

Probablemente, la mayoría de la gente respondería “No”. Porque hay un 50% de probabilidades de que salga cruz en el primer lanzamiento y ganar solo 2 dólares, perdiendo así mucho dinero.

Sin embargo, si hacemos los cálculos fielmente a la teoría de probabilidades matemáticas (valor esperado), descubrimos un hecho sorprendente. Matemáticamente hablando, deberías participar en este juego incluso si la entrada costara 10.000 dólares o 1 millón de dólares, incluso si tuvieras que pedir prestado todo el dinero que tienes.

¿Por qué ocurre esto?

2. Calculemos el valor esperado

Para determinar matemáticamente si un juego es “rentable o perjudicial”, utilizamos un indicador llamado “valor esperado”. El valor esperado es un número que representa “cuánto dinero ganarías en promedio por vez si jugaras a ese juego repetidamente”. La fórmula se calcula sumando todos los resultados de “(premio recibido) × (su probabilidad)”.

Calculemos el valor esperado de este juego.

Probabilidad de que salga cruz en el 1er lanzamiento: $\frac{1}{2}$ El premio es de $2$ dólares. Contribución al valor esperado = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el 2do lanzamiento: Sale cara y luego cruz, por lo tanto $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ El premio es de $4$ dólares. Contribución al valor esperado = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el 3er lanzamiento: Sale cara, cara, y cruz, por lo tanto $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ El premio es de $8$ dólares. Contribución al valor esperado = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dólar
Probabilidad de que salga cruz en el enésimo ($n$) lanzamiento: $(\frac{1}{2})^n$ El premio es de $2^n$ dólares. Contribución al valor esperado = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dólar

Es decir, no importa en qué lanzamiento termine el juego, el valor esperado de ese escenario es siempre “1 dólar”. Como el juego puede continuar infinitamente, si sumamos todos estos valores esperados obtenemos lo siguiente:

$$ \text{Valor esperado total} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (infinito)} $$

La respuesta obtenida por las matemáticas fue: “El valor esperado de este juego es infinito”. Dado que el valor esperado es infinito, no importa cuán alta sea la cuota de entrada, teóricamente es un “juego rentable” sin lugar a dudas.

Esta es la “Paradoja de San Petersburgo”, planteada por Nicolaus Bernoulli en 1713. El resultado matemático correcto (que tiene un valor infinito) y el sentido común humano realista (que solo querría pagar unos pocos dólares) están en una fuerte contradicción.

3. El descubrimiento de la “utilidad” que resuelve la discrepancia entre las matemáticas y los seres humanos

Quien resolvió esta paradoja fue el genial matemático Daniel Bernoulli, primo de Nicolaus. (Recibe este nombre porque presentó su artículo en la Academia de Ciencias de San Petersburgo).

Daniel profundizó en la psicología humana. Él pensó que “los seres humanos no juzgan las cosas por la ‘cantidad absoluta’ de dinero, sino por la ‘satisfacción (utilidad)’ que el dinero les proporciona”.

A esto se le llama la “ley de la utilidad marginal decreciente”.

El valor del dinero disminuye según la cantidad que poseas

Por ejemplo, si estás muriendo de sed en un desierto, el primer vaso de agua tiene un valor (satisfacción) por el que “pagarías hasta 10.000 dólares”. Sin embargo, a medida que bebes el segundo y tercer vaso, el valor de un vaso de agua disminuye gradualmente. Al llegar al décimo vaso, probablemente dirías “ya no lo quiero ni aunque sea gratis”.

Lo mismo ocurre con el dinero.

“10.000 dólares” para alguien con cero ahorros tienen un valor inmenso que puede salvarle la vida.
Sin embargo, “10.000 dólares” para Elon Musk, con un patrimonio de miles de millones, solo tienen el mismo valor (satisfacción) que una moneda tirada en la calle.

En otras palabras, aunque el premio aumente infinitamente de 2 dólares $\rightarrow$ 4 dólares $\rightarrow$ 8 dólares $\rightarrow$ 16 dólares…, la “alegría (utilidad)” que siente un ser humano no aumenta infinitamente en proporción a la cantidad.

4. Recalcular el valor esperado usando la “utilidad”

Daniel Bernoulli asumió que “el valor (utilidad) del dinero que siente un ser humano es proporcional al logaritmo ($\log$) de la cantidad”.

Si llamamos $x$ a la cantidad de dinero, expresemos el valor (utilidad) humano $u(x)$ mediante una función logarítmica (aquí consideraremos un modelo simple con base 2).

Utilidad de un premio de $2$ dólares: $\log_2(2) = 1$
Utilidad de un premio de $4$ dólares: $\log_2(4) = 2$
Utilidad de un premio de $8$ dólares: $\log_2(8) = 3$
Utilidad de un premio de $2^n$ dólares: $\log_2(2^n) = n$

La cantidad de dinero se duplica, pero la “alegría” humana solo aumenta poco a poco: 1, 2, 3… Usemos esta “utilidad” para calcular de nuevo el valor esperado (utilidad esperada).

$$ \text{Utilidad esperada} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Si calculamos la suma de esta serie infinita, el resultado no es “infinito”, sino que converge a “2”. Si calculamos a la inversa la cantidad de dinero que corresponde a una utilidad de “2”, obtenemos $2^2 = 4$ dólares.

Es decir, al recalcular incorporando la psicología humana (utilidad), obtenemos una respuesta extremadamente sensata y realista: “El valor de este juego, según la percepción humana, es de aproximadamente ‘4 dólares’”. Es por eso que no nos sentimos inclinados a pagar 10.000 dólares por jugar.

5. Resumen: La paradoja que abrió las puertas de la economía

La paradoja de San Petersburgo fue una paradoja revolucionaria que demostró matemáticamente que el número objetivo llamado “cantidad de dinero” y el valor subjetivo llamado “satisfacción humana” no concuerdan.

El concepto de “utilidad (Utility)” propuesto por Daniel Bernoulli se convirtió, tras 200 años, en la base más importante de la microeconomía moderna y la ingeniería financiera (como la teoría de carteras). Nuestro comportamiento de adquirir seguros o diversificar inversiones también se puede explicar completamente mediante este mecanismo psicológico humano de la “utilidad marginal decreciente (el dolor de una gran pérdida es mucho mayor que la alegría de una gran ganancia)”.

Un simple problema matemático sobre un juego de azar sirvió como catalizador para desentrañar la mente humana y dar origen a la vasta disciplina de la economía.

El problema de Monty Hall: Una trampa para la intuición y su solución completa mediante inferencia bayesiana

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. El escenario es un concurso de televisión: ¿Qué harías tú?

En 1990, en la columna “Ask Marilyn” (Pregúntale a Marilyn) de la revista de noticias estadounidense Parade, un lector envió la siguiente pregunta:

Eres un concursante en un programa de televisión. Frente a ti hay 3 puertas (A, B, C). Detrás de una de las puertas hay un coche nuevo (premio), y detrás de las otras dos hay cabras (perdedoras).

Primero, tú eliges la Puerta A.

Entonces, Monty Hall, el presentador que sabe detrás de qué puerta está el coche, abre la Puerta B, que revela una cabra.

Monty te dice: “Ahora puedes cambiar a la Puerta C. ¿Qué haces?”

Y bien, ¿deberías cambiar de puerta?

Intuitivamente, podrías pensar: “Quedan dos puertas, A y C. Dado que el coche está en una de ellas de forma completamente aleatoria, la probabilidad de ganar en ambas es de $\frac{1}{2}$ (50%). Así que da lo mismo si cambio o no”.

Sin embargo, la columnista Marilyn vos Savant (reconocida en el Libro Guinness de los Récords por tener el coeficiente intelectual más alto) respondió: “Deberías cambiar. Si cambias, tu probabilidad de ganar se duplica”.

Esta respuesta causó sensación en todo el país y provocó una avalancha de unas 10.000 cartas de protesta (entre ellas unas 1.000 de académicos con doctorado en matemáticas). Fueron bombardeados con duras críticas como “No entiendes lo básico de la probabilidad” y “Lógica de mujeres”. Pero, en conclusión, la respuesta de Marilyn era matemáticamente, de manera absoluta, correcta.

2. La brecha entre la intuición y las matemáticas: Visualizando las ramas de probabilidad con Mermaid

¿Por qué nuestra intuición nos engaña haciéndonos creer que es “$\frac{1}{2}$”? Primero, visualicemos todos los patrones del juego.

graph TD Start["Inicio del juego"] --> CarA["El coche está en la Puerta A (probabilidad 1/3)"] Start --> CarB["El coche está en la Puerta B (probabilidad 1/3)"] Start --> CarC["El coche está en la Puerta C (probabilidad 1/3)"] CarA --> PickA1["Eliges la Puerta A"] CarB --> PickA2["Eliges la Puerta A"] CarC --> PickA3["Eliges la Puerta A"] PickA1 --> HostB_or_C["El presentador abre B o C"] PickA2 --> HostC["El presentador abre C obligatoriamente"] PickA3 --> HostB["El presentador abre B obligatoriamente"] HostB_or_C --> Stay1["No cambias: ¡Premio!"] HostB_or_C --> Switch1["Cambias: Pierdes..."] HostC --> Stay2["No cambias: Pierdes..."] HostC --> Switch2["Cambias: ¡Premio!"] HostB --> Stay3["No cambias: Pierdes..."] HostB --> Switch3["Cambias: ¡Premio!"] style Switch2 fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px style Switch3 fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px style Stay1 fill:#f99,stroke:#333,stroke-width:2px

Si asumimos que has elegido la “Puerta A”, ocurrirán los siguientes tres escenarios con igual probabilidad ($\frac{1}{3}$).

Escenario 1 (El coche está en A): El presentador abre B o C, donde hay una cabra. Si cambias de puerta, pierdes.
Escenario 2 (El coche está en B): El presentador solo puede abrir C, donde hay una cabra. Si cambias de puerta, ganas.
Escenario 3 (El coche está en C): El presentador solo puede abrir B, donde hay una cabra. Si cambias de puerta, ganas.

En otras palabras, en 2 de las 3 veces (Escenarios 2 y 3), “si cambias de puerta, ganas seguro”. Por lo tanto, la probabilidad de ganar si cambias de puerta es de $\frac{2}{3}$, que es el doble de la probabilidad de $\frac{1}{3}$ de ganar si no cambias.

3. Demostración rigurosa mediante el Teorema de Bayes

Para resolver estrictamente este problema de forma matemática, utilizamos el “Teorema de Bayes”, que calcula la probabilidad condicional.

$$ P(H|E) = \frac{P(E|H) P(H)}{P(E)} $$

Aquí, definimos los eventos de la siguiente manera:

$C_A, C_B, C_C$ : Los eventos donde el coche está en la Puerta A, B y C respectivamente. Las probabilidades a priori son $P(C_A) = P(C_B) = P(C_C) = \frac{1}{3}$.
Supongamos que eliges inicialmente la Puerta A.
$M_B$ : El evento en el que el presentador abre la Puerta B donde hay una cabra.

Lo que queremos averiguar es “la probabilidad de que el coche esté en la Puerta C, dado que el presentador ha abierto la Puerta B”, es decir, la probabilidad a posteriori $P(C_C|M_B)$.

Primero, consideramos la probabilidad de que el presentador abra la puerta B dependiendo de dónde esté el coche, $P(M_B|C_X)$.

Si el coche está en la Puerta A ($C_A$) El presentador puede abrir B o C al azar.
$$ P(M_B|C_A) = \frac{1}{2} $$
Si el coche está en la Puerta B ($C_B$) El presentador no puede abrir la puerta con el coche, por lo que la probabilidad de abrir B es cero.
$$ P(M_B|C_B) = 0 $$
Si el coche está en la Puerta C ($C_C$) El presentador no puede abrir A (la que elegiste) ni C (donde está el coche), así que inevitablemente tiene que abrir B.
$$ P(M_B|C_C) = 1 $$

A continuación, calculamos la probabilidad total de que el presentador abra la puerta B, $P(M_B)$, usando el “Teorema de la probabilidad total”.

$$ P(M_B) = P(M_B|C_A)P(C_A) + P(M_B|C_B)P(C_B) + P(M_B|C_C)P(C_C) $$ $$ P(M_B) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(0 \times \frac{1}{3}\right) + \left(1 \times \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} $$

Finalmente, aplicamos el teorema de Bayes para calcular las probabilidades a posteriori para la Puerta A y la Puerta C.

Probabilidad de que el coche esté en la Puerta A (si no cambias):

$$ P(C_A|M_B) = \frac{P(M_B|C_A) P(C_A)}{P(M_B)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} $$

Probabilidad de que el coche esté en la Puerta C (si cambias):

$$ P(C_C|M_B) = \frac{P(M_B|C_C) P(C_C)}{P(M_B)} = \frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} $$

La demostración matemática también muestra claramente que “cambiar de puerta duplica tus posibilidades de ganar (2/3)”.

4. Sesgo cognitivo: El valor de la información del “condicionamiento”

¿Por qué incluso muchos matemáticos geniales se equivocan intuitivamente en este problema? Se debe al “sesgo de equiprobabilidad” y al “fallo en la actualización de la información” integrados en el cerebro humano.

4.1. Sesgo de equiprobabilidad (Equiprobability Bias)

Los humanos tienden inconscientemente a asignar que “la probabilidad de las opciones restantes es siempre igual” cuando se les presentan opciones desconocidas. En el momento en que vemos que quedan dos puertas, nuestro cerebro las etiqueta automáticamente como “$50\%$ : $50\%$”.

4.2. La información de la “intención” del presentador

La principal razón por la que nuestra intuición falla es ignorar el hecho de que las acciones del presentador no son aleatorias. Si la regla fuera que el presentador “abre una puerta al azar sin saber dónde está el coche y da la casualidad de que es una cabra” (conocido como el problema de Monty Fall), la probabilidad para la Puerta A y la Puerta C sería de $\frac{1}{2}$ para ambas.

Sin embargo, en el problema real de Monty Hall, el presentador actúa bajo las siguientes estrictas restricciones:

No puede abrir la puerta que eligió el concursante.
No puede abrir la puerta donde está el coche.

Debido a estas restricciones, el acto del presentador de “abrir la puerta B” en sí mismo nos da una información enorme sobre la Puerta C. Es un mensaje tácito de: “No pude abrir la puerta C (porque allí está el coche)”.

5. Corrigiendo la intuición con un ejemplo extremo

Si aún no estás convencido, intentemos aumentar el número de puertas a 1 millón.

Tú eliges la Puerta 1 entre 1 millón de puertas. (La probabilidad de acertar es $\frac{1}{1,000,000}$)
El presentador, que lo sabe todo, abre 999.998 puertas con cabras de las 999.999 restantes.
Las únicas puertas cerradas son la “Puerta 1” que tú elegiste y la “Puerta 777.777” que el presentador dejó a propósito.

Ahora, ¿cambias? En este caso, a menos que creas que lograste el milagro de “uno en un millón” en tu primera elección, no deberías mantenerla. Probablemente puedas entender intuitivamente que la probabilidad de que el coche esté en “la única puerta que el presentador no pudo abrir bajo ningún concepto” es de $\frac{999,999}{1,000,000}$.

El problema de Monty Hall (con 3 puertas) es simplemente este mismo fenómeno reducido a la escala de “1 millón de puertas”.

pie title "Efecto de cambiar de puerta (Simulación de 100 veces)" "Ganas cambiando (aprox. 66.7%)" : 67 "Ganas sin cambiar (aprox. 33.3%)" : 33

6. Conclusión: Lecciones para los negocios y la vida de la teoría de la probabilidad

El problema de Monty Hall va más allá de ser un simple concurso y nos enseña valiosas lecciones.

La intuición a menudo se equivoca: El cerebro humano no ha evolucionado para procesar intuitivamente probabilidades condicionales complejas. Es peligroso basarse solo en la intuición para tomar decisiones importantes.
Actualizar probabilidades con nueva información (Actualización bayesiana): Cuando la situación cambia y se dispone de nueva información (como qué puerta abrió el presentador), la clave del éxito está en la capacidad de actualizar tus probabilidades y estrategias de forma flexible, sin aferrarte a tus ideas preconcebidas.

La pequeña decisión de “cambiar de puerta” puede duplicar tus posibilidades de conseguir el “coche nuevo” en tu vida.

La paradoja de los dos sobres: el colapso lógico y la trampa de las decisiones provocados por el valor esperado infinito

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. La decisión definitiva: ¿Cambiar o no cambiar?

Estás en la etapa final de un programa de juegos. En la mesa frente a ti hay dos sobres (A y B) que se ven exactamente iguales. El presentador te dice:

“Un sobre contiene el doble de dinero que el otro. Por favor, elige uno.”

Después de dudar, eliges el sobre A. Justo cuando estás a punto de ver lo que hay dentro, el presentador te susurra como un demonio.

“Ahora mismo, puedes cambiar ese sobre A por el sobre B restante si quieres. ¿Lo cambias?”

Entonces, ¿deberías cambiar los sobres?

2. El “bucle infinito” que se deduce del cálculo del valor esperado

Aquí, pongamos en práctica un poco de pensamiento matemático. Supongamos que la cantidad de dinero en tu sobre A es de $X$ yenes. La cantidad en el sobre B, según las reglas, es “la mitad de $X$ yenes ($\frac{X}{2}$)” o “el doble de $X$ yenes ($2X$)”. La probabilidad de cada uno es $\frac{1}{2}$ (50%).

Entonces, calculemos el valor esperado (la cantidad promedio esperada) si cambias el sobre.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

El resultado es sorprendente. Con solo cambiar el sobre, el valor esperado salta de los $X$ yenes originales a $1.25$ veces (un aumento del 25%). La conclusión es: “¡Pensando matemáticamente, definitivamente es más rentable cambiar!”.

Sin embargo, aquí ocurre un colapso lógico. Supongamos que lo cambiaste por el sobre B. ¿Qué pasaría si, inmediatamente después, el presentador volviera a preguntar: “¿Quieres volver al A después de todo?”? Se aplicará exactamente la misma fórmula, y esta vez será “cambiar de B a A aumentará el valor esperado 1,25 veces”.

Es decir, el valor esperado teórico seguirá aumentando infinitamente con solo seguir cambiando “de A a B” y “de B a A”. Esto es claramente contradictorio con la realidad (el contenido del sobre está determinado desde el principio, y no aumentará solo porque lo cambies).

graph TD Start["Eliges el sobre A (El contenido es X yenes)"] --> Think["Calculas si es mejor cambiar"] Think --> Case1["El sobre B tiene la mitad (X/2 yenes) : Probabilidad 50%"] Think --> Case2["El sobre B tiene el doble (2X yenes) : Probabilidad 50%"] Case1 --> Calc["Valor esperado = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["¡Cambias al sobre B! (El contenido es Y yenes)"] SwitchToB --> ThinkAgain["Calculas de nuevo"] ThinkAgain --> Case3["El sobre A tiene la mitad (Y/2 yenes) : Probabilidad 50%"] ThinkAgain --> Case4["El sobre A tiene el doble (2Y yenes) : Probabilidad 50%"] Case3 --> Calc2["Valor esperado = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["¡Vuelves a cambiar al sobre A!"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

¿Por qué un cálculo del valor esperado que parece perfecto a primera vista crea una paradoja tan extraña?

3. Aclarando el truco matemático: el intercambio de variables

La trampa de esta paradoja reside en el “uso de la variable aleatoria $X$”.

En la fórmula anterior, tratamos la cantidad $X$ del sobre A como una constante fija y supusimos que el sobre B era “$\frac{X}{2}$ o $2X$”. Sin embargo, lo que originalmente está fijo es “la suma de las cantidades en los dos sobres”, o “la cantidad menor”.

Sea $S$ la cantidad en el sobre con menos dinero. Entonces, el sobre con más dinero contiene la cantidad de $2S$. Hay solo dos patrones para todos los escenarios del juego (cada uno con una probabilidad de $\frac{1}{2}$).

Patrón 1: El sobre A que elegiste es el que tiene menos ($S$) y el sobre B es el que tiene más ($2S$)
Patrón 2: El sobre A que elegiste es el que tiene más ($2S$) y el sobre B es el que tiene menos ($S$)

Aquí calcularemos correctamente el valor esperado para “cuando no cambias” y “cuando cambias” el sobre.

Valor esperado cuando no cambias $E_{stay}$:

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

Valor esperado cuando cambias $E_{switch}$: En el patrón 1 obtienes $2S$, y en el patrón 2 obtienes $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

¡El valor esperado coincide perfectamente! En el primer cálculo incorrecto, la ilusión de que “el valor esperado aumenta si cambias” fue creada por tratar diferentes valores, el $X$ en el patrón 1 (en realidad $S$) y el $X$ en el patrón 2 (en realidad $2S$), como la misma variable $X$.

pie title "La verdad del valor esperado (asumiendo S como la cantidad menor)" "Valor esperado si no cambias (1.5S)" : 50 "Valor esperado si cambias (1.5S)" : 50

4. ¿Qué pasa si ya has abierto el sobre?

La paradoja parece estar resuelta con esto. Sin embargo, nos espera un problema más profundo.

¿Qué pasaría si, antes de cambiar de sobre, vieras lo que hay dentro de tu sobre A? Abres el sobre A y resulta que contiene “10,000 yenes”.

En este momento, se convierte en un valor confirmado de $X = 10000$. El sobre B contiene “5,000 yenes” o “20,000 yenes”. ¿Qué sucede si aplicamos la primera fórmula aquí?

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

El valor esperado es de 12,500 yenes. Es indudablemente más alto que los 10,000 yenes actuales. Además, esta vez $X$ es una “constante específica” de 10,000 yenes, por lo que el contraargumento de “intercambio de variables” de antes no es aplicable. Siendo este el caso, ¿es absolutamente más rentable cambiar?

Refutación por inferencia bayesiana: Falta de “distribución a priori”

Frente a esto, los matemáticos introdujeron el concepto de “distribución a priori (probabilidad a priori) de la cantidad de dinero”. La pregunta es si realmente podemos decir que los 5,000 yenes y los 20,000 yenes tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de estar dentro.

Por ejemplo, digamos que el presupuesto máximo del programa es de 100 millones de yenes. Si abres el sobre A y tiene “60 millones de yenes”, la probabilidad de que el sobre B tenga “120 millones de yenes” es cero (porque supera el presupuesto). En otras palabras, cuanto mayor sea la cantidad en el sobre A, menor debería ser la probabilidad de que el sobre B tenga “el doble”, y mayor debería ser la probabilidad de que tenga “la mitad”.

Si calculamos el valor esperado usando el Teorema de Bayes asumiendo una distribución a priori arbitraria $P(x)$, se ha demostrado matemáticamente que para cualquier distribución de probabilidad realista (cuya suma es 1), no existe una distribución mágica en la que “sea más rentable cambiar” para todas las cantidades $X$.

5. La trampa del infinito: la conexión con la paradoja de San Petersburgo

Existe un único caso en el que “es más rentable cambiar para todas las cantidades $X$”. Eso es solo cuando el presupuesto del programa es infinito y asumimos una “distribución de probabilidad impropia (una distribución cuya suma es infinita)” en la que todas las cantidades (1 yen, 2 yenes, 4 yenes, 8 yenes… infinito) aparecen de manera uniforme.

Sin embargo, en el mundo real no existe una cadena de televisión con activos infinitos. El error causado por este “valor esperado infinito” está profundamente arraigado en la Paradoja de San Petersburgo (el problema de cuánto estaría dispuesta a pagar una persona por una apuesta con un valor esperado infinito).

6. Resumen: Los peligros de la probabilidad y el valor esperado

“La paradoja de los dos sobres”, a pesar de consistir únicamente en multiplicaciones y sumas simples, nos enseña las siguientes lecciones.

Errores nacidos de definiciones ambiguas: si no dejas claro a qué se refiere una variable (¿$X$ siempre se refiere a la misma cantidad?), la lógica colapsa fácilmente.
La ilusión de que “sin información = probabilidad del 50%”: la suposición de “no sé, así que será mitad y mitad” (el principio de razón insuficiente) a veces provoca errores de cálculo fatales.
La dificultad de tratar con el infinito: introducir el concepto de “infinito”, que no se puede aplicar al mundo real, en fórmulas de cálculo produce resultados que van en contra del sentido común.

La próxima vez en la vida que pienses que “el césped del vecino se ve más verde y es mejor cambiar”, recuerda esta paradoja. Es posible que solo se hayan intercambiado las variables en tu fórmula de cálculo.