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¿'Positivo en la prueba' no siempre significa 'enfermedad'?: La falacia de la tasa base

Thu, 10 Sep 2026 21:00:00 +0900

Cualquiera entraría en pánico si recibe un resultado “positivo (anormal)” en un chequeo médico o en las pruebas de detección de cáncer. Sin embargo, con conocimientos de estadística y probabilidad, es posible que pueda respirar hondo y mantener la calma. Esto se debe a que “dar positivo en una prueba de alta precisión” no significa necesariamente que “la probabilidad de estar realmente enfermo sea alta”.

Este es un sesgo cognitivo típico en el que la intuición humana se equivoca enormemente en los cálculos de probabilidad, conocido como “falacia de la tasa base (Base Rate Fallacy)” o “negligencia de la probabilidad previa”.

El aterrador problema del chequeo médico

Imagina la siguiente situación:

En una ciudad, existe una enfermedad desconocida que infecta a 1 de cada 10.000 personas (0,01%). Para detectar esta enfermedad, se ha desarrollado un excelente kit de prueba con una “precisión del 99%”. (*Una precisión del 99% significa que si una persona enferma se somete a la prueba, hay un 99% de probabilidad de que sea diagnosticada correctamente como “positiva”, y si una persona sana se somete a ella, hay un 99% de probabilidad de que sea diagnosticada correctamente como “negativa”.)

Casualmente, te sometes a esta prueba y el resultado es “positivo”. Ahora bien, ¿cuál es la probabilidad real de que estés infectado con esta enfermedad?

Muchas personas responderán intuitivamente: “Dado que la precisión de la prueba es del 99%, la probabilidad de que yo esté enfermo también debe ser del 99%”. Sin embargo, la respuesta matemática correcta es “aproximadamente 0,98% (menos del 1%)”.

¿Por qué, a pesar de tener una precisión del 99%, la probabilidad real termina siendo menor al 1%?

El Teorema de Bayes y la visualización del total

La clave para resolver este problema no es solo la precisión de la prueba, sino considerar “qué tan rara es originalmente esa enfermedad (tasa base / probabilidad previa)”. Visualicemos este fenómeno contraintuitivo utilizando una gran población de 1 millón de personas.

Población total: 1.000.000 de personas
Personas realmente enfermas (1 de cada 10.000): 100 personas
Personas sanas: 999.900 personas

A este millón de personas se les aplica la prueba con una “precisión del 99%”.

1. Cuando las personas realmente enfermas (100 personas) se hacen la prueba

Dado que la precisión es del 99%, quienes son diagnosticados correctamente como “positivos” son: 100 personas × 99% = 99 personas (Verdaderos positivos)

2. Cuando las personas sanas (999.900 personas) se hacen la prueba

Dado que la precisión es del 99%, hay personas que son diagnosticadas incorrectamente como “positivas” con una probabilidad del 1% (falsos positivos): 999.900 personas × 1% = 9.999 personas (Falsos positivos)

graph TD A["Población total (1,000,000 personas)"] --> B["Personas enfermas (100 personas)"] A --> C["Personas sanas (999,900 personas)"] B -->|99% acierto| B1["Verdaderos positivos (99 personas)"] B -->|1% error| B2["Falsos negativos (1 persona)"] C -->|99% acierto| C1["Verdaderos negativos (989,901 personas)"] C -->|1% error| C2["Falsos positivos (9,999 personas)"] B1 -.-> D{"Total de diagnosticados como 'positivos': 10,098 personas"} C2 -.-> D style A fill:#ECEFF1,stroke:#333 style B fill:#FFCDD2,stroke:#333 style C fill:#C8E6C9,stroke:#333 style B1 fill:#F44336,stroke:#333,color:#fff style C2 fill:#FF9800,stroke:#333,color:#fff style D fill:#FFF9C4,stroke:#333,stroke-width:2px

Tu verdadera probabilidad de estar enfermo

Ahora, el médico te ha informado que “eres positivo”. Esto significa que has entrado en el grupo en la parte inferior derecha del diagrama: “Total de diagnosticados como ‘positivos’ (10,098 personas)”.

Dentro de este grupo, ¿cuál es la proporción de “personas que realmente están enfermas (verdaderos positivos)”?

$$ \text{Probabilidad de estar realmente enfermo} = \frac{\text{Verdaderos positivos}}{\text{Total de diagnosticados como positivos}} = \frac{99}{99 + 9,999} = \frac{99}{10,098} \approx 0.0098 $$

El resultado del cálculo es aproximadamente 0,98%. A pesar de que te hayan dicho “positivo”, la probabilidad de que estés sano (falso positivo) es abrumadoramente mayor (alrededor del 99%).

¿Por qué se equivoca la intuición?

Este fenómeno se explica matemáticamente por el “Teorema de Bayes”, que calcula probabilidades condicionales, pero el cerebro humano es muy malo en este cálculo.

La razón por la que cometemos errores es que nos distraemos con la información individual e intensa que se nos proporciona de inmediato ("¡El resultado de tu prueba es positivo! ¡La precisión es del 99%!"), e ignoramos los enormes y aburridos datos estadísticos de fondo (“Para empezar, solo 1 de cada 10.000 personas tiene esta enfermedad (tasa base)”).

Debido a que la “rareza de la enfermedad (0,01%)” es mucho más extrema que la “imprecisión de la prueba (1%)”, un pequeño error en la prueba abruma rápidamente el número real de personas enfermas.

La “falacia de la tasa base” oculta en la sociedad

Esta ilusión causa pánico y juicios erróneos no solo en la atención médica, sino en diversas situaciones.

Sistemas de reconocimiento facial y terroristas: Incluso si una cámara de reconocimiento facial con una precisión del 99,9% encuentra a un “terrorista” en un aeropuerto, la probabilidad base de que haya terroristas es extremadamente baja, por lo que la mayoría de los atrapados serán personas inocentes comunes y corrientes con caras similares (falsos positivos).
Accidentes de tráfico y conductores mayores: Incluso si sientes que es peligroso después de ver en las noticias que “el 〇〇% de los coches que causaron accidentes eran conducidos por personas mayores”, no puedes saber si un grupo de edad en particular es realmente propenso a causar accidentes a menos que consideres “la proporción de conductores mayores entre todos los conductores que circulan por las carreteras para empezar (tasa base)”.

La “falacia de la tasa base” nos enseña la importancia del pensamiento estadístico: exactamente cuando vemos números impactantes o casos individuales, debemos volver a preguntarnos "¿qué tan probable es que esto suceda dentro del panorama general en primer lugar? (tasa base)".

Paradoja de Simpson: el misterioso fenómeno donde ganas en las partes, pero pierdes en el todo

Thu, 10 Sep 2026 07:00:00 +0900

1. ¿En qué hospital deberías operarte?

Has contraído una enfermedad grave y debes someterte a una operación. Frente a ti tienes dos opciones: el Hospital A y el Hospital B. Has solicitado los datos de “tasa de éxito” de las operaciones de cada hospital.

【Tasa de éxito general】

Hospital A: De 1000 personas, 900 tuvieron éxito (tasa de éxito 90%)
Hospital B: De 1000 personas, 800 tuvieron éxito (tasa de éxito 80%)

Al ver esto, cualquiera pensaría “¡El Hospital A es excelente!”. Sin embargo, como tienes una personalidad precavida, decidiste investigar más a fondo para ver cómo cambian los datos según el estado de la enfermedad (leve o grave).

【Tasa de éxito en pacientes con síntomas leves】

Hospital A: De 100 personas, 99 tuvieron éxito (tasa de éxito 99%)
Hospital B: De 900 personas, 870 tuvieron éxito (tasa de éxito 96%) $\rightarrow$ En casos leves, gana el Hospital A (99% > 96%)

【Tasa de éxito en pacientes con síntomas graves】

Hospital A: De 900 personas, 801 tuvieron éxito (tasa de éxito 89%)
Hospital B: De 100 personas, 70 tuvieron éxito (tasa de éxito 70%) $\rightarrow$ Incluso en casos graves, gana el Hospital A (89% > 70%)

¿Eh? ¿No te parece extraño?

Incluso para pacientes “leves”, el Hospital A tiene una tasa de éxito mayor. Para los pacientes “graves”, el Hospital A también tiene una tasa de éxito mayor. Sin embargo, al calcular la tasa de éxito “general” combinando a todos los pacientes… ¿qué sucede?

Hospital A general: $(99 + 801) / 1000 =$ 90%
Hospital B general: $(870 + 70) / 1000 =$ 94%… no, según el cálculo anterior, ¿80%?

Espera un momento, revisemos los datos iniciales de nuevo. Los primeros datos eran así:

Tasa de éxito general del Hospital A: 90%
Tasa de éxito general del Hospital B: 80%

Pero, si recalculamos con los datos divididos detalladamente, la tasa de éxito general del Hospital B debería ser $(870 + 70) / 1000 = 940 / 1000 = $ 94%.

…¡No, has sido engañado! En realidad, este truco numérico es la aterradora trampa estadística que explicaremos esta vez. Permíteme mostrarte los datos correctos de nuevo.

2. Para ti, que fuiste engañado: Los datos reales

【Tasa de éxito en pacientes con síntomas leves】

Hospital A: De 900 personas, 870 tuvieron éxito (tasa de éxito 96%)
Hospital B: De 100 personas, 99 tuvieron éxito (tasa de éxito 99%) $\rightarrow$ En casos leves, gana el Hospital B (99% > 96%)

【Tasa de éxito en pacientes con síntomas graves】

Hospital A: De 100 personas, 30 tuvieron éxito (tasa de éxito 30%)
Hospital B: De 900 personas, 315 tuvieron éxito (tasa de éxito 35%) $\rightarrow$ Incluso en casos graves, gana el Hospital B (35% > 30%)

Es decir, ya sea en casos leves o graves, el Hospital B es abrumadoramente superior.

Entonces, intentemos sumar esto para el “total”.

Hospital A general: $(870 + 30) / (900 + 100) = 900 / 1000 =$ tasa de éxito 90%
Hospital B general: $(99 + 315) / (100 + 900) = 414 / 1000 =$ tasa de éxito 41%

¡Vaya!, aunque el Hospital B gana en todas las “partes”, ¡cuando los combinamos en “general”, el Hospital A obtiene una victoria aplastante! Este fenómeno es conocido como la “Paradoja de Simpson”.

graph TD subgraph "Datos parciales (gana B)" Light["Leves: gana el Hospital B (99% > 96%)"] Heavy["Graves: gana el Hospital B (35% > 30%)"] end subgraph "Datos generales (gana A)" Total["Suma total: Victoria aplastante del Hospital A (90% > 41%)"] end Light -->|Al sumar, misteriosamente se invierte| Total Heavy -->|Al sumar, misteriosamente se invierte| Total style Total fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px

3. ¿Por qué ocurre esta extraña inversión?

La verdadera naturaleza de esta paradoja radica en el “sesgo del tamaño de la muestra (denominador)” y las “variables ocultas (factores de confusión)”.

Observa los datos detenidamente.

El Hospital A acepta masivamente a “pacientes leves fáciles de curar” (900 personas).
El Hospital B acepta masivamente a “pacientes graves difíciles de curar” (900 personas).

Como el Hospital B tiene muy buenos médicos, es una especie de “último recurso” que acepta a muchos pacientes graves difíciles que son rechazados en otros lugares. Naturalmente, la tasa de éxito de los pacientes graves es menor (35%). La “tasa de éxito general” del Hospital B parece baja en conjunto (41%) porque es arrastrada hacia abajo por esta gran cantidad de pacientes graves con baja tasa de éxito.

Por el contrario, como el Hospital A solo trata a pacientes leves y sencillos, su tasa de éxito general solo parece alta (90%), pero cuando se compara en las mismas condiciones (graves con graves, leves con leves), sus habilidades son inferiores a las del Hospital B.

Expresado matemáticamente, la causa es una propiedad de la suma de fracciones. En general, incluso si $\frac{a}{b} < \frac{A}{B}$ y $\frac{c}{d} < \frac{C}{D}$, no siempre se cumple que:

$$ \frac{a+c}{b+d} < \frac{A+C}{B+D} $$

Cuando los tamaños de los denominadores son extremadamente diferentes, la dirección del signo de desigualdad puede invertirse.

4. La “Paradoja de Simpson” ocurrida en el mundo real

Esta paradoja no es solo un rompecabezas aritmético, sino que ocurre frecuentemente en la sociedad real y ha provocado grandes controversias.

Sospechas de discriminación de género en la Universidad de California, Berkeley en 1973

Cuando se investigó la tasa de admisión a los programas de posgrado de la Universidad de Berkeley, se descubrió que la “tasa de admisión de hombres (44%)” era significativamente mayor que la “tasa de admisión de mujeres (35%)”, lo que generó un problema al considerarse una clara discriminación hacia las mujeres. Sin embargo, cuando se dividieron y analizaron los datos detalladamente “por facultad”, se descubrió un hecho sorprendente. En casi todas las facultades, la tasa de admisión de mujeres era mayor que la de hombres.

¿Por qué se invirtieron los números generales? En realidad, las mujeres se postulaban más a “facultades con bajas tasas de admisión (altamente selectivas)”, mientras que los hombres se postulaban más a “facultades con altas tasas de admisión (fáciles de ingresar)”.

Datos de eficacia de la vacuna contra el COVID

Hubo un revuelo cuando circularon datos que indicaban que “las personas vacunadas tienen una tasa de mortalidad más alta que las no vacunadas”. Esto también es el resultado de ignorar los datos por grupos de edad (variable oculta). Dado que las vacunas se administraron con prioridad a los “ancianos (que inherentemente tienen una mayor tasa de mortalidad)”, simplemente sumar las tasas de mortalidad generales hizo que el grupo vacunado estuviera extremadamente sesgado hacia los ancianos, haciendo que la tasa de mortalidad pareciera más alta.

Al dividir y comparar por grupos de edad, se confirmó que en todas las edades “las personas vacunadas tenían una tasa de mortalidad más baja”.

5. Resumen: Los datos no mienten, pero las personas pueden mentir con los datos

La Paradoja de Simpson nos advierte sobre el “peligro de juzgar basándose únicamente en datos generales como valores promedio o totales”.

En el mundo abundan empresas, políticos y medios de comunicación que aíslan los “números generales” para promocionarse a su conveniencia. Incluso si te dicen: “¡Nuestro producto A tiene una satisfacción general mayor que el producto B de la competencia!”, quizás si lo divides en “público joven” y “público mayor”, el producto B de la competencia esté ganando en ambos grupos.

Al mirar los datos, tener una mirada crítica que no se deje engañar por los números “generales” superficiales y preguntarse: “¿No hay un sesgo extremo en las proporciones de los grupos debido a variables ocultas subyacentes (edad, género, gravedad, etc.)?” se convierte en la mejor arma para sobrevivir en la sociedad de la información actual.