Wie beweisen Wissenschaftler Theorien? Normalerweise nutzen sie die „Induktion“, bei der sie die Welt beobachten und Daten sammeln. Wenn man zum Beispiel die Hypothese „Alle Raben sind schwarz“ beweisen möchte, würde man Raben auf der ganzen Welt beobachten und einzeln bestätigen, dass sie schwarz sind.
Doch in den 1940er Jahren wies der Logiker Carl Hempel auf ein seltsames logisches Schlupfloch hin, das sich in dieser scheinbar selbstverständlichen wissenschaftlichen Methode verbirgt. Dies ist das Paradoxon von Hempels Raben, das besagt: „Das bloße Betrachten eines blauen Apfels oder eines roten Schuhs ist ein Beweis dafür, dass ‘Raben schwarz sind’.“
Logischer Taschenspielertrick: Die Magie der Kontraposition
Um Hempels Argumentation zu verstehen, müssen wir uns an das Konzept der „Kontraposition“ aus der Schulmathematik erinnern.
Wenn in der Logik eine Aussage „Wenn A, dann B“ wahr ist, dann ist ihre Kontraposition „Wenn nicht B, dann nicht A“ notwendigerweise auch wahr (dies nennt man logische Äquivalenz).
Hypothese $H_1$: „Alle Raben sind schwarz (Wenn es ein Rabe ist, dann ist er schwarz)“
Betrachten wir die Kontraposition dieser Hypothese $H_1$. Sie lautet: „Wenn es nicht schwarz ist, dann ist es kein Rabe.“
Hypothese $H_2$: „Alles, was nicht schwarz ist, ist kein Rabe“
Nach den Regeln der Logik haben $H_1$ und $H_2$ genau dieselbe Bedeutung (sie sind äquivalent). Wenn das eine bewiesen ist, ist automatisch auch das andere bewiesen.
Raben beweisen, ohne Raben zu sehen
Um nun die Hypothese $H_1$ (Raben sind schwarz) zu überprüfen, wird mit jedem gefundenen schwarzen Raben die Wahrscheinlichkeit (Evidenz) der Hypothese ein wenig stärker. Das ist für jeden nachvollziehbar.
Da aber $H_1$ und $H_2$ dieselbe Bedeutung haben, muss das Finden von Beweisen für Hypothese $H_2$ (was nicht schwarz ist, ist kein Rabe) logischerweise auch ein Beweis für Hypothese $H_1$ sein.
Was ist also ein Beweis für $H_2$? Wir müssen nur etwas finden, das „nicht schwarz und kein Rabe“ ist.
- Angenommen, auf dem Tisch liegt ein „blauer Apfel“. Dieser ist nicht schwarz und auch kein Rabe. Daher ist es ein Beweis, der $H_2$ stützt.
- Im Schrank befinden sich „rote Schuhe“. Auch diese sind nicht schwarz und keine Raben. Ein Beweis für $H_2$.
- Am Himmel schwebt eine „weiße Wolke“. Auch das ist ein Beweis für $H_2$.
Da Beweise für $H_2$ den gleichen Wert haben wie Beweise für $H_1$, ergibt sich logisch die folgende seltsame Schlussfolgerung:
„Je mehr blaue Äpfel oder rote Schuhe wir im Raum beobachten, desto mehr wird die Richtigkeit der Hypothese ‘Alle Raben sind schwarz’ bewiesen.“
Warum widerspricht das unserer Intuition?
Es gibt keinen Ornithologen auf der Welt, der durch den Anblick eines blauen Apfels mehr davon überzeugt ist, dass „Raben schwarz sind“. Obwohl es logisch vollkommen korrekt ist, warum lehnt unser gesunder Menschenverstand dies ab?
In der Welt der Philosophie und Statistik wurden mehrere Ansätze für dieses Paradoxon vorgeschlagen.
1. Bayesianische Lösung (Unterschied im Informationsgehalt)
Das stärkste Gegenargument aus Sicht der modernen Statistik (Bayesianische Wahrscheinlichkeit) konzentriert sich auf den Unterschied in der „Stärke der Evidenz (Informationsgehalt)“.
Es gibt auf der Welt weitaus mehr „nicht-schwarze Dinge“ als „schwarze Dinge“, und es gibt astronomisch mehr „Nicht-Raben“ als „Raben“.
Wenn wir einen blauen Apfel sehen, ist das zwar ein Beweis dafür, dass „alle Raben sind schwarz“, aber sein Wert als Beweis (der Anstieg der Wahrscheinlichkeit) geht gegen null. Wenn wir eines der unzähligen „nicht-schwarzen Dinge“ im weiten Universum überprüfen, ist der Anstieg der Wahrscheinlichkeit, dass „Raben schwarz sind“, so gering, als würde man ein einzelnes Sandkorn aus der Wüste entfernen. Andererseits hat das direkte Finden eines schwarzen Raben einen überwältigend größeren Beweiswert.
Kurz gesagt, die bayesianische Lösung lautet: Logisch gesehen „ist ein blauer Apfel ein Beweis“, aber praktisch „ist sein Beweiswert gleich null und kann daher ignoriert werden“.
2. Die Grenzen der „Indoor-Ornithologie“
Dieses Paradoxon verdeutlicht, auf welch fragilen Annahmen das Fundament der Wissenschaft, die „Induktion (Ableitung allgemeiner Gesetze aus Beobachtungen)“, beruht. Verlässt man sich nur auf logische Äquivalenz, würde eine „Indoor-Ornithologie“ möglich werden, bei der man alle Gesetze des Universums überprüfen könnte (wie z. B. „alle Schwäne sind weiß“, „alle Aliens sind nicht grün“), indem man nur den Krimskrams in seinem Zimmer beobachtet, ohne jemals nach draußen zu gehen.
Hempels Raben sind ein faszinierendes Paradoxon, das zeigt, dass die Wörter „Beweis“ und „Beleg“, die wir unbewusst verwenden, nicht allein durch die Regeln der reinen symbolischen Logik vollständig erfasst werden können.