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Das Sankt-Petersburg-Paradoxon: Wie viel würden Sie für ein Glücksspiel mit "unendlichem" Erwartungswert zahlen?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Das Traum-Glücksspiel mit „unendlichem“ Erwartungswert

Stellen Sie sich vor, Sie gehen durch ein Casino und ein Croupier lädt Sie zu einem neuen Münzwurf-Spiel ein.

【Spielregeln】

Sie zahlen eine Teilnahmegebühr, um das Spiel zu starten.
Eine Münze wird geworfen. Wenn Kopf fällt, verdoppelt sich das Preisgeld und Sie dürfen erneut werfen.
Wenn Zahl fällt, endet das Spiel sofort. Sie erhalten das bis zu diesem Zeitpunkt angesammelte Preisgeld.

Das anfängliche Preisgeld beginnt bei 2 Dollar.

Fällt beim 1. Wurf Zahl, erhalten Sie 2 Dollar und das Spiel endet.
Fällt beim 1. Wurf Kopf und beim 2. Wurf Zahl, erhalten Sie 4 Dollar und das Spiel endet.
Fällt beim 1. Wurf Kopf, beim 2. Wurf Kopf und beim 3. Wurf Zahl, erhalten Sie 8 Dollar und das Spiel endet.
…und so weiter. Solange Kopf fällt, verdoppelt sich das Preisgeld auf 16 Dollar, 32 Dollar, 64 Dollar…

graph TD Start["Spielbeginn"] --> Toss1{"1. Münzwurf"} Toss1 -->|Zahl 1/2| End1["Ende: 2 Dollar gewonnen"] Toss1 -->|Kopf 1/2| Toss2{"2. Münzwurf"} Toss2 -->|Zahl 1/2| End2["Ende: 4 Dollar gewonnen"] Toss2 -->|Kopf 1/2| Toss3{"3. Münzwurf"} Toss3 -->|Zahl 1/2| End3["Ende: 8 Dollar gewonnen"] Toss3 -->|Kopf 1/2| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Je öfter in Folge| Infinite["Preisgeld verdoppelt sich unendlich!"]

Nun eine Frage an Sie: Würden Sie an diesem Spiel teilnehmen, wenn die Teilnahmegebühr „10.000 Dollar“ betragen würde?

Wahrscheinlich werden die meisten Menschen mit „Nein“ antworten. Denn es besteht eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass gleich beim ersten Wurf Zahl fällt und Sie nur 2 Dollar erhalten, was einen enormen Verlust bedeuten würde.

Wenn man jedoch streng nach der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie (dem Erwartungswert) rechnet, offenbart sich eine erstaunliche Tatsache: Mathematisch gesehen sollten Sie sich, egal ob die Teilnahmegebühr 10.000 Dollar oder 1 Million Dollar beträgt, sogar Ihr gesamtes Vermögen leihen, um an diesem Spiel teilzunehmen.

Warum ist das so?

2. Lasst uns den Erwartungswert berechnen

Ein mathematischer Indikator, um zu beurteilen, ob ein Glücksspiel „profitabel oder verlustreich“ ist, ist der „Erwartungswert“. Der Erwartungswert ist eine Zahl, die angibt, „wie viel Gewinn man durchschnittlich pro Runde macht, wenn man das Spiel sehr oft wiederholt“. Die Formel ist die Summe aller („möglichen Preisgelder“ × „deren Wahrscheinlichkeit“).

Berechnen wir den Erwartungswert für dieses Spiel:

Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Wurf Zahl fällt: $\frac{1}{2}$ Das Preisgeld beträgt $2$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ Dollar
Wahrscheinlichkeit, dass beim 2. Wurf Zahl fällt: Da Kopf, dann Zahl fallen muss: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Das Preisgeld beträgt $4$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ Dollar
Wahrscheinlichkeit, dass beim 3. Wurf Zahl fällt: Da Kopf, Kopf, dann Zahl fallen muss: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Das Preisgeld beträgt $8$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ Dollar
Wahrscheinlichkeit, dass beim $n$-ten Wurf Zahl fällt: $(\frac{1}{2})^n$ Das Preisgeld beträgt $2^n$ Dollar. Beitrag zum Erwartungswert = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ Dollar

Das bedeutet, egal in welcher Runde das Spiel endet, der Erwartungswert dieses Musters beträgt immer „1 Dollar“. Da das Spiel theoretisch unendlich lange weitergehen kann, sieht die Summe all dieser Erwartungswerte wie folgt aus:

$$ \text{Gesamterwartungswert} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (Unendlich)} $$

Die Antwort der Mathematik lautet: „Der Erwartungswert dieses Spiels ist unendlich.“ Da der Erwartungswert unendlich ist, ist es theoretisch gesehen absolut „profitabel“, ganz gleich, wie hoch die Teilnahmegebühr ist.

Das ist das „Sankt-Petersburg-Paradoxon“, das 1713 von Nicolaus Bernoulli aufgestellt wurde. Das korrekte mathematische Ergebnis (ein unendlicher Wert) und das realistische menschliche Empfinden (man möchte nur wenige Dollar bezahlen) stehen im krassen Widerspruch zueinander.

3. Die Entdeckung des „Nutzens“ zur Lösung der Diskrepanz zwischen Mathematik und Menschen

Derjenige, der dieses Paradoxon löste, war der geniale Mathematiker Daniel Bernoulli, der Cousin von Nicolaus. (Da er diese Arbeit an der Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg präsentierte, erhielt das Paradoxon diesen Namen.)

Daniel beschäftigte sich intensiv mit der menschlichen Psychologie. Er dachte sich: „Menschen beurteilen Dinge nicht nach dem ‚absoluten Geldbetrag‘, sondern nach der ‚Zufriedenheit (dem Nutzen)‘, die das Geld bringt.“

Dies wird als das „Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen“ bezeichnet.

Der Wert von Geld sinkt mit der Menge, die man besitzt

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie sind in der Wüste und sehr durstig. Das erste Glas Wasser hat für Sie einen so hohen Wert (Zufriedenheit), dass Sie „sogar 10.000 Dollar dafür zahlen würden“. Aber während Sie ein zweites und drittes Glas trinken, sinkt der Wert jedes weiteren Glases Wasser immer mehr. Beim zehnten Glas würden Sie wahrscheinlich sagen: „Ich will es nicht mehr, selbst wenn es kostenlos ist.“

Mit Geld verhält es sich genauso.

„10.000 Euro“ haben für jemanden ohne Ersparnisse einen immensen, lebensrettenden Wert.
Für einen Milliardär wie Elon Musk haben „10.000 Euro“ jedoch nur noch den Wert (die Zufriedenheit) einer gefundenen Ein-Cent-Münze auf der Straße.

Das heißt, selbst wenn das Preisgeld unendlich auf 2 Dollar $\rightarrow$ 4 Dollar $\rightarrow$ 8 Dollar $\rightarrow$ 16 Dollar… ansteigt, wächst die „Freude (der Nutzen)“, die ein Mensch empfindet, nicht proportional und unendlich mit dem Betrag mit.

4. Den Erwartungswert mit dem „Nutzen“ neu berechnen

Daniel Bernoulli nahm an, dass „der Wert von Geld (der Nutzen), den ein Mensch empfindet, proportional zum Logarithmus ($\log$) des Betrags ist“.

Wenn wir den Betrag $x$ nennen, können wir den Wert (den Nutzen) $u(x)$, den ein Mensch empfindet, als logarithmische Funktion darstellen (hier betrachten wir ein einfaches Modell mit der Basis 2).

Nutzen eines Preisgeldes von $2$ Dollar: $\log_2(2) = 1$
Nutzen eines Preisgeldes von $4$ Dollar: $\log_2(4) = 2$
Nutzen eines Preisgeldes von $8$ Dollar: $\log_2(8) = 3$
Nutzen eines Preisgeldes von $2^n$ Dollar: $\log_2(2^n) = n$

Der Betrag verdoppelt sich jedes Mal, aber die menschliche „Freude“ steigt nur in kleinen Schritten an: 1, 2, 3… Berechnen wir den Erwartungswert (Erwartungsnutzen) mit diesem „Nutzen“ neu.

$$ \text{Erwartungsnutzen} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Wenn man die Summe dieser unendlichen Reihe berechnet, ist das Ergebnis nicht „unendlich“, sondern es konvergiert gegen „2“. Wenn man den Betrag zurückrechnet, bei dem der Nutzen „2“ ist, erhält man $2^2 = 4$ Dollar.

Das bedeutet, wenn man die menschliche Psychologie (den Nutzen) in die Berechnungen einbezieht, ergibt sich die äußerst vernünftige und realistische Antwort: „Der Wert dieses Spiels liegt für das menschliche Empfinden bei etwa ‚4 Dollar‘.“ Genau deshalb sind wir nicht bereit, 10.000 Dollar für dieses Spiel zu bezahlen.

5. Fazit: Das Paradoxon, das die Tür zu den Wirtschaftswissenschaften öffnete

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon war ein bahnbrechendes Paradoxon, das mathematisch bewies, dass die objektive Zahl des „Geldbetrags“ und der subjektive Wert der „menschlichen Zufriedenheit“ nicht übereinstimmen.

Das von Daniel Bernoulli vorgeschlagene Konzept des „Nutzens (Utility)“ wurde 200 Jahre später zur wichtigsten Grundlage der modernen Mikroökonomie und Finanzmathematik (wie der Portfoliotheorie). Unser Verhalten, Versicherungen abzuschließen oder unser Portfolio zu diversifizieren, lässt sich alles durch diesen menschlichen psychologischen Mechanismus des „abnehmenden Grenznutzens“ erklären (der Schmerz über einen großen Verlust ist viel größer als die Freude über einen großen Gewinn).

Ein einfaches Rechenproblem eines Glücksspiels wurde zum Auslöser dafür, den menschlichen Geist zu entschlüsseln und die riesige Disziplin der Wirtschaftswissenschaften hervorzubringen.

Das Zwei-Umschläge-Paradoxon: Der logische Zusammenbruch und die Entscheidungsfalle, die durch unendliche Erwartungswerte verursacht werden

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. Die ultimative Wahl: Tauschen oder nicht tauschen?

Sie stehen in der Endrunde einer Spielshow. Auf dem Tisch vor Ihnen liegen zwei identisch aussehende Umschläge (A und B). Der Moderator sagt:

“Ein Umschlag enthält doppelt so viel Geld wie der andere. Bitte wählen Sie einen.”

Nach kurzem Zögern entscheiden Sie sich für Umschlag A. Gerade als Sie hineinsehen wollen, flüstert der Moderator Ihnen verlockend zu:

“Wenn Sie möchten, können Sie jetzt Ihren Umschlag A gegen den verbleibenden Umschlag B eintauschen. Möchten Sie tauschen?”

Sollten Sie die Umschläge nun tauschen?

2. Die “unendliche Schleife”, die durch die Erwartungswertberechnung entsteht

Lassen Sie uns hier ein wenig mathematisch denken. Angenommen, der Betrag in Ihrem Umschlag A ist $X$ Yen. Nach den Regeln ist der Betrag in Umschlag B entweder “die Hälfte von $X$ Yen ($\frac{X}{2}$)” oder “das Doppelte von $X$ Yen ($2X$)”. Die Wahrscheinlichkeit für beides beträgt jeweils $\frac{1}{2}$ (50%).

Lassen Sie uns nun den Erwartungswert (den erwarteten durchschnittlichen Betrag), wenn Sie die Umschläge tauschen, berechnen.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

Ein erstaunliches Ergebnis. Allein durch den Tausch der Umschläge springt der Erwartungswert vom ursprünglichen $X$ Yen auf das 1,25-fache (eine Steigerung um 25%). Die Schlussfolgerung lautet: “Mathematisch gesehen ist es definitiv vorteilhaft zu tauschen!”

Aber hier kommt es zu einem logischen Zusammenbruch. Angenommen, Sie haben zu Umschlag B gewechselt. Was passiert, wenn der Moderator Sie unmittelbar danach fragt: “Möchten Sie vielleicht doch wieder zu A wechseln?” Genau dieselbe Formel gilt, und diesmal bedeutet es: “Wenn Sie von B zu A wechseln, erhöht sich der Erwartungswert auf das 1,25-fache.”

Das heißt, wenn Sie einfach nur “von A zu B” und “von B zu A” hin und her tauschen, würde der theoretische Erwartungswert ins Unendliche steigen. Dies widerspricht offensichtlich der Realität (der Inhalt der Umschläge ist von Anfang an festgelegt und vermehrt sich nicht durch den Tausch).

graph TD Start["Sie wählen Umschlag A (Inhalt ist X Yen)"] --> Think["Berechnen, ob ein Tausch vorteilhaft ist"] Think --> Case1["Umschlag B hat den halben Betrag (X/2 Yen) : 50% Wahrscheinlichkeit"] Think --> Case2["Umschlag B hat den doppelten Betrag (2X Yen) : 50% Wahrscheinlichkeit"] Case1 --> Calc["Erwartungswert = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["Tausch zu Umschlag B! (Inhalt ist Y Yen)"] SwitchToB --> ThinkAgain["Erneut berechnen"] ThinkAgain --> Case3["Umschlag A hat den halben Betrag (Y/2 Yen) : 50% Wahrscheinlichkeit"] ThinkAgain --> Case4["Umschlag A hat den doppelten Betrag (2Y Yen) : 50% Wahrscheinlichkeit"] Case3 --> Calc2["Erwartungswert = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["Wieder zu Umschlag A tauschen!"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

Warum hat diese scheinbar perfekte Berechnung des Erwartungswertes ein so seltsames Paradoxon hervorgebracht?

3. Den mathematischen Trick aufklären: Der Austausch von Variablen

Die Falle dieses Paradoxons liegt in der “Verwendung der Zufallsvariablen $X$”.

In der vorherigen Formel haben wir den Betrag $X$ in Umschlag A wie eine feste Konstante behandelt und angenommen, dass Umschlag B “$\frac{X}{2}$ oder $2X$”. Was jedoch tatsächlich feststeht, ist “die Summe der Beträge in beiden Umschlägen” oder “der kleinere Betrag”.

Nennen wir den Betrag im Umschlag mit dem kleineren Geldbetrag $S$. Dann enthält der Umschlag mit dem größeren Betrag $2S$. Es gibt nur zwei mögliche Szenarien für das Spiel (jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$).

Szenario 1: Der von Ihnen gewählte Umschlag A ist der kleinere ($S$) und Umschlag B ist der größere ($2S$).
Szenario 2: Der von Ihnen gewählte Umschlag A ist der größere ($2S$) und Umschlag B ist der kleinere ($S$).

Lassen Sie uns nun den Erwartungswert für das “Nicht-Tauschen” und das “Tauschen” korrekt berechnen.

Erwartungswert bei Nicht-Tausch $E_{stay}$:

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

Erwartungswert bei Tausch $E_{switch}$: In Szenario 1 erhalten Sie $2S$, und in Szenario 2 erhalten Sie $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

Die Erwartungswerte stimmen perfekt überein! In der ersten falschen Berechnung haben wir unterschiedliche Werte als dieselbe Variable $X$ behandelt – nämlich $X$ in Szenario 1 (was eigentlich $S$ ist) und $X$ in Szenario 2 (was eigentlich $2S$ ist) –, was die Illusion erzeugte, dass “ein Tausch den Erwartungswert erhöht”.

pie title "Die Wahrheit über den Erwartungswert (wenn S der kleinere Betrag ist)" "Erwartungswert ohne Tausch (1.5S)" : 50 "Erwartungswert mit Tausch (1.5S)" : 50

4. Was passiert, wenn Sie den Umschlag öffnen?

Das Paradoxon scheint hiermit gelöst zu sein. Es wartet jedoch noch ein tiefergehendes Problem.

Was wäre, wenn Sie den Inhalt Ihres Umschlags A sehen, bevor Sie tauschen? Als Sie Umschlag A öffnen, befinden sich darin “10.000 Yen”.

In diesem Moment wird der Wert auf $X = 10000$ festgelegt. Umschlag B enthält entweder “5.000 Yen” oder “20.000 Yen”. Was passiert, wenn wir hier die erste Formel anwenden?

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

Der Erwartungswert beträgt 12.500 Yen. Er ist definitiv höher als die aktuellen 10.000 Yen. Darüber hinaus ist der Gegenbeweis des “Austauschs von Variablen” nicht mehr gültig, da $X$ diesmal eine “spezifische Konstante” von 10.000 Yen ist. Ist es unter diesen Umständen absolut vorteilhafter zu tauschen?

Widerlegung durch Bayes-Schätzung: Die fehlende “A-priori-Verteilung”

Mathematiker haben daraufhin das Konzept der “A-priori-Verteilung (A-priori-Wahrscheinlichkeit) des Geldbetrags” eingeführt. Es stellt sich die Frage: Können wir wirklich sagen, dass 5.000 Yen und 20.000 Yen mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $\frac{1}{2}$ enthalten sind?

Angenommen, das maximale Budget der Sendung beträgt 100 Millionen Yen. Wenn Sie Umschlag A öffnen und “60 Millionen Yen” darin finden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Umschlag B “120 Millionen Yen” enthält, gleich null (da das Budget überschritten wäre). Mit anderen Worten: Je höher der Betrag in Umschlag A ist, desto geringer muss die Wahrscheinlichkeit sein, dass Umschlag B “doppelt” so viel enthält, und desto höher muss die Wahrscheinlichkeit sein, dass er “halb” so viel enthält.

Wenn wir den Erwartungswert unter Annahme einer beliebigen A-priori-Verteilung $P(x)$ und der Anwendung des Satzes von Bayes berechnen, ist mathematisch bewiesen, dass für keine realistische Wahrscheinlichkeitsverteilung (deren Summe 1 ergibt) eine magische Verteilung existiert, bei der sich ein “Tausch für alle Beträge $X$ lohnt”.

5. Die Falle der Unendlichkeit: Verbindung zum Sankt-Petersburg-Paradoxon

Es gibt nur einen einzigen Fall, in dem es vorteilhaft wäre, für “alle $X$” zu tauschen. Dies ist nur dann der Fall, wenn das Budget der Sendung unendlich ist und wir eine “uneigentliche Wahrscheinlichkeitsverteilung (eine Verteilung, deren Summe unendlich ist)” annehmen, bei der alle Geldbeträge (1 Yen, 2 Yen, 4 Yen, 8 Yen… bis ins Unendliche) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

In der realen Welt gibt es jedoch keinen Fernsehsender mit unbegrenzten Mitteln. Dieser durch einen “unendlichen Erwartungswert” verursachte Fehler ist tief verwurzelt mit dem Sankt-Petersburg-Paradoxon (dem Problem, wie viel eine Person für ein Glücksspiel mit einem unendlichen Erwartungswert bezahlen würde).

6. Fazit: Die Schrecken von Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Obwohl das “Zwei-Umschläge-Paradoxon” nur aus einfachen Multiplikationen und Additionen besteht, lehrt es uns folgende Lektionen:

Fehler, die durch unscharfe Definitionen entstehen: Wenn nicht klar ist, worauf sich eine Variable bezieht (ob $X$ immer denselben Betrag bedeutet), bricht die Logik leicht zusammen.
Die Illusion, dass “keine Information = 50% Wahrscheinlichkeit” bedeutet: Die Prämisse “Ich weiß es nicht, also ist es halbe-halbe” (Prinzip des unzureichenden Grundes) führt manchmal zu fatalen Berechnungsfehlern.
Die Schwierigkeit, mit der Unendlichkeit umzugehen: Wenn das Konzept der “Unendlichkeit”, das nicht auf die reale Welt angewendet werden kann, in Berechnungen eingeführt wird, führt dies zu Ergebnissen, die dem gesunden Menschenverstand widersprechen.

Wenn Sie das nächste Mal im Leben denken: “Das Gras des Nachbarn ist grüner, ein Tausch wäre vorteilhaft”, erinnern Sie sich an dieses Paradoxon. Vielleicht sind in Ihrer Berechnung nur die Variablen ausgetauscht worden.