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Das Richard-Paradoxon: Der Widerspruch, der durch unendliche Dezimalzahlen und das "Diagonalargument" entsteht

Thu, 10 Sep 2026 12:00:00 +0900

1. Eine Liste von Zahlen, die durch Worte definiert werden können

Das “Richard-Paradoxon”, das 1905 vom französischen Mathematiker Jules Richard veröffentlicht wurde, ist so etwas wie ein Verwandter des zuvor vorgestellten “Berry-Paradoxons”. Es ist jedoch mathematischer und birgt einen tieferen Widerspruch, der einen Blick in die Unendlichkeit wirft.

Stellen Sie sich zunächst vor, wir sammeln “alle reellen Zahlen (Dezimalzahlen) zwischen 0 und 1, die in der deutschen Sprache vollständig definiert werden können”.

Dies wären zum Beispiel folgende Zahlen:

“Null Komma fünf” $\rightarrow$ $0.5$
“Ein Drittel” $\rightarrow$ $0.333333...$
“Die Zahl, die aus den Ziffern der Kreiszahl Pi nach dem Komma besteht” $\rightarrow$ $0.14159265...$

Da die Kombinationen von Sätzen, die im Deutschen ausgedrückt werden können, nur aus dem Aneinanderreihen von Buchstaben aus dem Wörterbuch bestehen, können sie in eine “Reihenfolge” gebracht werden. (Zum Beispiel ordnet man sie nach der Anzahl der Buchstaben und bei gleicher Buchstabenanzahl alphabetisch.)

Auf diese Weise konnten wir allen “reellen Zahlen, die im Deutschen definiert werden können”, eine erste, zweite, dritte… und somit unendlich weitergehende Nummerierung (Liste) zuweisen.

$$ \begin{align*} r_1 &= 0.\mathbf{3}333... \\ r_2 &= 0.5\mathbf{0}00... \\ r_3 &= 0.14\mathbf{1}5... \\ r_4 &= 0.777\mathbf{7}... \\ &\vdots \end{align*} $$

In dieser Liste sollten “alle reellen Zahlen, die in der deutschen Sprache definiert werden können”, ohne Ausnahme perfekt abgedeckt sein.

2. Die teuflische Technik: Das “Diagonalargument”

Hier wendet Richard eine beängstigende Operation an. Er erschafft künstlich eine “völlig neue Zahl $X$”, die so konstruiert ist, dass sie sich von allen Zahlen in der Liste unterscheidet.

Die Erstellung ist einfach:

Schauen Sie sich die erste Nachkommastelle der ersten Zahl in der Liste an (im obigen Beispiel $3$). Addieren Sie $1$ dazu und machen Sie dies zur ersten Nachkommastelle von $X$ ($3+1=4$).
Schauen Sie sich die zweite Nachkommastelle der zweiten Zahl in der Liste an (im obigen Beispiel $0$). Addieren Sie $1$ dazu und machen Sie dies zur zweiten Nachkommastelle von $X$ ($0+1=1$).
Schauen Sie sich die dritte Nachkommastelle der dritten Zahl in der Liste an (im obigen Beispiel $1$). Addieren Sie $1$ dazu und machen Sie dies zur dritten Nachkommastelle von $X$ ($1+1=2$).

※Wenn die ursprüngliche Ziffer eine $9$ ist, nehmen wir an, dass sie auf $0$ zurückkehrt.

Die nach dieser Methode erstellte neue Zahl $X$ (im obigen Beispiel $X = 0.4128...$) wird absolut nicht mit irgendeiner Zahl in der Liste übereinstimmen. Der Grund dafür ist, dass die $n$-te Ziffer nach dem Komma absichtlich gegenüber der $n$-ten Zahl verschoben wurde. (Diese Methode wird als “Diagonalargument” bezeichnet, das vom genialen Mathematiker Georg Cantor erfunden wurde, um die unendliche Größe der reellen Zahlen zu beweisen.)

3. Die Vollendung des Richard-Paradoxons

Nun, hier beginnt das Paradoxon.

Wir haben gerade eine neue Zahl $X$ erschaffen. Und die “Regel”, um dieses $X$ zu erschaffen, wird durch die deutschen Sätze, die ich gerade oben geschrieben habe, perfekt erklärt (definiert).

Das bedeutet, dass $X$ eine “reelle Zahl ist, die im Deutschen definiert werden kann”.

Aber erinnern Sie sich an die anfängliche Prämisse. “Reelle Zahlen, die im Deutschen definiert werden können”, sollten alle in der anfänglichen Liste ($r_1, r_2, r_3...$) enthalten sein. Trotzdem wurde $X$ so konstruiert, dass es mit keiner Zahl in der Liste übereinstimmt.

$X$ muss in der Liste existieren (weil es im Deutschen definiert wurde).
$X$ darf nicht in der Liste existieren (weil es durch das Diagonalargument so konstruiert wurde, dass es sich von allen Zahlen in der Liste unterscheidet).

Ein perfekter Widerspruch! Das ist das Richard-Paradoxon.

4. Warum brach die Logik zusammen? (Die Falle der Metasprache)

Die Ursache für die Entstehung dieses Paradoxons liegt, genau wie beim Berry-Paradoxon, in der Verwechslung der “Sprachhierarchien”.

Um Mathematik streng zu betreiben, muss man klar zwischen der “Liste der Zielzahlen (Objektsprache)” und den “Regeln, die von außen über die Eigenschaften dieser Liste sprechen (Metasprache)” unterscheiden.

Richards Liste ist eine Sammlung von “Definitionen berechenbarer Zahlen”. Die Regel “Betrachte die $n$-te Ziffer der $n$-ten Zahl der Liste”, um die neue Zahl $X$ zu erschaffen, ist jedoch eine Operation in der “Metasprache”, die nicht ausgeführt werden kann, ohne die Liste von außen zu betrachten.

Das Richard-Paradoxon explodierte in einem Selbstwiderspruch, weil es versuchte, die “metasprachliche Zahl $X$, die durch Manipulation der Liste von außen erstellt wurde”, heimlich in die “innere Liste” einzuschmuggeln.

5. Staffelübergabe an Gödel

Dieses Richard-Paradoxon löste in der damaligen mathematischen Welt einen großen Schock aus. “Menschliche Worte (und logische Systeme) führen schnell zu Selbstwidersprüchen, wenn man nicht aufpasst. Wie kann man die Mathematik perfekt und widerspruchsfrei machen?”

Im Jahr 1931 löste der junge und brillante Mathematiker Kurt Gödel im Alter von 25 Jahren dieses Problem endgültig. Gödel übersetzte und reproduzierte die Struktur dieses Paradoxons, das Richard unter Ausnutzung der “Mehrdeutigkeit der Sprache” ausgelöst hatte, perfekt mithilfe von “strengen mathematischen Formeln (Gödelnummern)”.

Das Ergebnis war der berühmte “Gödelsche Unvollständigkeitssatz”. Es war eine großartige Entdeckung, die die Grenzen des menschlichen Wissens bewies: “Egal wie streng man mathematische Regeln aufstellt, es wird innerhalb dieser Regeln immer eine ‘Wahrheit geben, die weder bewiesen noch widerlegt werden kann’ (die Mathematik ist unvollständig)”.

Das Richard-Paradoxon begann als bloßes widersprüchliches Wortspiel und entwickelte sich schließlich zur stärksten Waffe, um die “Absolutheit” der Mathematik als Wissenschaft zu erschüttern.

Hilberts Hotel: Wie man in einem voll besetzten Hotel unendlich viele weitere Gäste unterbringt

Thu, 10 Sep 2026 06:00:00 +0900

1. Willkommen im ultimativen Hotel

Der große deutsche Mathematiker David Hilbert hat folgendes interessantes Gedankenexperiment erfunden, um zu veranschaulichen, wie weit das Konzept der “Unendlichkeit” von der menschlichen Intuition entfernt ist.

Stellen Sie sich vor: Irgendwo im Universum gibt es “Hilberts unendliches Hotel”. In diesem Hotel gibt es unendlich viele nummerierte Zimmer, also Zimmer 1, Zimmer 2, Zimmer 3, und so weiter.

Eines Tages gab es ein riesiges Ereignis im gesamten Universum, und dieses unendliche Hotel war völlig “ausgebucht”, jedes Zimmer war belegt. Da kam ein völlig erschöpfter Reisender an und fragte an der Rezeption: “Könnten Sie ein Zimmer für mich freimachen?”

Ein normales Hotel müsste ablehnen: “Es tut uns leid, wir sind ausgebucht.” Aber dies ist ein unendliches Hotel. Der Manager lächelte und sagte: “Natürlich, wir bereiten sofort ein Zimmer für Sie vor.” Wie kann man neue Gäste unterbringen, wenn das Hotel doch voll ist?

2. Fall 1: Wie man einen einzigen neuen Gast unterbringt

Der Manager machte über die Lautsprecheranlage des Hotels folgende Ansage an alle bereits eingecheckten Gäste:

“Liebe Gäste, bitte wechseln Sie in das Zimmer mit der Nummer, die sich ergibt, wenn Sie zu Ihrer aktuellen Zimmernummer ‘plus 1’ addieren.”

Was passiert dann?

Der Gast in Zimmer 1 zieht in Zimmer 2 um.
Der Gast in Zimmer 2 zieht in Zimmer 3 um.
Der Gast in Zimmer 3 zieht in Zimmer 4 um.
Der Gast in Zimmer $n$ zieht in Zimmer $n+1$ um.

graph LR subgraph "Vor dem Umzug (Ausgebucht)" R1["Zimmer 1
(Gast A)"] R2["Zimmer 2
(Gast B)"] R3["Zimmer 3
(Gast C)"] R4["..."] end subgraph "Nach dem Umzug" NewR1["Zimmer 1
(Frei!)"] NewR2["Zimmer 2
(Gast A)"] NewR3["Zimmer 3
(Gast B)"] NewR4["Zimmer 4
(Gast C)"] end R1 -->|Umzug| NewR2 R2 -->|Umzug| NewR3 R3 -->|Umzug| NewR4 NewGuest["Neuer Gast"] -->|Check-in| NewR1 style NewR1 fill:#aaffaa,stroke:#333,stroke-width:2px style NewGuest fill:#ffaaaa,stroke:#333,stroke-width:2px

Da es unendlich viele Zimmer gibt, wird der Gast im “letzten Zimmer” nie hinausgeworfen – es gibt kein letztes Zimmer. Jeder kann problemlos in das Zimmer nebenan umziehen. Und siehe da, Zimmer 1 ist frei geworden. Der neue Reisende konnte erfolgreich in Zimmer 1 einziehen.

In der Welt der Unendlichkeit gilt $\infty + 1 = \infty$. Wenn man “eins” aus der “Gesamtheit (Unendlichkeit)” herausnimmt (bzw. ihr hinzufügt), ändert sich die Größe der Gesamtheit nicht.

3. Fall 2: Wie man unendlich viele neue Gäste unterbringt

Nun, am nächsten Tag. Das Hotel ist wieder komplett belegt. Da kommt doch tatsächlich ein unendlicher Bus mit “unendlich vielen Passagieren” an. Die Gäste steigen aus dem Bus und drängen an die Rezeption: “Bereiten Sie Zimmer für uns alle vor!”

Wenn wir wie gestern um “plus 1” bitten würden, würde es ewig dauern. Der Manager gerät jedoch nicht in Panik. Er machte erneut eine Ansage über die Lautsprecheranlage.

“Liebe Gäste, bitte wechseln Sie in das Zimmer mit der Nummer, die dem ‘Doppelten’ Ihrer aktuellen Zimmernummer entspricht.”

Was passiert dann?

Der Gast in Zimmer 1 zieht in Zimmer 2 um.
Der Gast in Zimmer 2 zieht in Zimmer 4 um.
Der Gast in Zimmer 3 zieht in Zimmer 6 um.
Der Gast in Zimmer $n$ zieht in Zimmer $2n$ um.

Durch diesen Umzug passten die unendlich vielen Gäste, die bereits übernachtet hatten, ordentlich in “alle Zimmer mit geraden Nummern”. Und wie durch ein Wunder wurden “alle Zimmer mit ungeraden Nummern (Zimmer 1, Zimmer 3, Zimmer 5…)” vollständig leer!

Da es auch unendlich viele ungerade Zahlen gibt, kann der Manager die Fahrgäste des unendlichen Busses vom ersten bis zum letzten auf die Zimmer 1, 3, 5 usw. verteilen, sodass alle untergebracht sind.

In der Welt der Unendlichkeit gilt $\infty + \infty = \infty$. Auch wenn man zur Unendlichkeit noch einmal Unendlichkeit hinzufügt, bleibt die Größe immer noch dieselbe “Unendlichkeit”.

4. Fall 3: Was passiert, wenn unendlich viele unendliche Busse ankommen?

Wieder ein Tag später. Wieder einmal ist das Hotel ausgebucht. Da kommen doch tatsächlich “unendlich viele unendliche Busse mit unendlich vielen Passagieren” hintereinander an.

Unendlich viele Menschen im Bus Nr. 1, unendlich viele Menschen im Bus Nr. 2, unendlich viele Menschen im Bus Nr. 3… das geht bis in die Unendlichkeit so weiter. Da würde wahrscheinlich sogar der Manager in Panik geraten, aber er war ein mathematisches Genie. Er kam auf die Idee, “Primzahlen” zu verwenden.

Der Manager gab folgende Anweisungen:

Umzug der Gäste, die bereits im Hotel übernachten Wenn die aktuelle Zimmernummer $n$ ist, werden sie gebeten, in Zimmer “$2^n$” umzuziehen. (Zimmer 1 $\rightarrow$ Zimmer 2, Zimmer 2 $\rightarrow$ Zimmer 4, Zimmer 3 $\rightarrow$ Zimmer 8…) Damit sind alle aktuellen Gäste untergebracht.
Unterbringung der Gäste (unendlich viele) aus Bus 1 Wenn die Sitzplatznummer des Gastes $n$ ist, wird er in Zimmer “$3^n$” untergebracht. (Zimmer 3, Zimmer 9, Zimmer 27…)
Unterbringung der Gäste (unendlich viele) aus Bus 2 Wir verwenden die nächste Primzahl, nämlich 5, und bringen sie in Zimmer “$5^n$” unter. (Zimmer 5, Zimmer 25, Zimmer 125…)
Unterbringung der Gäste (unendlich viele) aus Bus $k$ Wir verwenden die $k+1$-te Primzahl $P$ und bringen sie in Zimmer “$P^n$” unter.

Durch das mächtige mathematische Theorem der “Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung” (jede Zahl lässt sich nur auf eine einzige Weise in ein Produkt von Primzahlen zerlegen) ist absolut ausgeschlossen, dass sich die Zimmernummern $2^n, 3^n, 5^n, 7^n \dots$ mit denen von jemand anderem überschneiden.

Auf diese Weise hat der Manager die ungeheure Anzahl von “unendlich $\times$ unendlich” Gästen brillant in einem einzigen unendlichen Hotel untergebracht!

5. Unendlichkeiten haben verschiedene “Größen” (Satz von Cantor)

Hilberts unendliches Hotel lehrt uns die Tatsache, dass die “abzählbare Unendlichkeit” (eine Unendlichkeit, die man mit 1, 2, 3… nummerieren und zählen kann), egal wie oft man sie addiert oder multipliziert, letztendlich immer in den Rahmen derselben “abzählbaren Unendlichkeit” passt.

Der Mathematiker Georg Cantor entdeckte jedoch eine noch erschreckendere Tatsache. “Natürliche Zahlen” und “Brüche” können alle in diesem unendlichen Hotel untergebracht werden. Aber wenn Gäste in Form von “reellen Zahlen (alle Dezimalzahlen einschließlich irrationaler Zahlen)” ankommen, können absolut nicht alle in diesem unendlichen Hotel untergebracht werden.

Es ist bewiesen, dass die Menge der reellen Zahlen grundlegend eine “größere (höherstufige) Unendlichkeit” ist als die Anzahl der Zimmer im unendlichen Hotel (abzählbare Unendlichkeit). Oft wird alles unter dem Begriff “Unendlichkeit” zusammengefasst, aber in Wirklichkeit gibt es innerhalb der Unendlichkeit eine hierarchische Struktur (Mächtigkeit): von der “kleinen Unendlichkeit” bis hin zur “absolut unerreichbaren, großen Unendlichkeit”.

6. Fazit: Die “Unendlichkeit”, die unsere menschliche Intuition zerstört

Hilberts unendliches Hotel zeigt auf brillante Weise, dass unser “endlicher gesunder Menschenverstand”, den wir in unserem täglichen Leben entwickelt haben, in der “unendlichen Welt” einfach nicht funktioniert.

“Das Ganze ist größer als seine Teile” “Niemand kann ein voll belegtes Hotel betreten” “Wenn man unendlich zu unendlich addiert, wird es noch größer”

Alle diese selbstverständlichen Intuitionen werden auf wunderbare Weise widerlegt. Die unendliche Welt ist eine Schatztruhe voller Paradoxien (Wahrheiten, die der Intuition widersprechen). Mathematiker haben diese Paradoxien nicht gefürchtet, sondern sie mit der Kraft der Logik bezwungen, klassifiziert und das wunderschöne System der modernen Mengenlehre geschaffen.

Wenn man Ihnen das nächste Mal absagt mit den Worten “Das Hotel ist ausgebucht”, stellen Sie sich doch einfach vor: “Was wäre, wenn dieses Hotel Hilberts unendliches Hotel wäre?”

Banach-Tarski-Paradoxon: Aus einer zerschnittenen Kugel zwei gleich große Kugeln machen?

Thu, 10 Sep 2026 02:00:00 +0900

1. Ein magischer Satz: 1 = 1 + 1 ?

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Kugel aus reinem Gold vor sich. Sie zerschneiden diese Kugel mit einem Messer in mehrere Teile. Dann setzen Sie diese Teile wie bei einem Puzzle wieder zusammen. Dabei werden die Teile weder gedehnt, noch verbogen, noch wird neues Gold hinzugefügt. Sie werden nur bewegt und zusammengefügt.

Wenn Sie das Puzzle jedoch betrachten, stellen Sie fest, dass „zwei Kugeln aus reinem Gold entstanden sind, die exakt dieselbe Größe wie die ursprüngliche Kugel haben“.

„Das ist doch Unsinn! Das verstößt gegen das Gesetz der Massenerhaltung und ist die Wahnvorstellung eines Alchemisten!“, denken Sie vielleicht. In der realen physikalischen Welt ist dies absolut unmöglich. In der Welt der reinen Mathematik (Geometrie und Mengenlehre) ist dies jedoch als ein logisch zu 100 % korrekter Satz bewiesen.

Dies ist das „Banach-Tarski-Paradoxon“, das 1924 von den beiden Mathematikern Stefan Banach und Alfred Tarski bewiesen wurde.

2. Die Aussage des Paradoxons genau verstehen

Der von Banach und Tarski bewiesene Satz lässt sich in mathematisch präzisen Worten wie folgt ausdrücken:

Der Satz von Banach-Tarski Jede beliebige Kugel $S$ im dreidimensionalen Raum kann in eine endliche Anzahl von Fragmenten zerlegt werden. Durch bloßes Neuarrangieren dieser Fragmente (nur durch Rotation und Translation) können zwei Kugeln gebildet werden, die exakt denselben Radius wie die ursprüngliche Kugel $S$ haben.

Noch erstaunlicher ist, dass man bei Anwendung dieses Satzes auch Folgendes behaupten kann:

Man kann eine einzige Erbse in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegen und durch Neuzusammensetzen eine Kugel von exakt der Größe der Sonne erschaffen. (Auch bekannt als das Erbsen-und-Sonnen-Paradoxon)

Warum ist solch eine magische Sache mathematisch zulässig? Das Geheimnis verbirgt sich in zwei Schlüsselbegriffen: „Unendlichkeit“ und „Auswahlaxiom“.

3. Die wundersame Eigenschaft der „Unendlichkeit“

Der erste Schritt zum Verständnis dieses Paradoxons besteht darin, die seltsamen Eigenschaften „unendlicher Mengen“ zu kennen.

In der „endlichen“ Welt, in der wir normalerweise operieren, ist das Ganze immer größer als seine Teile. Wenn Sie beispielsweise aus den Zahlen von 1 bis 10 (10 Zahlen) die geraden Zahlen (5 Zahlen) herausnehmen, halbiert sich die Anzahl.

In der Welt der „Unendlichkeit“ gilt dieser gesunde Menschenverstand jedoch nicht. Was gibt es mehr: alle „natürlichen Zahlen“ (1, 2, 3, 4, …) oder alle „geraden Zahlen“ (2, 4, 6, 8, …)? Intuitiv scheint es, als gäbe es mehr natürliche Zahlen, da die geraden Zahlen nur die Hälfte der natürlichen Zahlen ausmachen. Aber versuchen Sie, wie folgt Paare zu bilden:

1 $\rightarrow$ 2
2 $\rightarrow$ 4
3 $\rightarrow$ 6
$n \rightarrow 2n$

Auf diese Weise kann jede natürliche Zahl genau einer verdoppelten geraden Zahl zugeordnet werden (Eins-zu-eins-Zuordnung bzw. Bijektion). Es bleiben keine Zahlen übrig. Das bedeutet mathematisch gesehen: „Die Anzahl der natürlichen Zahlen (unendlich)“ und „die Anzahl der geraden Zahlen (unendlich)“ sind exakt gleich groß!

Obwohl wir die Hälfte (die geraden Zahlen) aus dem Ganzen (den natürlichen Zahlen) herausgenommen haben, hat sich die Größe nicht verändert. Bei unendlichen Mengen kann es passieren, dass „ein Teil dem Ganzen entspricht“. Der Satz von Banach-Tarski ist die ultimative Form dieser „Magie der Unendlichkeit“, angewandt auf die Menge der „Punkte“ im dreidimensionalen Raum.

4. Raumpunkte werden „nicht-messbar“ zerschnitten

Wenn man einen realen Gegenstand (wie Gold oder einen Apfel) mit einem Messer zerschneidet, haben die Teile immer ein „Volumen“. Eine Kugel in der Mathematik ist jedoch eine „Ansammlung von unendlich vielen Punkten“, die an sich kein Volumen haben.

Banach und Tarski haben diese unendlich vielen Punkte auf eine sehr spezielle und komplexe Weise in Gruppen unterteilt (zerlegt). Diese Aufteilung ist so komplex und verstreut, dass man das „Volumen nicht mehr messen kann“ (sie werden zu nicht-messbaren Mengen).

graph TD S["Ursprüngliche Kugel S (Volumen V)"] -->|Spezielle Zerlegung| P1["Fragment 1 (Volumen unmessbar)"] S --> P2["Fragment 2 (Volumen unmessbar)"] S --> P3["Fragment 3 (Volumen unmessbar)"] S --> P4["Fragment 4 (Volumen unmessbar)"] S --> P5["Fragment 5 (Volumen unmessbar)"] P1 -->|Rotation und Verschiebung| S1["Neue Kugel 1 (Volumen V)"] P2 -->|Rotation und Verschiebung| S1 P3 -->|Rotation und Verschiebung| S1 P4 -->|Rotation und Verschiebung| S2["Neue Kugel 2 (Volumen V)"] P5 -->|Rotation und Verschiebung| S2 style S fill:#ffddaa,stroke:#333,stroke-width:2px style S1 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px style S2 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px

Sobald jedes Teil zu einer unbestimmten Ansammlung von Punkten wird, die „kein Volumen haben (nicht messbar sind)“, können wir uns von der physikalischen Regel (der Additivität des Maßes) befreien, die besagt: „Wenn man die Teile zusammenzählt, muss das Ergebnis gleich dem ursprünglichen Volumen sein.“

Wenn man dann diese Teile aus unbestimmten Punkten geschickt dreht und zusammensetzt, sorgt die „Magie der Unendlichkeit“ dafür, dass zwei Kugeln entstehen, die exakt dieselben dicht gepackten Punkte wie die ursprüngliche Kugel enthalten. Tatsächlich wurde bewiesen, dass diese Operation „aus einer Kugel zwei Kugeln machen“ möglich ist, indem man die ursprüngliche Kugel in nur 5 Teile zerlegt.

5. Die Ursache von allem: Was ist das „Auswahlaxiom“?

Aber warum ist eine „Zerlegung, die so komplex ist, dass das Volumen nicht gemessen werden kann“, mathematisch überhaupt möglich? Das liegt daran, dass die moderne Mathematik das „Auswahlaxiom“ (Axiom of Choice) als Regel anerkennt, welches ihre Grundlage bildet.

Grob gesagt ist das Auswahlaxiom folgende Regel:

Die Idee des Auswahlaxioms Wenn man viele Kisten hat, in denen sich jeweils Gegenstände befinden, ist es erlaubt, „aus jeder Kiste genau einen Gegenstand auszuwählen, um ein neues Set (eine neue Menge) zu bilden“.

Wenn die Anzahl der Kisten endlich ist, kann das jeder problemlos tun. Wenn die Anzahl der Kisten jedoch „unendlich“ ist, kann kein Mensch die Operation des „einzelnen Auswählens“ unendlich oft durchführen und jemals abschließen. Dennoch erlaubt das Auswahlaxiom zu sagen: „Wir können annehmen, dass ein so ausgewähltes Set existiert.“

Dieses Axiom war äußerst nützlich und unverzichtbar für den Aufbau der modernen Mathematik. Die meisten Mathematiker akzeptierten diese Regel und dachten: „Nun, das ist ja selbstverständlich.“

Wenn man dieses Auswahlaxiom jedoch anerkennt, muss man auch die Existenz von „Mengen aus unbestimmten Punkten, die so verstreut sind, dass ihr Volumen nicht gemessen werden kann (nicht-messbare Mengen)“, anerkennen. Und als logische Konsequenz daraus ergibt sich unweigerlich der Satz von Banach-Tarski, dass „aus einer Kugel zwei werden“.

6. Zusammenfassung: Eine Welt jenseits der Intuition, die die Mathematik zeichnet

Das Banach-Tarski-Paradoxon ist kein Paradoxon (Widerspruch) in dem Sinne, dass „die Logik einen Widerspruch enthält“. Es ist ein Paradoxon in dem Sinne, dass die Logik zu 100 % korrekt ist, die daraus gezogene Schlussfolgerung jedoch massiv der menschlichen Intuition und den Gesetzen der Physik widerspricht.

Als dieser Satz veröffentlicht wurde, argumentierten einige Mathematiker: „Wenn solch eine absurde Schlussfolgerung dabei herauskommt, muss das Auswahlaxiom falsch sein!“ Heutzutage akzeptieren die meisten Mathematiker jedoch das Auswahlaxiom und betrachten den Satz von Banach-Tarski als „eine seltsame, aber wunderschöne Eigenschaft, die der dreidimensionale Raum und unendliche Mengen besitzen“.

Da die physikalische Welt, in der wir leben, aus Atomen, also „Körnern mit einer bestimmten Größe (endlich)“, besteht, ist es unmöglich, eine Erbse auf die Größe der Sonne zu vergrößern. Auf der Leinwand der „Mathematik“, die vom menschlichen Gehirn erschaffen wurde, ist die Größe eines Punktes jedoch null, und unendliche Operationen sind erlaubt.

Das Banach-Tarski-Paradoxon kann als eines der größten Meisterwerke der modernen Mathematik angesehen werden. Es lehrt uns, wie leichtfertig das Konzept der „Unendlichkeit“ über die einfache Intuition des Menschen hinausgeht.