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Mathematik & Gesellschaft

Warum kleinste Parteien oft die Macht besitzen: Die Mathematik der Abstimmungsmacht

Warum entspricht der Sitzanteil im Parlament oder der Aktienanteil im Aufsichtsrat nicht der tatsächlichen Entscheidungsmacht? Eine mathematische Analyse gewichteter Abstimmungsspiele, des Banzhaf- und Shapley-Shubik-Index, erzeugender Funktionen, des UN-Sicherheitsrats und der Machtparadoxa.

In demokratischen Parlamenten, internationalen Räten und Hauptversammlungen von Aktiengesellschaften unterliegen Beobachter regelmäßig einer trügerischen arithmetischen Illusion: der Annahme, dass der Sitzanteil einer Partei oder der Stimmrechtsanteil eines Aktionärs proportional zu seiner tatsächlichen politischen oder unternehmerischen Entscheidungsmacht (Voting Power) ist.

Betrachten wir ein Parlament mit 100 Sitzen, in dem für die Verabschiedung eines Gesetzes eine einfache Mehrheit von $q = 51$ Stimmen erforderlich ist. Partei A hält 49 Sitze, Partei B hält 49 Sitze und eine winzige dritte Partei C hält lediglich 2 Sitze. Nach Sitzanteilen scheinen A und B mit jeweils $49\%$ übermächtig zu sein, während C mit $2\%$ wie eine unbedeutende Randgruppe wirkt. Doch die präzise Analyse der kooperativen Spieltheorie (Cooperative Game Theory) liefert ein verblüffendes Ergebnis: Partei A, Partei B und Partei C besitzen exakt dieselbe Abstimmungsmacht – jeweils ein Drittel ($33{,}33\%$).

Umgekehrt kann ein Akteur über ein erhebliches Stimmengewicht verfügen und dennoch eine Abstimmungsmacht von exakt null ($0\%$) besitzen – ein sogenannter Dummy-Spieler (Dummy Player). Im Ministerrat der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft (EWG) galt von 1958 bis 1973 das gewichtete Abstimmungssystem $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$. Obwohl Luxemburg 1 Stimme ($5{,}88\%$ Stimmanteil) besaß, waren alle anderen Stimmengewichte ($4, 4, 4, 2, 2$) sowie das Quorum ($12$) gerade Zahlen. Dadurch konnte Luxemburgs einzelne Stimme niemals eine verlierende Koalition (maximal $10$ Stimmen) über die Schwelle von $12$ heben – Luxemburg hatte 15 Jahre lang exakt $0\%$ Abstimmungsmacht.

Dieser Artikel entwickelt die mathematische Theorie der Machtindizes (Voting Power Indices) von den Axiomen einfacher Spiele über den Banzhaf-Index und den Shapley-Shubik-Index bis hin zu erzeugenden Funktionen, dem UN-Sicherheitsrat und dem Paradoxon der Umverteilung.

1. Drei Gedankenexperimente zur Illusion des Sitzanteils

Es sei $W = 100$ die Gesamtzahl der Sitze und $q = 51$ das Mehrheitsquorum:

  1. Der Königsmacher $[51;\, 49, 49, 2]$: Keine Partei erreicht allein 51 Sitze. Die Gewinnkoalitionen sind $\{A, B\}(98)$, $\{A, C\}(51)$, $\{B, C\}(51)$ und $\{A, B, C\}(100)$. Da jede beliebige Zweierkoalition gewinnt, ist $[51;\, 49, 49, 2]$ mathematisch isomorph zum einfachen Mehrheitsspiel $[2;\, 1, 1, 1]$. Partei C mit $2\%$ der Sitze hat exakt dieselbe Macht ($33{,}33\%$) wie A und B.
  2. Der Diktator und die machtlose Opposition $[51;\, 52, 47, 1]$: Da $w_A = 52 \ge 51$, kann Partei A jedes Gesetz allein verabschieden (Diktator mit $100\%$ Macht). Partei B ($47\%$ der Sitze!) und Partei C ($1\%$) erreichen zusammen nur $48 < 51$ Sitze und sind Dummy-Spieler mit $0\%$ Macht.
  3. Der unsichtbare Dummy und der Nassau-County-Prozess (1965) $[51;\, 35, 35, 25, 5]$: Keine Partei hat die absolute Mehrheit. Doch die Teilmengensummen von $\{A, B, C\}$ mit Gewichten $(35, 35, 25)$ lauten ausschließlich $0, 25, 35, 60, 70, 95$. Keine einzige Teilmenge fällt in das kritische Intervall $[51 - 5,\, 50] = [46, 50]$. Partei D ($5$ Sitze) kann niemals den Ausschlag geben und besitzt $0\%$ Macht! Genau mit dieser mathematischen Beweisführung wies der Jurist John F. Banzhaf III 1965 nach, dass im Board of Supervisors von Nassau County (New York) drei Gemeinden trotz Stimmrecht exakt $0\%$ Abstimmungsmacht besaßen.

2. Mathematische Formulierung: Banzhaf- und Shapley-Shubik-Index

Einfache Spiele und gewichtete Abstimmungsspiele

$$v(S) = \begin{cases} 1 & \text{falls } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{Gewinnkoalition}) \\ 0 & \text{falls } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{Verlustkoalition}) \end{cases}$$

Ein Spieler $i \in S$ heißt kritisch (Critical / Swing Voter) in $S$, falls $v(S) = 1$ und $v(S \setminus \{i\}) = 0$, also $\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1$.

  flowchart TD
    A["Gewichtetes Abstimmungsspiel [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["Koalitionsgewicht w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
    B --> C{"Gilt w(S) ≥ q?"}
    C -- "Ja: v(S) = 1" --> D["Gewinnkoalition S ∈ W"]
    C -- "Nein: v(S) = 0" --> E["Verlustkoalition S ∉ W"]
    D --> F{"Fällt ohne Spieler i das Gewicht unter q: w(S \ {i}) < q?"}
    F -- "Ja: v(S \ {i}) = 0" --> G["Spieler i ist kritisch (Swing Voter) in S"]
    F -- "Nein: v(S \ {i}) = 1" --> H["Spieler i ist überschüssig in S"]
    G --> I["Banzhaf-Index βᵢ: Zählt Swings ηᵢ über alle 2ⁿ⁻¹ Teilmengen"]
    G --> J["Shapley-Shubik-Index φᵢ: Zählt Pivots über alle n! Permutationen"]

1. Der Banzhaf-Machtindex (Penrose 1946 / Banzhaf 1965)

$$\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}$$

2. Der Shapley-Shubik-Machtindex (Shapley & Shubik 1954)

$$\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]$$

3. Vollständige Berechnung am Beispiel $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ und erzeugende Funktionen

Im Spiel $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ ($w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1$, Gesamtgewicht $10$, Quorum $q=6$) ergeben sich folgende 7 Gewinnkoalitionen und 24 Permutationen:

Gewinnkoalition $S$Gewicht $w(S)$Gewicht nach Austritt $w(S \setminus \{i\})$Kritische Spieler (Swing)ParteiSitzanteilSwings $\eta_i$Normierter Banzhaf $\beta_i$Pivots ($/24$)Shapley-Shubik $\phi_i$
$\{A, B\}$$7$$-A:3,\ -B:4$A, BA ($w_A=4$)$40{,}0\%$$5$$5/12 \approx \mathbf{41{,}67\%}$$10$$10/24 \approx \mathbf{41{,}67\%}$
$\{A, C\}$$6$$-A:2,\ -C:4$A, CB ($w_B=3$)$30{,}0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25{,}00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25{,}00\%}$
$\{A, B, C\}$$9$$-A:5,\ -B:6,\ -C:7$AC ($w_C=2$)$20{,}0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25{,}00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25{,}00\%}$
$\{A, B, D\}$$8$$-A:4,\ -B:5,\ -D:7$A, BD ($w_D=1$)$10{,}0\%$$1$$1/12 \approx \mathbf{8{,}33\%}$$2$$2/24 \approx \mathbf{8{,}33\%}$
$\{A, C, D\}$$7$$-A:3,\ -C:5,\ -D:6$A, CSumme$100\%$$12$$100{,}00\%$$24$$100{,}00\%$
$\{B, C, D\}$$6$$-B:3,\ -C:4,\ -D:5$B, C, D
$\{A,B,C,D\}$$10$Alle Austritte $\ge 6$Keine

Obwohl Partei B ($30\%$) anderthalbmal so viele Sitze besitzt wie Partei C ($20\%$), haben beide nach beiden Indizes exakt dieselbe Macht ($25{,}00\%$)! Im Spiel $[5;\, 3, 2, 1, 1]$ hingegen weichen beide Indizes voneinander ab: $\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)$ gegenüber $\phi = (58{,}33\%, 25{,}00\%, 8{,}33\%, 8{,}33\%)$. Nach dem Theorem von Straffin (1977) resultiert der Banzhaf-Index aus der Unabhängigkeitsannahme ($p_i = 1/2$ unabhängig), während der Shapley-Shubik-Index aus der Homogenitätsannahme ($p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$) folgt.

$$P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}$$

4. Reale Institutionen und die Paradoxa der Abstimmungsmacht

1. Der EWG-Ministerrat 1958–1973 $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$

Für Luxemburg ($w_{\text{Lux}} = 1$, Quorum $q = 12$) lautet die erzeugende Funktion $P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2$. Da dieses Polynom nur gerade Exponenten besitzt, ist der Koeffizient von $x^{11}$ gleich $0$ ($\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%$). Erst durch die EWG-Erweiterung 1973 auf $[41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]$ stieg Luxemburgs Macht trotz sinkenden Stimmanteils von $0\%$ auf $\beta = 1{,}62\%$ (Paradoxon neuer Mitglieder, Brams & Affuso 1976).

2. Der UN-Sicherheitsrat (Vetomacht der P5)

Der UN-Sicherheitsrat (5 ständige Mitglieder P5 mit Vetorecht, 10 nichtständige Mitglieder NP10, Quorum 9 inklusive aller 5 P5) ist äquivalent zum gewichteten Abstimmungsspiel $[39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$.

  • Banzhaf-Index: $\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848$, $\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16{,}69\%}$, $\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1{,}65\%}$.
  • Shapley-Shubik-Index: Ein NP-Mitglied ist genau dann Pivot an 9. Stelle, wenn unter den ersten 8 Mitgliedern alle 5 P5 und genau 3 der übrigen 9 NP sind: $$\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0{,}1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19{,}627\%}$$ Die 5 Vetomächte vereinen $98{,}135\%$ der gesamten Shapley-Shubik-Macht auf sich!
  flowchart TD
    P["Nichtlineare Paradoxa gewichteter Abstimmungsspiele"] --> P1["1. Paradoxon neuer Mitglieder (Brams & Affuso 1976)"]
    P --> P2["2. Paradoxon der Parteispaltung (Large Size)"]
    P --> P3["3. Paradoxon der Umverteilung (Fischer & Schotter 1978)"]
    P1 --> D1["Der Beitritt neuer Mitglieder kann die Macht eines bestehenden Mitglieds erhöhen (z. B. Luxemburg 1973: 0% → 1,6%)"]
    P2 --> D2["Die Spaltung einer großen Partei in zwei Fraktionen kann deren kombinierte Abstimmungsmacht steigern"]
    P3 --> D3["Eine Partei, die bei einer Wahl die Hälfte ihrer Sitze verliert, kann ihre Abstimmungsmacht verdoppeln"]

3. Das Paradoxon der Umverteilung (Fischer & Schotter 1978)

Vergleichen wir ein 14-Sitze-Parlament mit Quorum $q = 9$ vor und nach einer Wahl:

  • Vor der Wahl $[9;\, 6, 4, 2, 2]$: Minimale Gewinnkoalitionen sind nur $\{A, B\}(10)$ und $\{A, C, D\}(10)$; Partei A ist Vetospieler. Partei D ($2$ Sitze) hat $\beta_D = 10{,}00\%$ und $\phi_D = 8{,}33\%$.
  • Nach der Wahl $[9;\, 5, 5, 3, 1]$: Partei A verliert 1 Sitz an B, und Partei D verliert die Hälfte ihrer Sitze ($2 \to 1$) an C. Doch nun erreicht $\{B, C, D\}$ genau $5+3+1=9$ Sitze und wird zur Gewinnkoalition! Das Vetomonopol von A ist gebrochen, und Partei D wird mit ihrem einzigen Sitz zum unverzichtbaren Königsmacher sowohl für $\{A, C, D\}$ als auch für $\{B, C, D\}$: Ihre Macht springt auf $\beta_D = \mathbf{16{,}67\%}$ und $\phi_D = \mathbf{16{,}67\%}$ – halbierte Sitze, verdoppelte Macht!

Um in zweistufigen föderalen Systemen jedem Bürger gleichen indirekten Einfluss zu sichern, besagt das Penrose-Quadratwurzelgesetz (1946), dass der Banzhaf-Index $\beta'_k$ jedes Mitgliedstaats proportional zur Quadratwurzel seiner Bevölkerung $\sqrt{P_k}$ gewählt werden muss.

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