Kapitel 1: Klassische schwarze Löcher und das “Keine-Haare-Theorem”

Hinter den unzähligen Sternen, die am Nachthimmel leuchten, verbergen sich schwarze Löcher – dunkle Himmelskörper, denen nicht einmal das Licht entkommen kann. Die Allgemeine Relativitätstheorie, die Albert Einstein 1915 veröffentlichte, brachte den schönsten Paradigmenwechsel in der Geschichte der Physik, indem sie die Gravitation als “Krümmung der Raumzeit” beschrieb. Kurz darauf, im Jahr 1916, entdeckte Karl Schwarzschild eine exakte Lösung (die Schwarzschild-Lösung), die zeigte, wie eine kugelsymmetrische Massenverteilung die umgebende Raumzeit krümmt. Dies war der mathematische Beginn des Konzepts des schwarzen Lochs.

Im Rahmen der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie sind schwarze Löcher erstaunlich “einfache” Gebilde. Der Prozess, bei dem ein Stern das Ende seiner Lebensdauer erreicht und durch seine eigene Schwerkraft kollabiert, ist extrem komplex. Der ursprüngliche Stern besitzt eine gewaltige Menge an Informationen (Freiheitsgraden), wie z. B. seine chemische Zusammensetzung, die Struktur seines Magnetfelds und Asymmetrien in seiner Form. Sobald sich jedoch ein Ereignishorizont (Event Horizon) bildet, werden all diese komplexen Informationen entweder innerhalb des Horizonts verborgen oder als Gravitationswellen nach außen abgestrahlt.

Diese erstaunliche Eigenschaft wurde von John Archibald Wheeler mit dem berühmten Satz “Schwarze Löcher haben keine Haare (Black holes have no hair)” zum Ausdruck gebracht, was als “Keine-Haare-Theorem (No-Hair Theorem)” bekannt ist. Nach diesem Theorem kann ein schwarzes Loch, das einen stationären Zustand erreicht hat, vollständig durch nur drei physikalische Größen beschrieben werden:

1. Masse (Mass, $M$)
2. Elektrische Ladung (Electric Charge, $Q$)
3. Drehimpuls (Angular Momentum, $J$)

Die Schwarzschild-Lösung beschreibt das einfachste schwarze Loch, das nur Masse besitzt. Die Kerr-Lösung beschreibt ein rotierendes schwarzes Loch mit Masse und Drehimpuls, die Reissner-Nordström-Lösung ein schwarzes Loch mit Masse und elektrischer Ladung, und die Kerr-Newman-Lösung ist die allgemeinste Lösung, die alle diese drei Eigenschaften aufweist. Egal wie komplex die Materie ist (sei es ein Eisenklumpen, Antimaterie oder ein Berg von Enzyklopädien), die ein schwarzes Loch bildet – von außen sind nur diese drei Parameter beobachtbar.

Diese extreme Einfachheit führte jedoch zu einem tiefgreifenden Widerspruch mit einer anderen großen Säule der Physik, der “Thermodynamik (Thermodynamics)”, insbesondere mit dem “Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik”. Der Zweite Hauptsatz besagt, dass “die Entropie eines isolierten Systems niemals abnimmt”. Die Entropie ist ein Maß für die Anzahl der mikroskopischen Zustände, die ein System einnehmen kann, also ein Maß für die “informationelle Unordnung”.

Wenn ein schwarzes Loch ein “haarloses” Gebilde ist, das vollständig durch die oben genannten drei Parameter bestimmt wird, dann bedeutet dies, dass die Anzahl seiner mikroskopischen Zustände genau eins ist (seine Entropie ist null). Das ist ein massives Problem. Stellen wir uns vor, wir werfen heißes Gas mit viel Entropie oder Materie mit einer komplexen Struktur in ein schwarzes Loch. Nachdem das schwarze Loch sie verschluckt hat, verschwindet die Entropie dieser Materie vollständig aus dem äußeren Universum. Wenn das schwarze Loch selbst eine Entropie von null hat, bedeutet dies, dass die Gesamtentropie des Universums abgenommen hat, wodurch der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik verletzt wäre.

“Ein schwarzes Loch ist nicht der Mülleimer des Universums”. Um die Physik aus dieser Krise zu retten, war es notwendig, in das unbetretene Gebiet der Verschmelzung von Gravitationstheorie, Thermodynamik und Quantenmechanik vorzudringen. Lässt die absolute Wand des Ereignishorizonts wirklich alles im Nichts verschwinden? Oder gibt es im schwarzen Loch eine “verborgene Entropie”, die wir noch nicht kennen? Im nächsten Kapitel werden wir die bahnbrechende Idee eines jungen Physikers betrachten, der sich diesem Rätsel stellte.

Kapitel 2: Die Bekenstein-Hawking-Formel

Als Antwort auf das ernsthafte Paradoxon, dass schwarze Löcher den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verletzen könnten, stellte Jacob Bekenstein, ein Doktorand an der Princeton University, im Jahr 1972 eine kühne und intuitive Hypothese auf. Er konzentrierte sich auf das von Stephen Hawking bewiesene “Flächentheorem für schwarze Löcher (die Fläche des Ereignishorizonts eines schwarzen Lochs nimmt niemals ab)”.

Die Entropie nimmt niemals ab. Auch die Fläche eines schwarzen Lochs nimmt niemals ab. Ist diese Ähnlichkeit reiner Zufall? Bekenstein behauptete: “Die Fläche des Ereignishorizonts eines schwarzen Lochs ist genau die Entropie des schwarzen Lochs.” Wenn Materie in ein schwarzes Loch fällt, nimmt die Masse des schwarzen Lochs zu, und infolgedessen vergrößert sich die Fläche des Ereignishorizonts. Die Entropie, die die Materie besaß, geht nicht verloren, sondern bleibt in Form der Vergrößerung der Fläche des schwarzen Lochs erhalten, sodass der verallgemeinerte Zweite Hauptsatz der Thermodynamik (die Summe aus der Entropie des Universums und der Entropie des schwarzen Lochs nimmt nicht ab) gültig bleibt.

Diese bahnbrechende Idee wurde später durch Hawkings quantenmechanische Analyse bestätigt und gipfelte in der “Bekenstein-Hawking-Entropieformel”.

Hierbei ist $S_{BH}$ die Entropie des schwarzen Lochs und $A$ die Oberfläche des Ereignishorizonts. In der Proportionalitätskonstante sind alle fundamentalen Konstanten der Physik versammelt: die Boltzmann-Konstante $k_B$, die Lichtgeschwindigkeit $c$, die Newtonsche Gravitationskonstante $G$ und die reduzierte Planck-Konstante (Dirac-Konstante) $\hbar$. Dies zeigt eindrucksvoll, dass diese Formel ein Meilenstein der “Quantengravitationstheorie” ist, in der Thermodynamik ($k_B$), Relativitätstheorie ($c, G$) und Quantenmechanik ($\hbar$) aufeinandertreffen.

Die Bedeutung dieser Formel ist äußerst tiefgründig. Entropie ist äquivalent zu Information. Normalerweise nimmt die Entropie von Materie proportional zu ihrem Volumen (im 3-dimensionalen Raum) zu (z. B. die Anzahl der Moleküle, aus denen ein Gas besteht). Die Entropie eines schwarzen Lochs ist jedoch nicht proportional zu seinem Volumen, sondern zu seiner “Fläche (2-dimensional)”. Wenn wir die Formel mithilfe der Planck-Länge $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$ umschreiben, ergibt sich Folgendes:

Dies bedeutet, dass, wenn man den Ereignishorizont mit winzigen quadratischen Kacheln einer Seitenlänge von einer Planck-Länge (etwa $1.6 \times 10^{-35}$ Meter) auslegt, pro vier Kacheln (4 Planck-Flächen) ein Bit an Information (Entropie) gespeichert ist. Die gesamten 3-dimensionalen Informationen der in das schwarze Loch gefallenen Materie sind “wie ein Hologramm” auf dem 2-dimensionalen Ereignishorizont aufgezeichnet. Diese verblüffende Tatsache wird zur wichtigsten Vorankündigung für das spätere “holografische Prinzip”.

Das Vorhandensein von Entropie bedeutet jedoch aufgrund der grundlegenden thermodynamischen Beziehungen unweigerlich, dass das schwarze Loch eine “Temperatur” hat. Setzt man die Massenenergie des schwarzen Lochs $E = Mc^2$ und die Bekenstein-Entropie in den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik $dE = T dS$ ein, so lässt sich ableiten, dass die Temperatur $T$ des schwarzen Lochs proportional zu seiner “Oberflächenschwerkraft (surface gravity) $\kappa$” ist.

Zunächst waren viele Physiker, einschließlich Hawking selbst, skeptisch gegenüber Bekensteins Hypothese, da sie dachten: “Ein schwarzes Loch saugt nur alles ein und sendet nichts aus, also muss seine Temperatur beim absoluten Nullpunkt liegen.” Ein Objekt, das eine Temperatur hat, muss Wärmestrahlung (Schwarzkörperstrahlung) abgeben. Wie könnte es möglich sein, dass ein schwarzes Loch Licht aussendet?

Um Bekensteins Irrtum zu beweisen, vertiefte sich Hawking in Berechnungen, in denen er die Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit auf schwarze Löcher anwandte. Doch worauf er stieß, war eine der schönsten Entdeckungen in der Geschichte der Physik, die seine eigenen Erwartungen grundlegend auf den Kopf stellte: Das schwarze Loch leuchtete tatsächlich aufgrund quantenmechanischer Effekte.

Kapitel 3: Die Entdeckung der Hawking-Strahlung

Im Jahr 1974 veröffentlichte Stephen Hawking ein schockierendes Paper mit der Aussage: “Schwarze Löcher sind nicht schwarz.” Er leitete theoretisch das Phänomen ab, dass aus dem Ereignishorizont, dem klassischerweise nichts entkommen kann, durch den quantenmechanischen Tunneleffekt Teilchen emittiert werden – die sogenannte “Hawking-Strahlung (Hawking Radiation)”.

Um dieses Phänomen zu verstehen, bedarf es eines quantenmechanischen Perspektivenwechsels hinsichtlich des “Vakuums”. Gemäß der Quantenfeldtheorie ist das Vakuum kein “leerer Raum”, sondern ein Meer von “Quantenfluktuationen”, in dem ständig Paare von Teilchen und Antiteilchen (virtuelle Teilchen) entstehen und sich gegenseitig vernichten. Normalerweise verschwinden diese Paare von virtuellen Teilchen in einem Bruchteil einer Sekunde und können daher nicht direkt beobachtet werden.

Wenn diese Paarbildung jedoch extrem nah am schwarzen Loch, knapp außerhalb des Ereignishorizonts, stattfindet, kommt es zu einer dramatischen Situation. Die durch das Teilchenpaar erzeugten Teilchen werden durch die extrem starken Gezeitenkräfte (Gravitationsgradienten) in der Nähe des Ereignishorizonts auseinandergerissen. Es ist stochastisch möglich, dass eines der Teilchen den Ereignishorizont überquert und ins Innere des schwarzen Lochs fällt, während das andere Teilchen ins äußere Universum entkommt.

Für einen externen Beobachter sieht es so aus, als ob Teilchen aus dem schwarzen Loch herausschießen. Das ist die Hawking-Strahlung. Was passiert dann mit dem Energieerhaltungssatz? Das entkommene Teilchen trägt positive Energie und wird zu einem realen Teilchen. Um die Energieerhaltung zu gewährleisten, muss das in das schwarze Loch gefallene Teilchen “negative Energie” besitzen. Wenn das schwarze Loch negative Energie absorbiert, verliert es Masse (und damit Energie). Das bedeutet, dass das schwarze Loch durch die Abgabe von Strahlung allmählich verdampft (evaporate).

Hawking berechnete das Spektrum dieser Strahlung exakt unter Verwendung einer fortschrittlichen mathematischen Methode, die die Geometrie der Raumzeit mit der Quantenfeldtheorie verbindet (die Bogoliubov-Transformation). Er definierte den Vakuumzustand am vergangenen unendlich fernen Ort ($\mathscr{I}^-$) in einer flachen Raumzeit und analysierte, als was für ein Teilchenzustand dieser am zukünftigen unendlich fernen Ort ($\mathscr{I}^+$) beobachtet wird, nachdem er sich durch die durch den Sternkollaps gebildete Raumzeit des schwarzen Lochs ausgebreitet hat.

Wird der vergangene Vakuumzustand $|0\rangle_{in}$ durch künftige Teilchen-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren entwickelt, wird er mithilfe der Bogoliubov-Koeffizienten $\alpha, \beta$ beschrieben. Der Kern von Hawkings Berechnung lag darin zu zeigen, dass die Phase des Lichts, das die Oberfläche des kollabierenden Sterns passiert und die zukünftige Unendlichkeit erreicht, durch die Bildung des Ereignishorizonts eine logarithmische Verzögerung (Rotverschiebung) erfährt. Diese geometrische Rotverschiebung ist der entscheidende Faktor, der den Bogoliubov-Koeffizienten $\beta$ (den Koeffizienten, der die Teilchenerzeugung bestimmt) ungleich null macht und das thermische Spektrum erzeugt.

Die resultierende Strahlung stimmte erstaunlicherweise exakt mit dem Planck-Spektrum der perfekten Schwarzkörperstrahlung überein. Ihre Temperatur (Hawking-Temperatur $T_H$) wird durch folgende Gleichung gegeben:

Bemerkenswert ist hier, dass die Hawking-Temperatur “umgekehrt proportional” zur Masse $M$ des schwarzen Lochs ist. Das bedeutet, je kleiner das schwarze Loch durch Masseverlust wird, desto mehr steigt seine Temperatur, und desto heftiger strahlt es (die spezifische Wärmekapazität ist negativ).

Für ein schwarzes Loch von der Masse der Sonne beträgt die Hawking-Temperatur extrem kalte $6 \times 10^{-8}$ Kelvin, was viel niedriger ist als die heutige kosmische Hintergrundstrahlung (ca. 2.7 Kelvin), sodass es praktisch unmöglich ist, die Strahlung zu beobachten. Wenn die Masse jedoch abnimmt, steigt die Temperatur rapide an. Die Lebensdauer, bis das schwarze Loch vollständig verdampft ist (Verdampfungszeit), ist proportional zur dritten Potenz seiner Masse und beträgt $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$. Es würde schier unvorstellbare $10^{67}$ Jahre dauern, bis ein sonnenmassiges schwarzes Loch verdampft ist, aber ein winziges schwarzes Loch würde am Ende gigantische Mengen an Energie freisetzen und explosionsartig verschwinden.

Die Entdeckung der Hawking-Strahlung vervollständigte die Thermodynamik schwarzer Löcher und wurde zu einem Meilenstein der theoretischen Physik. Gleichzeitig öffnete sie jedoch die Büchse der Pandora des tiefsten und am schwersten zu fassenden Paradoxons, das die Grundlagen der Physik erschütterte: das “Informationsparadoxon schwarzer Löcher”.

Kapitel 4: Der Ausbruch des Informationsparadoxons

Die Hawking-Strahlung sagte voraus, dass schwarze Löcher letztendlich verdampfen und verschwinden. Daraus ergibt sich eines der größten Mysterien der modernen Physik: das “Informationsparadoxon (Information Paradox)”.

Eines der grundlegendsten und heiligsten Prinzipien der Quantenmechanik ist die “Unitarität (Unitarity)”. Es ist das Prinzip, dass sich bei der zeitlichen Entwicklung eines Systemzustands die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer bei 1 hält und Informationen deterministisch von der Vergangenheit in die Zukunft und von der Zukunft in die Vergangenheit erhalten bleiben. Mit anderen Worten: Wenn man die vollständige Information (den reinen Zustand) eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt kennt, garantiert dies die Umkehrbarkeit der physikalischen Gesetze – durch das Lösen der Schrödingergleichung (oder ihrer Erweiterungen) lässt sich der Zustand zu jedem beliebigen Zeitpunkt in der Vergangenheit oder Zukunft vollständig vorhersagen und rekonstruieren.

Wenden wir nun dieses Prinzip auf den Entstehungs- und Verdampfungsprozess eines schwarzen Lochs an. Angenommen, Materie in einem reinen Zustand (z. B. eine Gruppe von Teilchen, die präzise in einem bestimmten Quantenzustand präpariert sind, oder eine Enzyklopädie) unterliegt einem Gravitationskollaps und bildet ein schwarzes Loch. Zu diesem Zeitpunkt befinden sich alle Informationen im Inneren des schwarzen Lochs.

Danach beginnt die Hawking-Strahlung. Laut Hawkings Berechnungen ist die am Ereignishorizont entstehende Strahlung “perfekte Wärmestrahlung”. Das Spektrum der Wärmestrahlung wird ausschließlich durch die Temperatur (Masse, Ladung, Drehimpuls des schwarzen Lochs) bestimmt, es gibt keine quantenmechanische Korrelation (Verschränkung) zwischen den emittierten Teilchen, und sie enthält keinerlei “Informationen” darüber, woraus die Materie bestand, die in das schwarze Loch fiel. Wenn man eine Enzyklopädie verbrennt, um sie in Asche und Rauch zu verwandeln, könnte man prinzipiell, wenn man die Bewegung der Asche und des Rauchs vollständig misst, den ursprünglichen Text rekonstruieren; doch Hawking argumentierte, dass die Hawking-Strahlung “im wahren Sinne des Wortes zufällig” sei.

Und schließlich verdampft das schwarze Loch vollständig und verschwindet. Alles, was zurückbleibt, ist thermische Strahlung ohne Informationen (ein gemischter Zustand). Das Universum, das sich in einem reinen Zustand befinden sollte, ist in einen informationslosen gemischten Zustand übergegangen. Die gewaltige Menge an Informationen, die die ursprüngliche Materie besaß, ist mit dem schwarzen Loch vollständig aus dem Universum verschwunden.

Dies bedeutet den Zusammenbruch der Unitarität der Quantenmechanik. Zu diesem Paradoxon, bei dem Quantenmechanik und Allgemeine Relativitätstheorie kollidieren, teilten sich die Physiker in Lager auf und führten hitzige Debatten. Das ist der sogenannte “Krieg der schwarzen Löcher”.

Der Anführer des einen Lagers war Stephen Hawking selbst. Er argumentierte: “In einem schwarzen Loch werden die Regeln der Quantenmechanik gebrochen, und Informationen gehen tatsächlich verloren.” Zusammen mit Kip Thorne schloss er eine Wette mit John Preskill ab, auf dem Standpunkt stehend, dass “Informationen verloren gehen”.

Dagegen rebellierten Teilchenphysiker wie Leonard Susskind und Gerard ’t Hooft vehement. “Wenn Informationen verloren gingen, würde selbst der Energieerhaltungssatz zusammenbrechen, und das Fundament der modernen Physik selbst würde zerstört.” Sie waren davon überzeugt, dass beim Verdampfen eines schwarzen Lochs Informationen durch einen unbekannten Mechanismus in der Hawking-Strahlung verschlüsselt und nach außen getragen werden müssen.

Hawkings Berechnungen schienen jedoch felsenfest. Einmal über den Ereignishorizont gelangte Informationen können nicht entkommen, es sei denn, sie überschreiten die Lichtgeschwindigkeit. Die Kausalität zwischen dem Inneren und Äußeren des Ereignishorizonts ist getrennt, und die Allgemeine Relativitätstheorie (Lokalität) lässt nicht zu, dass Informationen nach außen dringen. Wenn man versucht, die Erhaltung der Information (Quantenmechanik) zu bewahren, bricht die Kausalität (Relativitätstheorie) zusammen; wenn man versucht, die Kausalität zu bewahren, geht die Information verloren. Um dieses Dilemma aufzulösen, musste das Konzept der Raumzeit selbst von Grund auf revolutioniert werden.

Susskind und andere stellten sich diesem uneinnehmbaren Paradoxon mit der Quantenverschränkung und der Stringtheorie (String Theory) als Waffen. Im nächsten Kapitel werden wir uns mit der “Komplementarität schwarzer Löcher” – einem dramatischen theoretischen Sprung zum Schutz von Informationen – und dem daraus resultierenden neuen Konfliktherd, dem “Firewall-Problem”, befassen.

Kapitel 5: Komplementarität schwarzer Löcher und das Firewall-Problem

Die Verfechter der Informationserhaltung um Susskind schlugen 1993 das bahnbrechende Konzept der “Komplementarität schwarzer Löcher (Black Hole Complementarity)” vor, inspiriert durch das Komplementaritätsprinzip von Niels Bohr, um die Widersprüche des Ereignishorizonts aufzulösen.

Die grundlegende Ursache des Paradoxons lag in der Tatsache, dass, wenn “Informationen in das schwarze Loch fallen” und “Informationen als Hawking-Strahlung nach außen entkommen” gleichzeitig passieren, die Informationen “kopiert” werden (Verletzung des Quanten-No-Cloning-Theorems).

Die Komplementarität schwarzer Löcher besagt Folgendes: Für einen Beobachter, der außerhalb bleibt (Alice), wird die Materie, die auf die heiße Membran (Stretched Horizon) nahe dem Ereignishorizont fällt, verbrannt, und diese Informationen kehren mit der Hawking-Strahlung im Laufe der Zeit nach außen zurück. Für einen Beobachter, der sich im freien Fall in das schwarze Loch befindet (Bob), ist der Ereignishorizont jedoch nichts weiter als ein gewöhnlicher Durchgangspunkt im Raum, und er fällt samt seinen Informationen unversehrt ins Innere.

Auf den ersten Blick scheinen sich die Informationen in zwei Teile gespalten zu haben, aber Susskind argumentierte, dass kein Widerspruch entsteht, da “es für Alice und Bob prinzipiell unmöglich ist, miteinander zu kommunizieren und ihre Ergebnisse zu vergleichen”. Es gibt zwei verschiedene, aber komplementäre Beschreibungen desselben physikalischen Phänomens, und es gibt keine absolute Perspektive (die Sicht Gottes), die das Ganze beschreibt. Dies bedeutete, dass in dem extremen Bereich, in dem sich Gravitation und Quantenmechanik überschneiden, der gesunde Menschenverstand der “Lokalität” der Raumzeit zusammenbricht.

Durch die Komplementarität schwarzer Löcher schien das Paradoxon gelöst. Doch 2012 sorgte ein von vier Physikern der University of California, Santa Barbara (Almheiri, Marolf, Polchinski, Sully: bekannt als AMPS) veröffentlichtes Paper erneut für Erschütterungen in der Physikwelt. Es war die Geburtsstunde des “AMPS-Firewall-Paradoxons”.

AMPS konzentrierten sich auf die komplexen Verteilungsverhältnisse der Quantenverschränkung, die nach dem Zeitpunkt auftreten, an dem das schwarze Loch die Hälfte seiner Lebensdauer überschritten hat (Page-Zeit), vorausgesetzt, die Hawking-Strahlung trägt die Informationen nach außen (die Unitarität bleibt erhalten).

Um Informationen nach außen zu transportieren, muss das neu abgestrahlte Hawking-Teilchen (B) stark mit der Menge aller in der Vergangenheit abgestrahlten Hawking-Teilchen (A) verschränkt (quantum entangled) sein. Andererseits, um den Ereignishorizont unversehrt zu passieren (Erhaltung des Äquivalenzprinzips), muss auch eine starke Verschränkung zwischen dem nach außen entweichenden Teilchen (B) und dem nach innen fallenden Teilchen (C) existieren, die ein aus Quantenfluktuationen des Vakuums erzeugtes Teilchenpaar bilden.

In der Quantenmechanik gibt es jedoch eine strikte Regel: die “Monogamie der Verschränkung (Entanglement Monogamy)”. Es ist einem Quantensystem (B) unmöglich, gleichzeitig maximal mit zwei anderen unabhängigen Systemen (A und C) verschränkt zu sein.

Um dieses Dilemma aufzulösen, muss etwas geopfert werden. AMPS kamen zu dem Schluss, dass man, wenn man die Komplementarität schwarzer Löcher beibehalten will, keine andere Wahl hat, als die Verschränkung zwischen B und C zu zerschneiden. Das Durchtrennen der Verschränkung zwischen B und C bedeutet jedoch, dass am Ereignishorizont eine Wand aus extrem energiereichen Teilchen, eine sogenannte “Feuerwand (Firewall)”, entsteht.

Wenn eine Firewall existiert, wird Bob, der versucht, den Ereignishorizont zu passieren, nicht unversehrt bleiben, sondern mit dieser hochenergetischen Wand kollidieren und sofort verbrannt werden. Dies bedeutet den vollständigen Zusammenbruch des “Äquivalenzprinzips” (ein im freien Fall befindlicher Beobachter spürt keine Schwerkraft, d. h. am Ereignishorizont passiert nichts Besonderes), das den Grundstein von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie bildet.

Versucht man die Informationen zu schützen, wird der Ereignishorizont zu einer Feuerwand (Zusammenbruch des Äquivalenzprinzips). Versucht man das Äquivalenzprinzip zu schützen, gehen die Informationen verloren oder das Fundament der Quantenmechanik bricht zusammen. Die Physiker sahen sich mit einem Paradoxon konfrontiert, das tiefer und schärfer war als jemals zuvor. Der Schlüssel zur Rettung aus dieser ausweglosen Krise lag im “holografischen Prinzip”, das die Grenzen der Dimensionen überwand, und in der neuesten Quantengravitationstheorie verborgen.

Kapitel 6: Das holografische Prinzip, die AdS/CFT-Korrespondenz und die Island-Formel

Der entscheidende Paradigmenwechsel, der die Physik aus der durch das Firewall-Paradoxon ausgelösten Krise rettete, wurde durch das “holografische Prinzip (Holographic Principle)” und dessen strenge mathematische Formulierung, die “AdS/CFT-Korrespondenz (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence)”, herbeigeführt.

Das holografische Prinzip wurde 1993 von Gerard ’t Hooft vorgeschlagen und 1995 von Leonard Susskind in den Rahmen der Stringtheorie integriert. Wie die in Kapitel 2 behandelte Bekenstein-Hawking-Formel (die Entropie ist nicht proportional zum Volumen, sondern zur Fläche) nahelegt, behauptet dieses Prinzip: “Alle physikalischen Phänomene (einschließlich der Gravitation), die sich in einem bestimmten 3-dimensionalen räumlichen Bereich abspielen, können vollständig durch physikalische Gesetze ohne Gravitation auf der diesen Bereich umschließenden 2-dimensionalen Grenzfläche (Boundary) beschrieben werden.” Unser 3-dimensionales Universum könnte nichts weiter als die Illusion eines “Hologramms” sein, das auf einen fernen 2-dimensionalen Bildschirm projiziert wird.

1997 präsentierte Juan Maldacena mithilfe der Superstringtheorie erstmals ein konkretes Modell, in dem dieses holografische Prinzip streng gilt. Dies ist die “AdS/CFT-Korrespondenz”. Maldacena bewies, dass die Quantengravitationstheorie (Superstringtheorie) im Anti-de-Sitter-Raum (AdS-Raum) mit negativer kosmologischer Konstante mathematisch völlig äquivalent (dual) zu einer konformen Feldtheorie (Conformal Field Theory, CFT) ohne Gravitation ist, die auf dem unendlich fernen Rand dieses Raumes definiert ist.

Dies war eine wundersame Entdeckung in der Physik. Zwei Theorien mit völlig unterschiedlichen Dimensionen und Gesetzen – die Physik des Bulks (Innenraum), die Gravitation einschließt, und die Physik des Randes (CFT), die keine Gravitation beinhaltet – waren in Wirklichkeit nur zwei verschiedene Übersetzungen derselben physikalischen Phänomene. Durch die Verwendung dieses Dualitäts-Wörterbuchs (holografisches Wörterbuch) ist es möglich, hoffnungslos schwierige Probleme der Quantengravitation in leichter berechenbare Probleme der Quantenfeldtheorie auf dem Rand umzuwandeln und zu lösen.

Im Kontext des Informationsparadoxons lieferte die AdS/CFT-Korrespondenz eine äußerst wichtige Antwort. Da die CFT auf dem Rand den normalen Regeln der Quantenmechanik folgt, ist die Unitarität vollständig garantiert (Informationen gehen definitiv nicht verloren). Wenn die AdS/CFT-Korrespondenz richtig ist, muss auch der duale Prozess der Entstehung und Verdampfung eines schwarzen Lochs im AdS-Raum insgesamt unitär sein, und die Informationen müssen sicher erhalten bleiben.

Während jedoch bewiesen war, dass “Informationen erhalten bleiben”, blieb der dynamische Mechanismus, “wie genau die Informationen aus dem Inneren des schwarzen Lochs in die äußere Hawking-Strahlung übertragen werden”, weiterhin ein Rätsel. Der endgültige Durchbruch bei der Beantwortung dieser Frage gelang mit der Entdeckung der “Island-Formel (Island Formula)”, die 2019 veröffentlicht wurde.

Der Ausgangspunkt war das Konzept der “Page-Kurve (Page Curve)”, das Don Page 1993 vorstellte. Page sagte voraus, wie sich die Verschränkungsentropie der Hawking-Strahlung über die Zeit verändern müsste, falls Informationen erhalten bleiben (die Unitarität gewahrt wird). In der Anfangsphase der Strahlung sind die abgestrahlten Teilchen mit den Teilchen im Inneren des schwarzen Lochs verschränkt, weshalb die Verschränkungsentropie der gesamten Strahlung mit der Zeit monoton ansteigt. Wenn das schwarze Loch jedoch die Hälfte seiner Lebensdauer (Page-Zeit) erreicht hat, kehrt sich die Situation dramatisch um. Die neu abgestrahlten Teilchen beginnen, sich mit den in der Vergangenheit abgestrahlten Teilchen zu verschränken, und die Verschränkungsentropie der gesamten Strahlung beginnt zu sinken. Wenn das schwarze Loch schließlich verschwunden ist, wird die gesamte Strahlung wieder in einen reinen Zustand zurückkehren, und die Entropie sollte wieder auf null sinken. Diese glockenförmige Kurve ist die Page-Kurve.

Andererseits nimmt die Entropie in Hawkings klassischer Berechnung (basierend auf dem Standpunkt, dass Informationen verloren gehen) ewig zu und nimmt niemals ab (Hawking-Kurve).

Im Jahr 2019 berechneten Geoff Penington, Almheiri, Mahajan, Maldacena, Zhao und andere die Entropie der Hawking-Strahlung neu, indem sie aus der Stringtheorie abgeleitete Berechnungsmethoden für holografische Verschränkungsentropie (die Formel für quantenextremale Flächen, eine Verallgemeinerung der Ryu-Takayanagi-Formel) verwendeten. Dabei entdeckten sie, dass sich der geometrische Bereich, der zur Berechnung der Verschränkungsentropie herangezogen wird, ab einem bestimmten Zeitpunkt (der Page-Zeit) diskontinuierlich verändert.

Die von ihnen abgeleitete Formel zeigte, dass bei der Berechnung der Entropie der Hawking-Strahlung nicht nur die Strahlung außerhalb des schwarzen Lochs, sondern auch der Beitrag eines bestimmten Bereichs “innerhalb” des Ereignishorizonts (der als “Island (Insel)” bezeichnet wird) addiert werden muss.

Erstaunlicherweise wurde der Beitrag der Island ab etwa dem Zeitpunkt der Page-Zeit dominant, wenn man die Berechnungen mit dieser Island-Formel fortsetzte, und die Berechnungsergebnisse reproduzierten Dons Page-Kurve perfekt. Das bedeutet: Was in Hawkings Berechnungen fehlte, waren nicht-störungstheoretische Quanteneffekte der Gravitation (Änderungen der Topologie der Raumzeit, sogenannte Replica-Wurmlöcher). Durch deren Einbeziehung wurde bewiesen, dass Informationen tatsächlich in der Hawking-Strahlung codiert entkommen.

Noch schockierender ist die Tatsache, dass sich die “Island” zwar innerhalb des Ereignishorizonts befindet, ihre Informationen jedoch vollständig in der Hawking-Strahlung enthalten sind. Dies bedeutet, dass ein Teil des Inneren des schwarzen Lochs in Wirklichkeit durch die Hawking-Strahlung holografisch nach außen projiziert wird. Wie die ER=EPR-Hypothese (die Hypothese, dass Einstein-Rosen-Brücken bzw. Wurmlöcher und die Einstein-Podolsky-Rosen-Verschränkung im Wesentlichen identisch sind) zeigt, bildet die Quantenverschränkung eine Brücke der Raumzeit (ein Wurmloch), die das Innere des schwarzen Lochs mit der Hawking-Strahlung außerhalb verband.

Anhang A: Die Bogoliubov-Transformation der Hawking-Strahlung und die exakte Herleitung des thermischen Spektrums

Um die tiefgründigen Eigenschaften der Hawking-Strahlung wirklich zu verstehen, ist es unerlässlich, die mathematische Struktur der Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit und insbesondere den detaillierten Herleitungsprozess der “Bogoliubov-Transformation (Bogoliubov Transformation)” nachzuvollziehen. In diesem Anhang werden wir den Kern der Berechnungen, die Stephen Hawking in seinem historischen Paper von 1974 durchführte, so exakt und detailliert wie möglich nachverfolgen.

1. Der Unterschied in der Definition des “Vakuums” zwischen flacher und gekrümmter Raumzeit

In der Quantenfeldtheorie wird ein Skalarfeld $\phi(x)$ mithilfe von Erzeugungsoperatoren $\hat{a}^\dagger$ und Vernichtungsoperatoren $\hat{a}$ als Modenentwicklung dargestellt. In einer flachen Minkowski-Raumzeit werden die Lösungen der Feldgleichung (Klein-Gordon-Gleichung) $(\square + m^2)\phi = 0$ nach ebenen Wellen $e^{ikx}$ als Basis entwickelt. Unter Verwendung der Moden positiver Frequenz $f_k(x)$ und negativer Frequenz $f_k^*(x)$ wird das Feld wie folgt geschrieben:

Wenn jedoch die Raumzeit gekrümmt ist (ein Gravitationsfeld existiert), geht die globale Poincaré-Symmetrie verloren. Dadurch gibt es keine universelle Zeitkoordinate mehr, um “Moden positiver Frequenz” eindeutig zu definieren. Je nach Bewegungszustand und Position (Geometrie der Raumzeit) des Beobachters wird es relativ, welche Modi als “positiv” angesehen werden.

2. Modenentwicklung in der vergangenen Unendlichkeit ($\mathscr{I}^-$) und der zukünftigen Unendlichkeit ($\mathscr{I}^+$)

Hawking betrachtete eine dynamische Raumzeit, in der ein Stern durch seine eigene Schwerkraft kollabiert und ein schwarzes Loch bildet. In dieser Raumzeit existieren der “Ort vergangener Null-Unendlichkeit (Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$)”, ein flacher asymptotischer Bereich, bevor der Kollaps beginnt, und der “Ort zukünftiger Null-Unendlichkeit (Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$)”, ein flacher asymptotischer Bereich nach der Bildung des schwarzen Lochs.

Die Modenfunktionen an der vergangenen Unendlichkeit $\mathscr{I}^-$ seien $f_k$, die entsprechenden Operatoren $\hat{a}_k, \hat{a}_k^\dagger$, und das durch Beobachter in der Vergangenheit definierte Vakuum sei $|0_{in}\rangle$. Die Modenfunktionen an der zukünftigen Unendlichkeit $\mathscr{I}^+$ seien $p_j$, die entsprechenden Operatoren $\hat{b}_j, \hat{b}_j^\dagger$, und das durch Beobachter in der Zukunft definierte Vakuum sei $|0_{out}\rangle$.

Da das Feld $\hat{\phi}$ in beiden Basen entwickelt werden kann, gilt die folgende Gleichung:

3. Bogoliubov-Transformation und Teilchenerzeugung

Da die beiden verschiedenen Mengen von Modenfunktionen $f_k$ und $p_j$ vollständige Systeme bilden, kann die eine als Linearkombination der anderen dargestellt werden.

Diese lineare Transformation ist die Bogoliubov-Transformation, und die Entwicklungskoeffizienten $\alpha_{jk}$ und $\beta_{jk}$ werden Bogoliubov-Koeffizienten genannt. Verwendet man diese, um den zukünftigen Vernichtungsoperator $\hat{b}_j$ durch die vergangenen Operatoren auszudrücken, erhält man:

Hieraus leitet sich eine entscheidende Tatsache ab. Angenommen, der Anfangszustand war das vergangene Vakuum $|0_{in}\rangle$ (d. h. anfangs gab es überhaupt keine Teilchen). In diesem Zustand berechnen wir den Erwartungswert der Anzahl der Teilchen mit der Wellenzahl $j$ (den Erwartungswert des Teilchenzahloperators $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$), den der Beobachter in der Zukunft messen wird.

Wenn $\beta_{jk} \neq 0$ ist, wird der künftige Beobachter feststellen, dass “Teilchen existieren”, obwohl der Anfangszustand ein Vakuum war! Die Fluktuation der Krümmung der Raumzeit (der Sternkollaps) machte $\beta_{jk}$ ungleich null und führte dazu, dass Teilchen aus dem Vakuum “erzeugt” wurden.

4. Logarithmische Phasenverzögerung (Rotverschiebung) durch den Ereignishorizont

Hawkings größte Leistung besteht darin, dieses $\beta_{jk}$ in der Raumzeit der Entstehung eines schwarzen Lochs durch geometrisches Raytracing spezifisch berechnet zu haben.

Betrachten wir den Prozess, bei dem ein Wellenpaket von der vergangenen Unendlichkeit $\mathscr{I}^-$ ausgeht, den kollabierenden Stern durchquert und die zukünftige Unendlichkeit $\mathscr{I}^+$ erreicht. Ein Lichtstrahl (Mode), der den Stern kurz vor der Bildung des Ereignishorizonts durchquerte, erfährt eine extreme Rotverschiebung, um gegen das starke Gravitationsfeld anzukämpfen.

Geometrische Berechnungen zeigen, dass sich die Phase der Welle zur Zeit $u$, wenn sie an der zukünftigen Unendlichkeit ankommt, logarithmisch verzögert, je näher die Zeit der Bildung des Ereignishorizonts rückt. Konkret gilt in der Nähe des Ereignishorizonts die folgende logarithmische Beziehung (eine Konsequenz der Raychaudhuri-Gleichung) zwischen der Zeit $v$ an der vergangenen Unendlichkeit und der Zeit $u$ an der zukünftigen Unendlichkeit:

Hierbei ist $v_0$ die Startzeit des Lichtstrahls, der den Ereignishorizont bildet, und $\kappa$ die Oberflächenschwerkraft (surface gravity) des schwarzen Lochs. Diese logarithmische Phasenverzögerung $e^{-\kappa u}$ dominiert entscheidend die Funktionsform von $\beta_{jk}$ über die Fourier-Transformation.

5. Herleitung des Planck-Spektrums und der Hawking-Temperatur

Die Bogoliubov-Koeffizienten $\alpha_{jk}$ und $\beta_{jk}$ werden mithilfe des inneren Produkts (Klein-Gordon-Skalarprodukt) berechnet. Führt man die Fourier-Transformation für eine Welle mit der oben genannten logarithmischen Phasenverzögerung aus und berechnet das Integral (wobei Gammafunktionen und komplexe Integration eingesetzt werden), lässt sich die folgende erstaunliche analytische Beziehung zwischen den Absolutbeträgen von $\alpha_{jk}$ und $\beta_{jk}$ ableiten:

Hierbei ist $\omega$ die Energie (Kreisfrequenz) des abgestrahlten Teilchens. Aus der Normierungsbedingung der Bogoliubov-Transformation (Erhaltung der Vertauschungsrelationen) folgt ferner, dass $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$. Kombiniert man diese beiden Gleichungen, um nach $|\beta_{jk}|^2$ aufzulösen, erhält man:

Dieses Ergebnis ist phänomenal. Die linke Seite stellt die Anzahl (Erwartungswert) der aus dem Vakuum erzeugten Teilchen dar, aber die rechte Seite hat genau die Form der thermischen Verteilung (Planck-Verteilung) der Bosonen, die von einem schwarzen Körper mit Temperatur $T$ ausgestrahlt werden!

Die Standardform der Planck-Verteilung ist $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$. Vergleicht man die Formeln, lässt sich sofort die Temperatur des schwarzen Lochs (Hawking-Temperatur $T_H$) ableiten:

Für ein Schwarzschild-Schwarzes-Loch ist die Oberflächenschwerkraft durch $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$ gegeben, und wenn man dies einsetzt, ergibt sich:

Damit wurde die Formel für die Hawking-Temperatur wunderbar abgeleitet. Hierin liegt die gesamte Größe von Hawkings furchteinflößender mathematischer Einsicht: Die extreme geometrische Rotverschiebung (logarithmische Phasenverzögerung), die durch den Ereignishorizont eines schwarzen Lochs verursacht wird, erzeugt aus einem reinen quantenmechanischen Anfangszustand einen perfekten thermischen Mischzustand (Planck-Verteilung). Diese verblüffende Berechnung ist ein Denkmal des menschlichen Intellekts, das Relativitätstheorie ($\kappa$), Quantenmechanik ($\hbar$) und Thermodynamik ($k_B$) in einer einzigen mathematischen Gleichung vereint.

Anhang B: Die Ryu-Takayanagi-Formel und die Tiefe der holografischen Verschränkungsentropie

Das Fundament der “Island-Formel”, die die Lösung des Informationsparadoxons durch die Reproduktion der Page-Kurve ermöglichte, ist die “Ryu-Takayanagi-Formel (Ryu-Takayanagi Formula)”, die aus der Superstringtheorie und der AdS/CFT-Korrespondenz hervorgegangen ist. Diese Formel gehört zu den wichtigsten Gleichungen der modernen Physik und verknüpft die Verschränkung der Quanteninformation direkt mit der Geometrie (Gravitation) der Raumzeit. Hier erläutern wir ausführlich ihr Konzept und ihren mathematischen Hintergrund.

1. Die Geometrisierung der Verschränkungsentropie

In der Quantenfeldtheorie ist das Maß für den Grad der Quantenverschränkung zwischen einem räumlichen Bereich $A$ und seinem äußeren Bereich $B$ die “Verschränkungsentropie (Von-Neumann-Entropie)” $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$. Dabei ist $\rho_A$ die reduzierte Dichtematrix des Bereichs $A$. In einer kontinuierlichen Quantenfeldtheorie mit Wechselwirkungen ist es jedoch extrem schwierig, die Verschränkungsentropie direkt zu berechnen, und man stößt häufig auf die Problematik der ultravioletten Divergenzen (Unendlichkeiten).

Im Jahr 2006 stellten Shinsei Ryu und Tadashi Takayanagi die bahnbrechende Vermutung (Formel) auf, dass man durch Nutzung des Rahmens der AdS/CFT-Korrespondenz die Verschränkungsentropie in der CFT auf dem Rand geometrisch als “Fläche einer Minimalfläche” im Bulk (im Inneren des AdS-Raums) berechnen kann.

Hierbei gilt:

• $S_A$ ist die Verschränkungsentropie des Bereichs $A$ in der CFT auf dem Rand.
• $\gamma_A$ ist eine $(d-1)$-dimensionale Minimalfläche (wie eine Seifenhaut), die in den Bulk-Raum hineinragt. Der Rand dieser Fläche muss mit dem Rand $\partial A$ des Bereichs $A$ auf der CFT übereinstimmen ($\partial \gamma_A = \partial A$).
• $G_N^{(d+1)}$ ist die $(d+1)$-dimensionale Newtonsche Konstante im Bulk-Raum.

Beim Betrachten der Form dieser Formel werden viele Leser ihre Überraschung nicht verbergen können. Diese Formel hat exakt dieselbe Struktur wie die in Kapitel 2 erläuterte Bekenstein-Hawking-Entropieformel $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$! Die thermodynamische Entropie des Ereignishorizonts eines schwarzen Lochs und die Verschränkungsentropie des Quantenfelds im Vakuumzustand wurden durch eine holografische Perspektive vollständig als geometrische Einheit namens “Fläche” integriert.

2. Minimalflächen und “Replica-Wurmlöcher”

Die Ryu-Takayanagi-Formel war zunächst eine auf Intuition und diversen Indizien basierende “Vermutung”, wurde jedoch später von Aaron Wall, Alexander Maloney, Juan Maldacena und anderen mathematisch rigoros bewiesen, und zwar durch eine gravitative Version (Replica-Wurmlöcher) des “Replica-Tricks (Replica Trick)” unter Verwendung von Pfadintegraldarstellungen der Quantengravitation.

Der Replica-Trick ist eine Methode zur Umgehung der direkten Berechnung von $\log \rho_A$, indem man die Spur der $n$-ten Potenz von $\rho_A$, $\text{Tr}(\rho_A^n)$, berechnet und am Ende den Limes $n \to 1$ nimmt.

Die Berechnung von $\text{Tr}(\rho_A^n)$ in der CFT entspricht der Berechnung der Verteilungsfunktion auf einer komplexen, mehrblättrigen Riemannschen Fläche, die durch Aufschneiden der ursprünglichen Raumzeit am Bereich $A$, der Erstellung von $n$ Kopien (Replikas) und deren anschließendes Zusammennähen entsteht. Gemäß der AdS/CFT-Korrespondenz sollte diese Verteilungsfunktion auf dem Rand gleich der Verteilungsfunktion der Gravitationstheorie im Bulk (Sattelpunktsnäherung der Wirkung) sein, die die Randbedingungen erfüllt.

Maldacena und Kollegen zeigten, dass bei der Auswertung des gravitativen Pfadintegrals im Bulk unter der Bedingung, dass der Rand aus $n$ Replica-Raumzeiten besteht, eine Lösung dominiert, bei der die $n$ Raumzeiten im Inneren des Bulks miteinander verbunden sind: ein “Wurmloch (Replica-Wurmloch)”. Und sie bewiesen rigoros, dass bei der Betrachtung des Limes $n \to 1$ die geometrische Rückwirkung dieses Wurmlochs genau als die “Minimalfläche $\gamma_A$” der Ryu-Takayanagi-Formel in Erscheinung tritt.

3. Quantenextremale Flächen (QES) und die Entstehung von Islands

Die Ryu-Takayanagi-Formel war eine Formel für den Fall, dass die Gravitation im Bulk-Raum klassisch ist (Quanteneffekte vernachlässigt werden können). Um Phänomene wie die Verdampfung schwarzer Löcher (Hawking-Strahlung) zu behandeln, bei denen Quanteneffekte eine essenzielle Rolle spielen, war eine Erweiterung dieser Formel erforderlich, die die quantenfeldtheoretischen Effekte im Bulk einbezieht. Dies war das Konzept der “quantenextremalen Flächen (Quantum Extremal Surface, QES)”, das 2014 von Netta Engelhardt und Aaron Wall vorgeschlagen wurde.

In der QES-Formel wird das zu minimierende Objekt nicht mehr nur durch die “Fläche”, sondern durch die generalisierte Entropie (Generalized Entropy) $S_{gen}$ ersetzt, die die Summe aus “Fläche + quantenmechanische Verschränkungsentropie im Bulk” darstellt.

Hierbei ist $X$ eine Fläche im Bulk, und $\Sigma_X$ ist der Bulk-Raum-Bereich, der von $X$ und dem Randbereich $A$ eingeschlossen wird. Man extremisiert (stationarisiert) diese generalisierte Entropie, findet die Fläche $X$ (das ist die QES), für die sie minimiert wird, und der dabei ermittelte Wert von $S_{gen}$ wird zur Entropie $S_A$ der CFT auf dem Rand.

Bei der Berechnung der Entropie der Hawking-Strahlung wird der äußere Bereich, in dem die Strahlung gesammelt wird, als $A$ definiert. In der Anfangsphase ist die QES eine triviale Fläche (Fläche null), und die Entropie steigt monoton an (Hawking-Kurve). Sobald jedoch die Page-Zeit überschritten ist, tritt “innerhalb” des Ereignishorizonts plötzlich eine nicht-triviale QES in Erscheinung, und es kommt zu einem dramatischen Phasenübergang, bei dem diese QES den kleineren (dominanten) Wert von $S_{gen}$ aufweist.

Der von dieser neuen QES umschlossene Bereich im Inneren des Horizonts ist genau die “Island (Insel)”. Wenn die Island erscheint, heben sich bei der Berechnung des Entropieterms im Bulk $S_{bulk}$ große Teile der Summe auf, da die Teilchen in der Island (die in das schwarze Loch gefallenen Teilchen) und die Hawking-Strahlung (die nach außen entkommenen Teilchen) stark verschränkt sind, was dazu führt, dass die Entropie zu sinken beginnt.

Dadurch wurde die von Don Page vorhergesagte Page-Kurve vollständig aus den Berechnungen der Gravitationstheorie abgeleitet. Die Lösung des Informationsparadoxons ging über eine bloße konzeptionelle Diskussion hinaus und wurde als exakte mathematische Formel unter Berücksichtigung nicht-störungstheoretischer topologischer Veränderungen der Quantengravitation, der sogenannten “Replica-Wurmlöcher”, bewiesen. Die Raumzeit entspringt der Quantenverschränkung, und die abgründigen Informationen schwarzer Löcher werden mit Gewissheit durch die unsichtbaren Fäden von Wurmlöchern ans Ende des Universums übermittelt.