Quantenverschränkung und die Bellsche Ungleichung: Einsteins letzte Niederlage und die Morgendämmerung der Quanteninformationsrevolution

Das größte Mysterium der modernen Physik und zugleich ihr mächtigstes Werkzeug ist die “Quantenverschränkung” (Quantum Entanglement). Und die “Bellsche Ungleichung”, die die menschliche Intuition des “lokalen Realismus” zerstörte. Dies sind nicht nur theoretische Spielereien der Physik, sondern sie konfrontieren uns mit den grundlegenden Eigenschaften des Universums und bilden zudem die Basis für Technologien der nächsten Generation wie Quantencomputer und Quantenkryptographie.

In diesem Artikel werden wir das große Drama von dem EPR-Artikel von Einstein et al. aus dem Jahr 1935 über die Qualen der Theorien verborgener Variablen, die historische Ableitung der Ungleichung durch John Stewart Bell, den mathematischen Beweis der CHSH-Ungleichung und ihrer maximalen Verletzung in der Quantenmechanik (Tsirelson-Schranke) bis hin zu der experimentellen Überprüfung durch Aspect et al. und dem Nobelpreis für Physik 2022 aus den Perspektiven der Physik, Quanteninformationswissenschaft und Wissenschaftsphilosophie äußerst detailliert erläutern. Darüber hinaus werden wir die vollständige Widerlegung des lokalen Realismus durch Vielteilchenverschränkung im GHZ-Zustand, die strengen Protokolle der Quantenteleportation und Methoden zur Quantifizierung von Verschränkung tiefgründig und mit Formeln erörtern.

Kapitel 1: 1935, Einsteins Gegenschlag

Während die Quantenmechanik in den 1920er Jahren von der Kopenhagener Schule (Niels Bohr, Werner Heisenberg et al.) formuliert wurde, hegte Albert Einstein starke Unzufriedenheit mit deren probabilistischer und indeterministischer Interpretation. Sein berühmter Ausspruch „Gott würfelt nicht“ drückt seine Ablehnung gegenüber der probabilistischen Natur aus, die der Quantenmechanik zugrunde liegt.

Im Jahr 1935 veröffentlichte Einstein zusammen mit Boris Podolsky und Nathan Rosen einen historischen Artikel, der in die Geschichte der Physik einging: “Kann die quantenmechanische Beschreibung der physikalischen Realität als vollständig angesehen werden?” (Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?), den sogenannten “EPR-Artikel”. Der Zweck dieses Artikels war es, logisch zu beweisen, dass die Quantenmechanik “unvollständig” sei, was bedeutete, dass es uns noch unbekannte “verborgene Variablen” geben müsse.

Definition von Lokalität und Realismus

Um die logische Entwicklung des EPR-Artikels zu verstehen, müssen die beiden fundamentalen Konzepte, die Einstein und seine Kollegen voraussetzten, genau erfasst werden.

1. Realismus (Realism): Die Vorstellung, dass ein physikalisches System definierte physikalische Eigenschaften (Werte) besitzt, unabhängig davon, ob es beobachtet wird oder nicht. Im EPR-Artikel wurde dies wie folgt definiert: “Wenn man ohne jede Störung des Systems den Wert einer physikalischen Größe mit Sicherheit (d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1) vorhersagen kann, dann gibt es ein Element der physikalischen Realität, das dieser physikalischen Größe entspricht.” Mit anderen Worten: Das Objekt behält seine Attribute schon vor der Messung deterministisch bei, was in der klassischen Mechanik eine Selbstverständlichkeit ist.
2. Lokalität (Locality): Das auf der Relativitätstheorie basierende Prinzip, dass Operationen oder Messungen in einem von zwei räumlich getrennten Bereichen die physikalische Realität im anderen Bereich nicht sofort und schneller als das Licht beeinflussen können. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie führt die Übertragung von Informationen schneller als das Licht zum Zusammenbruch der Kausalität, sodass jede physikalische Wechselwirkung der Geschwindigkeitsbegrenzung des Lichts unterliegt.

“Spukhafte Fernwirkung” (Spooky action at a distance) und das EPR-Paradoxon

Im EPR-Artikel wurde das folgende Gedankenexperiment präsentiert: Betrachten wir zwei Teilchen A und B, die sich nach starker Wechselwirkung weit voneinander entfernt haben. Im Rahmen der Quantenmechanik befinden sich diese beiden Teilchen in einem “verschränkten” (entangled) Zustand und werden durch eine gemeinsame Wellenfunktion beschrieben.

Angenommen, wir messen die Position $x_A$ von Teilchen A. Aufgrund von Gesetzen wie der Impulserhaltung wird sofort auch die Position $x_B$ von Teilchen B bestimmt, sobald die Position von A bestimmt ist. Wenn wir hingegen den Impuls $p_A$ von Teilchen A messen, wird sofort der Impuls $p_B$ von Teilchen B bestimmt. Laut Quantenmechanik sind Position und Impuls nicht-kommutierende physikalische Größen ($[x, p] = i\hbar$) und können nicht gleichzeitig bestimmte Werte annehmen (Heisenbergsche Unschärferelation). Die Wahl der Messung an A (ob Position oder Impuls gemessen wird) scheint jedoch augenblicklich und schneller als das Licht den Zustand von B (ob ein Zustand mit bestimmter Position oder bestimmtem Impuls vorliegt) zu bestimmen.

Wenn die “Lokalität” zutrifft, ist es unmöglich, dass die Messung an A augenblicklich B beeinflusst. Einstein nannte dies “spukhafte Fernwirkung” (Spukhafte Fernwirkung / Spooky action at a distance) und kritisierte es stark. Daher schlussfolgerten sie, dass B vor der Messung bereits sowohl Position als auch Impuls als festgelegte Werte (verborgene Variablen) besessen haben muss, und da die Quantenmechanik weder Position noch Impuls vollständig beschreiben kann, sei sie eine “unvollständige Theorie”. Dieses Paradoxon wurde zum ersten Schritt für das grundlegende Verständnis von Verschränkung in der späteren Quanteninformationstheorie.

Kapitel 2: Das Dilemma der Theorien verborgener Variablen und die Bohmsche Mechanik

Nach der Veröffentlichung des EPR-Artikels wandten sich Physiker der Untersuchung der Hypothese zu: “Die Quantenmechanik ist richtig, aber unvollständig, und auf einer tieferen Ebene könnte eine deterministische Theorie (Theorie verborgener Variablen) existieren.”

Von Neumanns fehlerhaftes “Unmöglichkeitstheorem”

Dieser Diskussion setzte der brillante Mathematiker John von Neumann einen Dämpfer auf. In seinem Buch Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik von 1932 legte er einen Beweis (Unmöglichkeitstheorem) vor, der besagte, dass es mathematisch unmöglich sei, eine “Theorie verborgener Variablen” zu konstruieren, die dieselben Vorhersagen wie die Quantenmechanik liefert. Von Neumanns Autorität war enorm, und in den folgenden Jahrzehnten dominierte die Ansicht in der Physikergemeinschaft, dass “die Suche nach verborgenen Variablen sinnlos ist”.

Wie jedoch später klar wurde, enthielt von Neumanns Beweis als “Bedingung, die verborgene Variablen erfüllen müssen”, eine extrem restriktive und unphysikalische Annahme (die Additivität von Erwartungswerten nicht-kommutierender Observablen: die Annahme, dass $\langle A+B \rangle = \langle A \rangle + \langle B \rangle$ auch auf der Ebene der verborgenen Variablen gilt). In Wirklichkeit war es also kein vollständiger Beweis. Grete Hermann erkannte diesen Mangel schon früh, erhielt aber damals keine Beachtung.

Bohmsche Mechanik: Eine nicht-lokale Theorie verborgener Variablen

1952 durchbrach David Bohm von Neumanns Unmöglichkeitstheorem und konstruierte eine deterministische “Theorie verborgener Variablen (Bohmsche Mechanik oder De-Broglie-Bohm-Theorie)”, die Vorhersagen liefert, die vollständig mit der Quantenmechanik übereinstimmen. In Bohms Theorie besitzen Teilchen immer eine eindeutige Position (verborgene Variable) und werden von einem “Quantenpotential” geleitet, das sich über das gesamte Universum erstreckt. Dieses Potential $Q = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2 R}{R}$, das durch Transformation der Schrödingergleichung in Polarkoordinaten erhalten wird, hat die besondere Eigenschaft, dass es nicht entfernungsabhängig abfällt.

Allerdings hatte die Bohmsche Mechanik einen hohen Preis. Da das Quantenpotential den gesamten Raum sofort beeinflusst, war diese Theorie im Wesentlichen “nicht-lokal”. Die “spukhafte Fernwirkung”, die Einstein am meisten verabscheute, war als Kern der Bohmschen Mechanik integriert. Einstein lehnte Bohms Theorie ab und bezeichnete sie als “billige Lösung”, er glaubte weiterhin an die Existenz einer “lokalen” Theorie verborgener Variablen.

Kapitel 3: Der Singulett-Zustand von Spin-1/2-Teilchen und die exakten Vorhersagen der Quantenmechanik

Bevor wir zur Bellschen Ungleichung übergehen, lassen Sie uns den strengen Bra-Ket-Berechnungsprozess mithilfe von Pauli-Matrizen für die quantenmechanisch vorhergesagten Verschränkungskorrelationen vollständig entfalten. Dies wird später zum Kern der Quantenmechanik, der mit dem lokalen Realismus kollidiert.

Angenommen, es wird ein Spin-1/2-Teilchenpaar erzeugt, das sich in einem “Singulett-Zustand” (Singlet State) mit Gesamtspin null befindet. Dieser Zustand $|\psi^-\rangle$ wird wie folgt beschrieben:

Hier stehen $|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$ für die Eigenzustände des Spins ($z$-Basis) nach oben ($+1$) bzw. unten ($-1$). Vereinfacht kann man auch $|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle)$ schreiben.

Alice misst den Spin ihres Teilchens in Richtung $\vec{a}$ und Bob in Richtung $\vec{b}$. Die Richtungsvektoren sind Einheitsvektoren und können im Kugelkoordinatensystem als $\vec{a} = (\sin\theta_a\cos\phi_a, \sin\theta_a\sin\phi_a, \cos\theta_a)$ etc. ausgedrückt werden. Die Spin-Messoperatoren für jede Richtung ergeben sich mithilfe der Pauli-Matrizen $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ zu $\sigma_a = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ und $\sigma_b = \vec{b} \cdot \vec{\sigma}$.

Was wir wissen wollen, ist der Erwartungswert des Produkts der Messergebnisse von Alice und Bob $\langle \sigma_a \otimes \sigma_b \rangle$. Um diesen zu berechnen, entwickeln wir ihn gemäß der Definition des Erwartungswerts:

Betrachten wir zunächst die Eigenschaft der Pauli-Matrizen: $\vec{a} \cdot \vec{\sigma} = a_x \sigma_x + a_y \sigma_y + a_z \sigma_z$. Ein eleganter Trick zur Vereinfachung der Berechnung ist die Nutzung der Rotationsinvarianz des Singulett-Zustands $|\psi^-\rangle$ (er hat in jeder Basis dieselbe Form). Hier führen wir jedoch die vollständige Entwicklung durch einen direkteren algebraischen Ansatz durch.

Wir werten nun $\langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_j | \psi^- \rangle$ für jede Komponente aus.

Für $|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)$:

• $\sigma_z \otimes \sigma_z$: $\sigma_z \otimes \sigma_z |01\rangle = (+1)(-1)|01\rangle = -|01\rangle$ $\sigma_z \otimes \sigma_z |10\rangle = (-1)(+1)|10\rangle = -|10\rangle$ Also ist $\sigma_z \otimes \sigma_z |\psi^-\rangle = -|\psi^-\rangle$, und der Erwartungswert ist $-1$.
• $\sigma_x \otimes \sigma_x$: $\sigma_x \otimes \sigma_x |01\rangle = |10\rangle$ $\sigma_x \otimes \sigma_x |10\rangle = |01\rangle$ Also ist $\sigma_x \otimes \sigma_x \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle - |01\rangle) = -|\psi^-\rangle$, und der Erwartungswert ist $-1$.
• $\sigma_y \otimes \sigma_y$: Mit $\sigma_y |0\rangle = i|1\rangle, \sigma_y |1\rangle = -i|0\rangle$, $\sigma_y \otimes \sigma_y |01\rangle = (i|1\rangle) \otimes (-i|0\rangle) = |10\rangle$ $\sigma_y \otimes \sigma_y |10\rangle = (-i|0\rangle) \otimes (i|1\rangle) = |01\rangle$ Also ist $\sigma_y \otimes \sigma_y |\psi^-\rangle = -|\psi^-\rangle$, und der Erwartungswert ist $-1$.

Auf der anderen Seite sind die Erwartungswerte für unterschiedliche Komponenten (z. B. $\sigma_x \otimes \sigma_y$) alle $0$. Der Grund dafür ist, dass z. B. $\sigma_x \otimes \sigma_y |01\rangle = |1\rangle \otimes (-i|0\rangle) = -i|10\rangle$, und wenn man das innere Produkt mit $\langle \psi^-|$ bildet, verschwindet es aufgrund der Orthogonalität.

Wenn der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ $\theta$ ist, ergibt sich aus der Definition des Skalarprodukts $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \cos\theta$ (da Richtungsvektoren Einheitsvektoren mit Länge 1 sind). Folglich ist die von der Quantenmechanik vorhergesagte Korrelation die folgende äußerst schöne, einfache Formel:

Diese starke Korrelation von $-\cos\theta$ ist die Quelle des “quantenspezifischen Verhaltens”, das klassische Theorien verborgener Variablen niemals reproduzieren können.

Kapitel 4: Der Schock von John Stewart Bell und die strenge Ableitung der CHSH-Ungleichung

1964 untersuchte der irische Physiker John Stewart Bell, der am CERN auf dem Gebiet der Teilchenphysik forschte, in seiner Freizeit Grundsatzfragen der Quantenmechanik. Ausgehend von der Nicht-Lokalität der Bohmschen Mechanik stellte er sich die folgende tiefgründige Frage:

“Ist es tatsächlich möglich, alle Vorhersagen der Quantenmechanik mit einer ’lokalen’ Theorie verborgener Variablen, wie Einstein sie sich wünschte, zu reproduzieren?”

Bell verwandelte dieses bis dahin rein philosophische Problem durch eine rigorose mathematische Formulierung in eine experimentell überprüfbare Form. Dies ist das wissenschaftshistorisch strahlende “Bellsche Theorem” (Bell’s Theorem) und die “Bellsche Ungleichung”. Und 1969 leiteten John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony und Richard Holt (CHSH) eine erweiterte Version der Ungleichung ab, die “CHSH-Ungleichung”, die in realen Experimenten überprüfbar ist.

Annahmen des lokalen Realismus und die Integral-Algebraische Entwicklung der CHSH-Ungleichung

Hier folgt ein äußerst wichtiger logischer Schritt. Sowohl $B(b, \lambda)$ als auch $B(b', \lambda)$ nehmen immer die Werte $+1$ oder $-1$ an. Daher gibt es, wenn man ihre Summe und Differenz betrachtet, nur zwei mögliche Fälle:

• Fall 1: Wenn $B(b, \lambda) = B(b', \lambda)$ Die Summe ist $B(b, \lambda) + B(b', \lambda) = \pm 2$, und die Differenz ist $B(b, \lambda) - B(b', \lambda) = 0$.
• Fall 2: Wenn $B(b, \lambda) = -B(b', \lambda)$ Die Summe ist $B(b, \lambda) + B(b', \lambda) = 0$, und die Differenz ist $B(b, \lambda) - B(b', \lambda) = \pm 2$.

Dies ist der Grenzwert, der niemals überschritten werden darf, wenn das Universum dem “lokalen Realismus” folgt.

Quantenmechanische maximale Verletzung (Tsirelson-Schranke)

Erinnern Sie sich an die quantenmechanische Vorhersage $E(\vec{a}, \vec{b}) = -\cos\theta$, die in Kapitel 3 abgeleitet wurde. Nehmen wir an, Alice und Bob stellen ihre Messgeräte auf die folgenden Winkel ein:

• $a = 0$
• $a' = \pi/2$
• $b = \pi/4$
• $b' = -\pi/4$

(※ Beachten Sie: Wenn die Polarisation von Photonen verwendet wird, unterscheidet sich der Koeffizient von dem des Spin-1/2, und es ergibt sich $E = \cos(2\theta)$. Der Kern bleibt jedoch derselbe, auch wenn wir die obigen Einstellungen unter Verwendung des Spins berechnen.) Die Winkeldifferenzen zwischen den jeweiligen Einstellungen sind: $|a - b| = \pi/4$ $|a - b'| = \pi/4$ $|a' - b| = \pi/4$ $|a' - b'| = 3\pi/4$

Eingesetzt in die quantenmechanische Vorhersage: $E(a, b) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a, b') = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a', b) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a', b') = -\cos(3\pi/4) = +1/\sqrt{2}$

Der Absolutwert ergibt $|S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.

Dies überschreitet offensichtlich den Grenzwert von $2$ für den lokalen Realismus ($2.828 > 2$). Dieser Maximalwert, der durch die Quantenmechanik erreicht werden kann, wird als Tsirelson-Schranke (Tsirelson Bound) bezeichnet. Durch strengen mathematischen Beweis wurde gezeigt, dass lokaler Realismus absolut unvereinbar mit den Vorhersagen der Quantenmechanik ist.

Kapitel 5: Vielteilchenverschränkung und die “All-or-Nothing”-Widerlegung des lokalen Realismus

Das Bellsche Theorem basierte auf einer “Ungleichung” statistischer Korrelationen. Doch 1989 zeigten Daniel Greenberger, Michael Horne und Anton Zeilinger, dass man bei Betrachtung eines verschränkten Zustands von drei Teilchen (GHZ-Zustand) den lokalen Realismus allein durch den Widerspruch eines einzigen Messergebnisses vollständig widerlegen kann, ohne auf Ungleichungen oder statistische Wahrscheinlichkeiten angewiesen zu sein. Dies wird als “All-or-Nothing-Beweis” oder “GHZ-Theorem” bezeichnet.

Eigenschaften des GHZ-Zustands

Darauf lassen wir die folgenden Produkte von Pauli-Operatoren wirken:

1. $X_1 Y_2 Y_3 = \sigma_x^{(1)} \otimes \sigma_y^{(2)} \otimes \sigma_y^{(3)}$
2. $Y_1 X_2 Y_3 = \sigma_y^{(1)} \otimes \sigma_x^{(2)} \otimes \sigma_y^{(3)}$
3. $Y_1 Y_2 X_3 = \sigma_y^{(1)} \otimes \sigma_y^{(2)} \otimes \sigma_x^{(3)}$
4. $X_1 X_2 X_3 = \sigma_x^{(1)} \otimes \sigma_x^{(2)} \otimes \sigma_x^{(3)}$

Mit: $\sigma_x |\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle, \sigma_x |\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle$ $\sigma_y |\uparrow\rangle = i|\downarrow\rangle, \sigma_y |\downarrow\rangle = -i|\uparrow\rangle$ Wenn wir $X_1 Y_2 Y_3$ auf $|GHZ\rangle$ anwenden: $X_1 Y_2 Y_3 |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle (i|\downarrow\rangle) (i|\downarrow\rangle) = -|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ $X_1 Y_2 Y_3 |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle (-i|\uparrow\rangle) (-i|\uparrow\rangle) = -|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ Daraus folgt: $X_1 Y_2 Y_3 |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (-|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle + |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle) = |GHZ\rangle$ und der Eigenwert ist $+1$. Aus Symmetriegründen ergeben sich für $Y_1 X_2 Y_3$ und $Y_1 Y_2 X_3$ gleichermaßen Eigenwerte von $+1$.

Wenn man hingegen $X_1 X_2 X_3$ anwendet: $X_1 X_2 X_3 |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ $X_1 X_2 X_3 |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ Daraus folgt: $X_1 X_2 X_3 |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle - |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle) = -|GHZ\rangle$ und der Eigenwert ist $-1$. Die Quantenmechanik sagt diese Ergebnisse mit Sicherheit (Wahrscheinlichkeit 1) voraus.

Algebraischer Beweis des Zusammenbruchs des lokalen Realismus

Im lokalen Realismus geht man davon aus, dass die Messergebnisse durch vorherbestimmte verborgene Variablen festgelegt sind. Seien $m_x^1, m_y^1 \in \{+1, -1\}$ die Messergebnisse des Teilchens 1 in X- und Y-Richtung. Analog definieren wir dies für die Teilchen 2 und 3. Um mit der $+1$-Vorhersage der Quantenmechanik übereinzustimmen, muss das Modell des lokalen Realismus die folgenden drei Gleichungen erfüllen:

1. $m_x^1 m_y^2 m_y^3 = +1$
2. $m_y^1 m_x^2 m_y^3 = +1$
3. $m_y^1 m_y^2 m_x^3 = +1$

Wir multiplizieren alle drei Gleichungen miteinander: $(m_x^1 m_y^2 m_y^3)(m_y^1 m_x^2 m_y^3)(m_y^1 m_y^2 m_x^3) = +1 \times +1 \times +1 = +1$ Wenn wir die linke Seite umordnen, wird jedes $m_y^i$ zweimal multipliziert, sodass $(m_y^i)^2 = 1$ gilt. $m_x^1 m_x^2 m_x^3 (m_y^1)^2 (m_y^2)^2 (m_y^3)^2 = m_x^1 m_x^2 m_x^3 = +1$

Das bedeutet, solange man dem lokalen Realismus folgt, muss das Messergebnis von $X_1 X_2 X_3$ zwangsläufig $+1$ sein. Wie wir jedoch zuvor gesehen haben, ist die exakte Vorhersage der Quantenmechanik (und auch das tatsächliche experimentelle Ergebnis) $-1$. $+1$ und $-1$. Es bedarf nicht einmal einer statistischen Ungleichung; in einer einzigen Messung geraten lokaler Realismus und Quantenmechanik entscheidend in Konflikt, wodurch die Richtigkeit der Quantenmechanik bewiesen wurde.

(※ Übrigens gibt es bei einer 3-Teilchen-Verschränkung auch den W-Zustand $|W\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle)$, der andere Eigenschaften als der GHZ-Zustand besitzt und die Robustheit aufweist, dass die Verschränkung nicht vollständig zerstört wird, selbst wenn ein Teilchen verloren geht.)

Kapitel 6: Anwendung in der Quanteninformationswissenschaft und die genaue Herleitung der Quantenteleportation

Verschränkung hat sich von einem Gegenstand des Paradoxons zu einer “Informationsressource” gewandelt. Ein typisches Beispiel dafür ist die “Quantenteleportation”. Sie wurde 1993 von Charles Bennett et al. vorgeschlagen und 1997 erstmals experimentell von der Gruppe um Anton Zeilinger (Nobelpreisträger 2022) demonstriert.

Mathematische Herleitung des Quantenteleportationsprotokolls

Angenommen, Alice besitzt einen unbekannten Quantenzustand $|\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$, den sie an den weit entfernten Bob übertragen möchte. ($|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$) Aufgrund des No-Cloning-Theorems (Quanten-Kopierverbot) kann dieser Zustand nicht kopiert und gesendet werden. Außerdem würde eine Messung den Zustand kollabieren lassen, wodurch es unmöglich wäre, die unbekannten $\alpha, \beta$ genau zu bestimmen.

(※ Die Indizes sind in der Reihenfolge $C, A, B$)

Nun führt Alice eine “Bell-Messung” (Bell measurement) an Teilchen C und Teilchen A in ihrem Besitz durch. Dies ist eine Messung, die die beiden Teilchen auf die Basis der folgenden vier Bell-Zustände projiziert: $|\Phi^\pm\rangle_{CA} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle \pm |11\rangle)$ $|\Psi^\pm\rangle_{CA} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle \pm |10\rangle)$

Wenn Alice die Bell-Messung durchführt, kollabiert das System mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 in einen dieser vier Terme.

1. Wenn Alice $|\Phi^+\rangle$ erhält, ist Bobs Zustand $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle = |\phi\rangle$, und die Übertragung ist bereits abgeschlossen (unitäre Operation $I$).
2. Wenn sie $|\Phi^-\rangle$ erhält, ist Bobs Zustand $\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle$. Bob wendet den Pauli-$Z$-Operator ($\sigma_z$) an, um auf $|\phi\rangle$ zurückzukehren.
3. Wenn sie $|\Psi^+\rangle$ erhält, ist Bobs Zustand $\alpha|1\rangle + \beta|0\rangle$. Bob wendet den Pauli-$X$-Operator ($\sigma_x$) an, um auf $|\phi\rangle$ zurückzukehren.
4. Wenn sie $|\Psi^-\rangle$ erhält, ist Bobs Zustand $\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle$. Bob wendet $Z$ und dann $X$ an ($XZ$ oder $i\sigma_y$), um auf $|\phi\rangle$ zurückzukehren.

Alice übermittelt ihr Messergebnis (2 Bit klassische Information: 00, 01, 10, 11) über gewöhnliche Kommunikationswege (Telefon oder Internet) an Bob. Da diese Kommunikation nicht schneller als das Licht ist, widerspricht sie nicht der Relativitätstheorie. Bob wendet abhängig von den erhaltenen 2 Bits den entsprechenden Pauli-Operator an und stellt so meisterhaft den unbekannten Quantenzustand $|\phi\rangle$ wieder her. Dies ist das vollständige Protokoll der Quantenteleportation.

Kapitel 7: Quantifizierung von Verschränkung (Quantification)

Verschränkung ist nicht einfach nur “vorhanden” oder “nicht vorhanden”, man kann quantifizieren, “wie stark die Verschränkung ist”. In der Quanteninformationstheorie ist dies ein äußerst wichtiges Forschungsthema.

1. Von-Neumann-Verschränkungsentropie

Bei einem maximal verschränkten Zustand wie einem Bell-Zustand wird $\rho_A$ zu einem vollständig gemischten Zustand (proportional zur Einheitsmatrix) und es gilt $S = 1$ (Maximalwert). Intuitiv gesprochen drückt dies die Essenz der Verschränkung aus: “Der Zustand des Ganzen ist perfekt bekannt, aber wenn man nur einen Teil (System A) betrachtet, gibt es absolut keine Information (es erscheint zufällig).”

2. Concurrence

$C(\rho)$ nimmt Werte von $0$ (keine Verschränkung) bis $1$ (maximale Verschränkung) an und besitzt die mächtige mathematische Eigenschaft, dass dieser Wert direkt zur Berechnung eines weiteren Maßes, der sogenannten “Entanglement of Formation”, verwendet werden kann.

3. Negativity

Dies entspricht der Summe der Absolutwerte der negativen Eigenwerte und lässt sich leicht berechnen, weshalb es ein äußerst nützlicher Indikator für die Erforschung von Verschränkung in hochdimensionalen und Vielteilchen-Systemen ist.

Kapitel 8: Experimentelle Überprüfung und die vollständige Schließung von Schlupflöchern (Loophole)

Die Theorie ist fertiggestellt und Anwendungen sind in Sicht. Was blieb, war die Frage, welcher Gesetzmäßigkeit die Natur im Labor tatsächlich folgt.

Alain Aspects Schalterexperiment (1982)

Nachdem Alice und Bob die Winkel ihrer Messgeräte festgelegt haben, muss die Möglichkeit ausgeschlossen werden, dass diese Information mit einer Geschwindigkeit kleiner oder gleich der Lichtgeschwindigkeit an die andere Seite übertragen wird und die “verborgenen Variablen” beeinflusst. Dies wird als “Lokalitäts-Schlupfloch (Locality Loophole)” bezeichnet. Der Franzose Alain Aspect und sein Team nutzten akustooptische Modulatoren, um die Winkeleinstellungen der Messgeräte extrem schnell und zufällig umzuschalten, während die Photonen von der Quelle zum Messgerät flogen. Dadurch schufen sie eine Situation (räumliche Trennung), in der selbst mit der Lichtgeschwindigkeit keine Informationen übertragen werden konnten, und beobachteten meisterhaft die Verletzung der Ungleichung. Einsteins “spukhafte Fernwirkung” war Wirklichkeit geworden.

Die ultimative Herausforderung: Das komplett “Loophole-free” Experiment (2015)

Selbst nach Aspects Experiment blieben aufgrund geringer Detektionseffizienzen (das “Detektions-Schlupfloch / Fair-sampling Loophole”, bei dem man annimmt, dass nicht detektierbare Photonen günstige verborgene Variablen besaßen) noch minimale Einwände bestehen. Doch im Jahr 2015 gelang es schließlich mehreren Forschungsgruppen, darunter die TU Delft in den Niederlanden, die Universität Wien in Österreich und das NIST in den USA, einen “Loophole-free Bell test” durchzuführen, der alle wesentlichen Schlupflöcher gleichzeitig schloss. Beim Experiment in Delft wurden Elektronenspins in den NV-Zentren von Diamanten in einer Entfernung von 1,3 km verschränkt, wodurch sowohl das Lokalitäts-Schlupfloch als auch das Detektions-Schlupfloch vollständig versiegelt wurden – der letzte Nagel im Sarg des lokalen Realismus.

Fazit: Das Licht, das Einsteins Niederlage brachte

Im Jahr 2022 wurde der Nobelpreis für Physik an Alain Aspect, John Clauser und Anton Zeilinger verliehen, die drei Wissenschaftler, die die Grundlagen der Quantenmechanik endgültig etablierten.

Einstein lehnte die probabilistische Natur und Nicht-Lokalität der Quantenmechanik ab und verfasste den EPR-Artikel, um sie zu kritisieren. Ironischerweise war es gerade seine scharfe Kritik, die das Konzept der “Verschränkung” klar hervorhob und durch das Genie Bell den Weg dafür ebnete, dass die Menschheit die nicht-lokalen Verbindungen des Universums wirklich verstehen und sie als Technologie nutzen konnte.

Einsteins “letzte Niederlage” war keineswegs ein Stillstand der Physik, sondern die großartige Morgendämmerung für die Menschheit, eine völlig neue Sprache des Universums – die Quanteninformation – zu erwerben.

Autor: Wissenschaftsjournalist für Quanteninformationstechnologie Dieser Artikel ist eine akademische Erläuterung, die von den Grundlagen der Quantenmechanik bis hin zur neuesten Quanteninformationstechnologie reicht.