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Das Sankt-Petersburg-Paradoxon: Wie viel würden Sie für ein Glücksspiel mit "unendlichem" Erwartungswert zahlen?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Das Traum-Glücksspiel mit „unendlichem“ Erwartungswert

Stellen Sie sich vor, Sie gehen durch ein Casino und ein Croupier lädt Sie zu einem neuen Münzwurf-Spiel ein.

【Spielregeln】

Sie zahlen eine Teilnahmegebühr, um das Spiel zu starten.
Eine Münze wird geworfen. Wenn Kopf fällt, verdoppelt sich das Preisgeld und Sie dürfen erneut werfen.
Wenn Zahl fällt, endet das Spiel sofort. Sie erhalten das bis zu diesem Zeitpunkt angesammelte Preisgeld.

Das anfängliche Preisgeld beginnt bei 2 Dollar.

Fällt beim 1. Wurf Zahl, erhalten Sie 2 Dollar und das Spiel endet.
Fällt beim 1. Wurf Kopf und beim 2. Wurf Zahl, erhalten Sie 4 Dollar und das Spiel endet.
Fällt beim 1. Wurf Kopf, beim 2. Wurf Kopf und beim 3. Wurf Zahl, erhalten Sie 8 Dollar und das Spiel endet.
…und so weiter. Solange Kopf fällt, verdoppelt sich das Preisgeld auf 16 Dollar, 32 Dollar, 64 Dollar…

graph TD Start["Spielbeginn"] --> Toss1{"1. Münzwurf"} Toss1 -->|Zahl 1/2| End1["Ende: 2 Dollar gewonnen"] Toss1 -->|Kopf 1/2| Toss2{"2. Münzwurf"} Toss2 -->|Zahl 1/2| End2["Ende: 4 Dollar gewonnen"] Toss2 -->|Kopf 1/2| Toss3{"3. Münzwurf"} Toss3 -->|Zahl 1/2| End3["Ende: 8 Dollar gewonnen"] Toss3 -->|Kopf 1/2| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Je öfter in Folge| Infinite["Preisgeld verdoppelt sich unendlich!"]

Nun eine Frage an Sie: Würden Sie an diesem Spiel teilnehmen, wenn die Teilnahmegebühr „10.000 Dollar“ betragen würde?

Wahrscheinlich werden die meisten Menschen mit „Nein“ antworten. Denn es besteht eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass gleich beim ersten Wurf Zahl fällt und Sie nur 2 Dollar erhalten, was einen enormen Verlust bedeuten würde.

Wenn man jedoch streng nach der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie (dem Erwartungswert) rechnet, offenbart sich eine erstaunliche Tatsache: Mathematisch gesehen sollten Sie sich, egal ob die Teilnahmegebühr 10.000 Dollar oder 1 Million Dollar beträgt, sogar Ihr gesamtes Vermögen leihen, um an diesem Spiel teilzunehmen.

Warum ist das so?

2. Lasst uns den Erwartungswert berechnen

Ein mathematischer Indikator, um zu beurteilen, ob ein Glücksspiel „profitabel oder verlustreich“ ist, ist der „Erwartungswert“. Der Erwartungswert ist eine Zahl, die angibt, „wie viel Gewinn man durchschnittlich pro Runde macht, wenn man das Spiel sehr oft wiederholt“. Die Formel ist die Summe aller („möglichen Preisgelder“ × „deren Wahrscheinlichkeit“).

Berechnen wir den Erwartungswert für dieses Spiel:

Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Wurf Zahl fällt: $\frac{1}{2}$ Das Preisgeld beträgt $2$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ Dollar
Wahrscheinlichkeit, dass beim 2. Wurf Zahl fällt: Da Kopf, dann Zahl fallen muss: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Das Preisgeld beträgt $4$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ Dollar
Wahrscheinlichkeit, dass beim 3. Wurf Zahl fällt: Da Kopf, Kopf, dann Zahl fallen muss: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Das Preisgeld beträgt $8$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ Dollar
Wahrscheinlichkeit, dass beim $n$-ten Wurf Zahl fällt: $(\frac{1}{2})^n$ Das Preisgeld beträgt $2^n$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ Dollar

Das bedeutet, egal in welcher Runde das Spiel endet, der Erwartungswert dieses Musters beträgt immer „1 Dollar“. Da das Spiel theoretisch unendlich lange weitergehen kann, sieht die Summe all dieser Erwartungswerte wie folgt aus:

$$ \text{Gesamterwartungswert} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (Unendlich)} $$

Die Antwort der Mathematik lautet: „Der Erwartungswert dieses Spiels ist unendlich.“ Da der Erwartungswert unendlich ist, ist es theoretisch gesehen absolut „profitabel“, ganz gleich, wie hoch die Teilnahmegebühr ist.

Das ist das „Sankt-Petersburg-Paradoxon“, das 1713 von Nicolaus Bernoulli aufgestellt wurde. Das korrekte mathematische Ergebnis (ein unendlicher Wert) und das realistische menschliche Empfinden (man möchte nur wenige Dollar bezahlen) stehen im krassen Widerspruch zueinander.

3. Die Entdeckung des „Nutzens“ zur Lösung der Diskrepanz zwischen Mathematik und Menschen

Derjenige, der dieses Paradoxon löste, war der geniale Mathematiker Daniel Bernoulli, der Cousin von Nicolaus. (Da er diese Arbeit an der Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg präsentierte, erhielt das Paradoxon diesen Namen.)

Daniel beschäftigte sich intensiv mit der menschlichen Psychologie. Er dachte sich: „Menschen beurteilen Dinge nicht nach dem ‚absoluten Geldbetrag‘, sondern nach der ‚Zufriedenheit (dem Nutzen)‘, die das Geld bringt.“

Dies wird als das „Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen“ bezeichnet.

Der Wert von Geld sinkt mit der Menge, die man besitzt

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie sind in der Wüste und sehr durstig. Das erste Glas Wasser hat für Sie einen so hohen Wert (Zufriedenheit), dass Sie „sogar 10.000 Dollar dafür zahlen würden“. Aber während Sie ein zweites und drittes Glas trinken, sinkt der Wert jedes weiteren Glases Wasser immer mehr. Beim zehnten Glas würden Sie wahrscheinlich sagen: „Ich will es nicht mehr, selbst wenn es kostenlos ist.“

Mit Geld verhält es sich genauso.

„10.000 Euro“ haben für jemanden ohne Ersparnisse einen immensen, lebensrettenden Wert.
Für einen Milliardär wie Elon Musk haben „10.000 Euro“ jedoch nur noch den Wert (die Zufriedenheit) einer gefundenen Ein-Cent-Münze auf der Straße.

Das heißt, selbst wenn das Preisgeld unendlich auf 2 Dollar $\rightarrow$ 4 Dollar $\rightarrow$ 8 Dollar $\rightarrow$ 16 Dollar… ansteigt, wächst die „Freude (der Nutzen)“, die ein Mensch empfindet, nicht proportional und unendlich mit dem Betrag mit.

4. Den Erwartungswert mit dem „Nutzen“ neu berechnen

Daniel Bernoulli nahm an, dass „der Wert von Geld (der Nutzen), den ein Mensch empfindet, proportional zum Logarithmus ($\log$) des Betrags ist“.

Wenn wir den Betrag $x$ nennen, können wir den Wert (den Nutzen) $u(x)$, den ein Mensch empfindet, als logarithmische Funktion darstellen (hier betrachten wir ein einfaches Modell mit der Basis 2).

Nutzen eines Preisgeldes von $2$ Dollar: $\log_2(2) = 1$
Nutzen eines Preisgeldes von $4$ Dollar: $\log_2(4) = 2$
Nutzen eines Preisgeldes von $8$ Dollar: $\log_2(8) = 3$
Nutzen eines Preisgeldes von $2^n$ Dollar: $\log_2(2^n) = n$

Der Betrag verdoppelt sich jedes Mal, aber die menschliche „Freude“ steigt nur in kleinen Schritten an: 1, 2, 3… Berechnen wir den Erwartungswert (Erwartungsnutzen) mit diesem „Nutzen“ neu.

$$ \text{Erwartungsnutzen} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Wenn man die Summe dieser unendlichen Reihe berechnet, ist das Ergebnis nicht „unendlich“, sondern es konvergiert gegen „2“. Wenn man den Betrag zurückrechnet, bei dem der Nutzen „2“ ist, erhält man $2^2 = 4$ Dollar.

Das bedeutet, wenn man die menschliche Psychologie (den Nutzen) in die Berechnungen einbezieht, ergibt sich die äußerst vernünftige und realistische Antwort: „Der Wert dieses Spiels liegt für das menschliche Empfinden bei etwa ‚4 Dollar‘.“ Genau deshalb sind wir nicht bereit, 10.000 Dollar für dieses Spiel zu bezahlen.

5. Fazit: Das Paradoxon, das die Tür zu den Wirtschaftswissenschaften öffnete

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon war ein bahnbrechendes Paradoxon, das mathematisch bewies, dass die objektive Zahl des „Geldbetrags“ und der subjektive Wert der „menschlichen Zufriedenheit“ nicht übereinstimmen.

Das von Daniel Bernoulli vorgeschlagene Konzept des „Nutzens (Utility)“ wurde 200 Jahre später zur wichtigsten Grundlage der modernen Mikroökonomie und Finanzmathematik (wie der Portfoliotheorie). Unser Verhalten, Versicherungen abzuschließen oder unser Portfolio zu diversifizieren, lässt sich alles durch diesen menschlichen psychologischen Mechanismus des „abnehmenden Grenznutzens“ erklären (der Schmerz über einen großen Verlust ist viel größer als die Freude über einen großen Gewinn).

Ein einfaches Rechenproblem eines Glücksspiels wurde zum Auslöser dafür, den menschlichen Geist zu entschlüsseln und die riesige Disziplin der Wirtschaftswissenschaften hervorzubringen.

Gefangenendilemma: Warum wir Entscheidungen treffen, bei denen "jeder verliert"?

Thu, 10 Sep 2026 03:00:00 +0900

1. Die ultimative Wahl: Schweigen oder verraten?

Sie und ein befreundeter Komplize wurden von der Polizei wegen des Verdachts auf eine Straftat festgenommen. Sie werden in getrennte Verhörräume gebracht und können absolut keinen Kontakt zueinander aufnehmen.

Da die Polizei nicht genügend Beweise gesammelt hat, bietet der Staatsanwalt Ihnen und Ihrem Freund jeweils den folgenden “Deal” an:

Wenn beide “schweigen (kooperieren)”: Aus Mangel an Beweisen erhalten beide nur 1 Jahr Gefängnis.
Wenn Sie “gestehen (verraten)” und Ihr Freund “schweigt”: Weil Sie bei den Ermittlungen geholfen haben, werden Sie freigesprochen (sofortige Freilassung), aber Ihr Freund nimmt die gesamte Schuld auf sich und bekommt 10 Jahre Gefängnis. (Umgekehrt genauso)
Wenn beide “gestehen (verraten)”: Da beide die Tat zugegeben haben, wird die Strafe leicht gemildert und beide erhalten 5 Jahre Gefängnis.

Also, was würden Sie tun? Werden Sie “schweigen (mit dem anderen kooperieren)”? Oder werden Sie “gestehen (den anderen verraten)”?

2. Analyse durch die Auszahlungsmatrix (Payoff Matrix)

Lassen Sie uns diese Situation in einer “Auszahlungsmatrix”, die in der Spieltheorie verwendet wird, ordnen. Die Zahlen in den Feldern repräsentieren (Ihre Gefängnisstrafe, Gefängnisstrafe des Freundes). Ein Minus bedeutet einen Verlust (Jahre im Gefängnis).

Sie \ Freund	Schweigen (Kooperation)	Gestehen (Verrat)
Schweigen (Kooperation)	(-1, -1)	(-10, 0)
Gestehen (Verrat)	(0, -10)	(-5, -5)

Objektiv betrachtet ist die optimale Vorgehensweise für beide offensichtlich. Wenn beide “schweigen”, beträgt die gesamte Gefängnisstrafe nur 2 Jahre (-1 und -1). Dies ist der “pareto-optimale” Zustand, der den Gesamtnutzen maximiert.

Wenn Sie jedoch ein “rationaler Mensch sind, der nur seinen eigenen Nutzen maximieren will”, kommen Sie zu einer völlig anderen Schlussfolgerung.

3. Warum “Verrat” eine rationale Entscheidung wird

Lassen Sie uns den Denkprozess verfolgen, bei dem Sie die Handlung Ihres “Freundes” im anderen Raum vorhersagen und über Ihre eigene Handlung entscheiden.

Fall 1: Sie sagen voraus, dass Ihr Freund “schweigt”

Wenn Sie auch “schweigen”, bekommen Sie 1 Jahr Gefängnis.
Wenn Sie “gestehen”, werden Sie freigesprochen (sofortige Freilassung). $\rightarrow$ Da Freispruch besser ist, ist “Gestehen (Verrat)” optimal.

Fall 2: Sie sagen voraus, dass Ihr Freund “gesteht”

Wenn Sie “schweigen”, bekommen Sie 10 Jahre Gefängnis.
Wenn Sie “gestehen”, bekommen Sie 5 Jahre Gefängnis. $\rightarrow$ Da 5 Jahre Gefängnis besser sind, ist ebenfalls “Gestehen (Verrat)” optimal.

Merken Sie etwas? Egal, welche Aktion der andere wählt, es ist für Sie immer vorteilhafter, zu “gestehen (zu verraten)”. In der Spieltheorie wird dies als “dominante Strategie” bezeichnet.

Da Ihr Freund sich in genau derselben Situation befindet und genauso rational denkt, wird auch für ihn das “Gestehen” zur dominanten Strategie.

Infolgedessen werden beide rational denkenden Personen unweigerlich “Gestehen (Verrat)” wählen. Das Ergebnis ist für beide 5 Jahre Gefängnis (-5, -5), was insgesamt betrachtet fast das schlechteste Ende ist. Obwohl sie mit nur 1 Jahr Gefängnis davongekommen wären, wenn sie zusammengearbeitet (geschwiegen) hätten, verlieren sie beide dadurch, dass sie ihre individuelle Rationalität verfolgt haben.

graph TD Start["Beginn der Entscheidung"] --> Logic_You["Ihr rationales Denken"] Start --> Logic_Friend["Rationales Denken des Freundes"] Logic_You -->|Wenn der andere schweigt, ist Gestehen besser
Wenn der andere gesteht, ist Gestehen besser| Betray_You["Sie wählen Gestehen (Verrat)"] Logic_Friend -->|Wenn der andere schweigt, ist Gestehen besser
Wenn der andere gesteht, ist Gestehen besser| Betray_Friend["Freund wählt Gestehen (Verrat)"] Betray_You --> Result["Ergebnis: Beide gestehen (-5, -5)"] Betray_Friend --> Result Ideal["Ideal: Beide schweigen (-1, -1)"] -.->|Individuelle Rationalität stört
Ziel nicht erreichbar| Result style Result fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Ideal fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px

Diesen Zustand, in dem “keiner der Spieler ein Motiv hat, seine Strategie zu ändern, nachdem er das Verhalten des anderen vorhergesagt hat (es kann nicht mehr geändert werden)”, nennt man “Nash-Gleichgewicht”, benannt nach dem großen Spieltheoretiker John Nash.

Der beängstigendste Punkt beim Gefangenendilemma ist, dass “Pareto-Optimum (das beste Ergebnis für die Gesamtheit)” und “Nash-Gleichgewicht (das Ende der individuellen Rationalität)” nicht übereinstimmen.

4. Das “Gefangenendilemma” im Alltag

Das Gefangenendilemma ist nicht nur ein Quiz. Viele Probleme in unserer Gesellschaft können durch dieses mathematische Modell erklärt werden.

1. Preiskampf (Preissenkungskrieg)

Zwei rivalisierende Unternehmen verkaufen ähnliche Produkte für 1000 Yen. Wenn beide Unternehmen bei 1000 Yen bleiben (Kooperation), erzielen beide hohe Gewinne. Sie erliegen jedoch der Versuchung, “etwas billiger als der Konkurrent zu sein (Verrat), um alle Kunden an sich zu reißen”, und beide Unternehmen beginnen einen Preiskampf. Infolgedessen kostet das Produkt 500 Yen und beide Unternehmen leiden, da sie keinen Gewinn mehr machen (beidseitiger Verrat).

2. Umweltprobleme und Treibhausgase

Länder auf der ganzen Welt versprechen, “die CO2-Emissionen zu reduzieren (Kooperation)”. Das ist die optimale Lösung für die gesamte Erde. Ein Land kann jedoch “seine Fabriken weiterlaufen lassen und die Emissionsgrenzen ignorieren (Verrat)”, wodurch nur seine eigene Wirtschaft schnell wächst. Umgekehrt wird das Land, das sich als einziges an die Regeln hält, während andere betrügen, enorme wirtschaftliche Verluste erleiden. Aus Angst, hintergangen zu werden, wählt letztendlich jedes Land den Verrat und die globale Umwelt wird zerstört.

3. Dopingproblem im Sport

Das Ideal wäre, dass kein Athlet dopt (Kooperation). Jedoch führen der Verdacht, “dass der Gegner dopen könnte”, und die Versuchung, “dass man gewinnen kann, wenn man als Einziger dopt”, dazu, dass sie Doping (Verrat) wählen. Das Ergebnis ist eine schreckliche Situation, in der alle unter Drogeneinfluss kämpfen und dabei ihre Gesundheit ruinieren.

5. Gibt es eine Lösung? Die “Tit-for-Tat-Strategie” (Wie du mir, so ich dir)

Bei einem einmaligen Geschäft ist “Verrat” immer eine rationale Entscheidung. Aber wenn dies ein “Spiel ist, das immer wieder mit demselben Gegner wiederholt wird (wiederholtes Gefangenendilemma)”, ändert sich die Situation drastisch.

In den 1980er Jahren veranstaltete der Politikwissenschaftler Robert Axelrod ein Turnier, bei dem Computerprogramme mit verschiedenen Strategien gegeneinander antraten. Unter den komplexen Strategien von Wissenschaftlern aus aller Welt, wie “immer verraten”, “zufällig verraten” oder “dem Gegner vergeben”, gewann mit überwältigendem Erfolg die einfachste: die “Tit-for-Tat-Strategie”.

Die Regeln für Tit-for-Tat sind ganz einfach:

Beim ersten Mal immer “kooperieren”.
Ab dem nächsten Mal genau das nachahmen, was “der Gegner beim letzten Mal getan hat”.
- Wenn der Gegner beim letzten Mal kooperiert hat, kooperieren Sie dieses Mal auch.
- Wenn der Gegner beim letzten Mal verraten hat, verraten Sie dieses Mal auch zur Vergeltung.

Der Grund, warum diese Strategie so stark ist, liegt an vier Eigenschaften: “Ich werde niemals als Erster verraten (Güte)”, “Wenn ich verraten werde, werde ich sofort bestrafen (Strenge)”, “Wenn der Gegner sein Verhalten ändert, werde ich sofort vergeben (Vergebung)” und “Die Struktur ist einfach und für den Gegner leicht zu verstehen (Klarheit)”.

graph LR Start["1. Mal: Bedingungslose Kooperation"] --> Round2 Round2["Beobachte die Aktion des Gegners"] -->|Gegner kooperiert| Act_Coop["Selbst auch kooperieren"] Round2 -->|Gegner hat verraten| Act_Betray["Selbst verraten (Vergeltung)"] Act_Coop --> Round2 Act_Betray -->|Wenn der Gegner bereut und
zur Kooperation zurückkehrt| Act_Coop

Selbst in menschlichen Beziehungen und in der internationalen Gemeinschaft, vorausgesetzt, es besteht eine langfristige Beziehung, kann das Gefangenendilemma überwunden und eine kooperative Beziehung aufgebaut werden, indem man eine Regel wie bei der “Tit-for-Tat-Strategie” teilt: “Grundsätzlich kooperieren, aber Verrat wird bestraft.”

6. Zusammenfassung: Der Wert von “Vertrauen”, den uns die Mathematik lehrt

Das Gefangenendilemma hat mathematisch bewiesen, dass die “egoistische Rationalität des Menschen” manchmal die gesamte Gesellschaft in die Tiefen des Unglücks stürzt. Die individuelle Rationalität, “nur selbst profitieren zu wollen” oder “nicht überlistet werden zu wollen”, führt letztendlich zu einem Ergebnis (Nash-Gleichgewicht), bei dem man sich selbst schadet.

Gleichzeitig lehrt uns die Spieltheorie jedoch, dass solange die Bedingung “die Beziehung dauert langfristig an” erfüllt ist, “gegenseitiges Vertrauen und Kooperation” die rationalste Strategie ist, die letztendlich auch den eigenen Nutzen maximiert.

Wenn Sie das nächste Mal zögern und denken “soll ich ein bisschen schummeln?”, erinnern Sie sich an die Auszahlungsmatrix dieses Gefangenendilemmas. Ein “rationaler Verrat”, der nur auf kurzfristigen Gewinn abzielt, könnte auf lange Sicht die irrationalste Wahl sein.