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【Komplette Anatomie】Den stärksten Kryptographie-Knack-Algorithmus „GNFS“ in C++ implementieren und verstehen

Sat, 05 Sep 2026 13:04:59 +0900

【Komplette Anatomie】Den stärksten Kryptographie-Knack-Algorithmus „GNFS“ in C++ implementieren und verstehen

Die “RSA-Verschlüsselung”, die das heutige Internet grundlegend stützt. Ihre Robustheit beruht auf der mathematischen Überzeugung, dass “es für heutige Computer praktisch unmöglich ist, gigantische zusammengesetzte Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen”.

Aber die Menschheit hat nie aufgegeben. Gegenwärtig gibt es für klassische Computer (normale Computer, keine Quantencomputer) den ** stärksten und fortschrittlichsten Algorithmus der Menschheit ** zur Durchführung riesiger Primfaktorzerlegungen. Das ist das ** “General Number Field Sieve (GNFS, Allgemeines Zahlkörpersieb)” **.

In diesem Artikel werden wir den gesamten Quellcode einer streng modellierten Implementierung der hochmodernen Berechnungslogik von GNFS in C++ (unter Verwendung von boost::multiprecision für Multipräzisions-Ganzzahlen aus der Boost-Bibliothek) veröffentlichen und die Tiefen der “algebraischen Zahlentheorie”, die dahinter steckt, gründlich erklären.

Bitte genießen Sie das Mysterium der Mathematik und die rohe Kraft der Informatik, die es bezwingt, zusammen mit dem Quellcode.

1. GNFS State-of-the-Art Logik-Framework (Gesamter Quellcode)

Zunächst zeigen wir das vollständige Bild der GNFS-C++-Implementierung, die wir diesmal erläutern. Das eigentliche Zahlkörpersieb (wie CADO-NFS) ist ein riesiges verteiltes System, das in die Hunderttausende von Zeilen geht, aber dieser Code extrahiert die ** “5 wesentlichen Pipelines (Phasen)” ** , die GNFS ausmachen, entwirft sie als Klassen und modelliert sie in einer Minimalkonfiguration, ohne die mathematische Bedeutung zu verlieren.

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <chrono>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

// Multipräzisions-Ganzzahlen von Boost.Multiprecision verwenden
using namespace boost::multiprecision;

// ============================================================================
// [SOTA GNFS] General Number Field Sieve (Allgemeines Zahlkörpersieb) State-of-the-Art Logik-Framework
//
// Dieser Code ist eine strikte Modellierung der 5 Pipelines des hochmodernen GNFS,
// wie es in CADO-NFS usw. verwendet wird, als C++ (Boost) Klassendesign.
// ============================================================================

struct Relation {
 int64_t a;
 int64_t b;
 std::vector<uint32_t> rational_primes;
 std::vector<uint32_t> algebraic_primes;
};

// ============================================================================
// Phase 1: Polynomial Selection (KleinJung Algorithmus)
// ============================================================================
class PolynomialSelector {
public:
 int degree;
 std::vector<cpp_int> f; // Polynom der algebraischen Seite f(x)
 std::vector<cpp_int> g; // Polynom der rationalen Seite g(x) = x - m
 cpp_int m;

 PolynomialSelector(int d) : degree(d) {}

 // Generierung des Initialpolynoms basierend auf der base-m Entwicklung (tatsächlich wird eine fortgeschrittenere Gitterbasisreduktion LLL verwendet)
 void select(const cpp_int& N) {
 std::cout << "[Phase 1] Polynomial Selection (Degree " << degree << ") starting..." << std::endl;
 // Einfache base-m Entwicklung (Grad d)
 // m = N^(1/d)
 cpp_int N_copy = N;
 m = 1;
 // Einfache Näherung für m (Näherung ohne Verwendung von Boost-Funktionen)
 cpp_int low = 1, high = N;
 while (low <= high) {
 cpp_int mid = low + (high - low) / 2;
 cpp_int p = 1;
 for(int i=0; i<degree; ++i) p *= mid;
 if (p <= N) { m = mid; low = mid + 1; }
 else { high = mid - 1; }
 }

 f.resize(degree + 1);
 cpp_int temp = N;
 for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
 f[i] = temp % m;
 temp /= m;
 }

 g = {-m, 1}; // g(x) = x - m

 std::cout << " -> m = " << m << std::endl;
 std::cout << " -> f(x) = ";
 for(int i = degree; i >= 0; --i) {
 std::cout << f[i] << "x^" << i << (i > 0 ? " + " : "");
 }
 std::cout << "\n[Phase 1] Complete." << std::endl;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 2: Lattice Sieving (Gittersieb)
// ============================================================================
// Aktuelle GNFS verwenden anstelle des Line Sieve (Liniensieb) das Special-q Lattice Sieving
// (Spezielles q-Gittersieb) von Franke, Kleinjung et al. als De-facto-Standard.
class LatticeSieve {
 uint32_t rational_bound;
 uint32_t algebraic_bound;
 std::vector<uint32_t> rational_fb;
 std::vector<uint32_t> algebraic_fb;

public:
 LatticeSieve(uint32_t rb, uint32_t ab) : rational_bound(rb), algebraic_bound(ab) {}

 void generate_factor_bases() {
 std::cout << "[Phase 2] Generating Factor Bases (Rational Bound: " << rational_bound << ", Algebraic Bound: " << algebraic_bound << ")" << std::endl;
 // (Ausgelassen) In Wirklichkeit werden Primzahlen generiert und mit Legendre-Symbolen etc. gefiltert
 }

 std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
 std::cout << "[Phase 2] Special-q Lattice Sieving active..." << std::endl;
 std::vector<Relation> relations;
 // Mock-Implementierung: Das tatsächliche Gittersieb scannt blockweise Hunderte von GB an Speicherraum,
 // ordnet (a, b) Paare Gittern pro spezieller Primzahl q (a = i*q + j*...) zu
 // und führt ein Sieben mit maximaler Cache-Effizienz aus.

 // Füge zu Demonstrationszwecken eine Dummy-Relation hinzu
 Relation r; r.a = 17; r.b = 3;
 r.rational_primes = {2, 5};
 r.algebraic_primes = {3, 7};
 relations.push_back(r);

 std::cout << "[Phase 2] Found " << relations.size() << " relations." << std::endl;
 return relations;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 3: Filtering (Singularitäten bereinigen und Cliquen zusammenführen)
// ============================================================================
class Filter {
public:
 void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
 std::cout << "[Phase 3] Filtering Relations..." << std::endl;
 // 1. Singleton removal (Löschen von Relationen mit Primzahlen, die nur einmal vorkommen)
 // 2. Clique merging (Zusammenführen von Relationen, um spärliche Matrizen dicht zu machen)
 // In der Praxis werden hunderte Millionen von Zeilen mit Union-Find-Algorithmen usw. auf einige Millionen komprimiert.
 std::cout << "[Phase 3] Matrix size reduced optimally." << std::endl;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 4: Linear Algebra over GF(2) (Block Wiedemann Methode)
// ============================================================================
class LinearAlgebraGF2 {
public:
 // In neueren Supercomputer-Umgebungen wird die für verteiltes Rechnen besser geeignete
 // Block Wiedemann Methode (Coppersmith-Implementierung) anstelle der Block Lanczos Methode als State-of-the-Art eingesetzt.
 std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
 std::cout << "[Phase 4] Block Wiedemann algorithm over GF(2) starting..." << std::endl;
 // Iteriert das Produkt von spärlichen Matrizen (Sparse Matrix) und Vektoren,
 // und findet mehrere Lösungsvektoren (Kerne), für die M * x = 0 mod 2 gilt.

 std::vector<std::vector<int>> dependencies; // Liste der Abhängigkeiten
 // Dummy-Daten
 dependencies.push_back({0});

 std::cout << "[Phase 4] Found " << dependencies.size() << " linear dependencies (perfect squares)." << std::endl;
 return dependencies;
 }
};

// ============================================================================
// Phase 5: Algebraic Square Root (Algebraische Quadratwurzel)
// ============================================================================
class AlgebraicSquareRoot {
public:
 void compute_and_factor(const std::vector<Relation>& relations, const std::vector<int>& dep, const cpp_int& N) {
 std::cout << "[Phase 5] Algebraic Square Root computation..." << std::endl;

 // 1. Berechnung der Quadratwurzel V der rationalen Seite (einfache Ganzzahlarithmetik)
 cpp_int V = 1;
 // V = sqrt( prod(a - bm) ) mod N

 // 2. Berechnung der Quadratwurzel gamma der algebraischen Seite (Montgomery's Methode etc.)
 // Findet das Element gamma des riesigen algebraischen Körpers O_K und bildet es mit dem Homomorphismus phi auf die reale Welt ab
 // Y = phi(gamma) mod N
 cpp_int Y = 1;

 // Es wird vorausgesetzt, dass in Phase 2 und 4 Folgen von quadratischen Resten (Quadratic Characters) hinzugefügt wurden,
 // um die Hindernisse (Obstructions) der Idealklassengruppe und der Einheitengruppe zu umgehen.

 std::cout << " -> Homomorphism map phi applied." << std::endl;
 std::cout << "[Phase 5] Calculating GCD(V - Y, N)..." << std::endl;

 cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)

 if (factor > 1 && factor < N) {
 std::cout << "\n================================================================" << std::endl;
 std::cout << "[SUCCESS] Non-trivial factor found: " << factor << std::endl;
 std::cout << " Other factor: " << N / factor << std::endl;
 std::cout << "================================================================" << std::endl;
 } else {
 std::cout << "[FAILURE] Trivial solution. Trying next dependency..." << std::endl;
 }
 }
};

// ============================================================================
// Main Execution Pipeline
// ============================================================================
int main() {
 std::cout << "================================================================" << std::endl;
 std::cout << " [SOTA GNFS] General Number Field Sieve Engine (Boost C++) " << std::endl;
 std::cout << "================================================================" << std::endl;

 // Die gigantische zusammengesetzte Zahl N, die wir in Primfaktoren zerlegen wollen, z. B. RSA-270
 cpp_int N("233108530344407544527637656910680524145619812480305449042948611968495918245135782867888369318577116418213919268572658314913060672626911354027609793166341626693946596196427744273886601876896313468704059066746903123910748277606548649151920812699309766587514735456594993207");

 // Der Grad des Polynoms (bei mehr als 130 Stellen wird normalerweise Grad 5 bis 6 gewählt)
 int degree = 6;

 // Initialisierung der Pipeline
 PolynomialSelector poly_select(degree);
 LatticeSieve sieve(10000000, 20000000); // Tatsächliche Schranken (Bounds) liegen bei Dutzenden bis Hunderten von Millionen
 Filter filter;
 LinearAlgebraGF2 linalg;
 AlgebraicSquareRoot sqrt_step;

 auto start_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();

 // 1. Polynom-Selektion
 poly_select.select(N);

 // 2. Sieb-Verarbeitung (Sieving)
 sieve.generate_factor_bases();
 std::vector<Relation> relations = sieve.sieve(poly_select);

 // 3. Filterung (Matrixkompression)
 filter.reduce_matrix(relations);

 // 4. Lineare Algebra (Nullraum-Suche über GF(2))
 std::vector<std::vector<int>> dependencies = linalg.solve_nullspace(relations);

 // 5. Berechnung der algebraischen Quadratwurzel und GCD
 for (const auto& dep : dependencies) {
 sqrt_step.compute_and_factor(relations, dep, N);
 }

 auto end_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();
 std::chrono::duration<double> elapsed = end_time - start_time;
 std::cout << "\n[System] SOTA GNFS Pipeline completed in " << elapsed.count() << " seconds." << std::endl;

 return 0;
}

Nun, wie durchbricht dieser Code die kryptographischen Mauern? Wir werden für jede der 5 Phasen die detaillierten Algorithmen und die fortgeschrittene Mathematik verdaulich erklären.

2. Das ultimative Ziel von GNFS: $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$

Das Ziel von GNFS, wie auch den meisten modernen Algorithmen zur gigantischen Primfaktorzerlegung, ist es, ein nicht-triviales Paar $(X, Y)$ zu finden, das die folgende Kongruenz erfüllt:

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Diese Gleichung bedeutet, dass “die Reste von $X^2$ und $Y^2$, wenn man sie durch $N$ teilt, gleich sind”. Umgeformt ergibt das: $X^2 - Y^2 \equiv 0 \pmod N$ Das heißt, $(X-Y)(X+Y)$ ist ein Vielfaches von $N$.

Wenn $X \not\equiv \pm Y \pmod N$ (eine nicht-triviale Lösung) gilt, gibt es zwischen $(X-Y)$ und $N$ einen “gemeinsamen Teiler größer als 1 und kleiner als $N$”. Wenn wir hier den Euklidischen Algorithmus anwenden, um ** $\gcd(X-Y, N)$ ** zu berechnen, finden wir die Primfaktoren von $N$ sehr leicht.

Jedoch ist die Suche nach diesen $X$ und $Y$ wie die Suche nach der Nadel im Heuhaufen. Daher wählt GNFS den genialen Ansatz, ** “zwei Welten” ** zu erschaffen – die “Welt der realen ganzen Zahlen” und die “Welt der algebraischen Zahlkörper von Polynomen” – und die Berechnungen aufzuteilen.

3. Phase 1: Polynom-Selektion (Polynomial Selection)

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class PolynomialSelector {
 // ...
 void select(const cpp_int& N) {
 // Berechnung von m = N^(1/d) und base-m Entwicklung
 // ...
 for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
 f[i] = temp % m;
 temp /= m;
 }
 g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
 }
};

Der erste Schritt von GNFS ist die Schaffung eines “magischen Polynoms”, um die beiden Welten zu überbrücken. Für eine riesige Zahl $N$ wählen wir eine ganze Zahl $m$. Normalerweise wählt man $m \approx N^{1/d}$ (im Code wird ein Polynom $d=6$. Grades angenommen).

Dann entwickeln wir $N$ im $m$-adischen System (Basis $m$) und verwenden die Koeffizienten, um das Polynom $f(x)$ zu konstruieren.

$$N = c_d m^d + c_{d-1} m^{d-1} + \dots + c_1 m + c_0$$ $$f(x) = c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \dots + c_1 x + c_0$$

Dieses Polynom $f(x)$ hat eine äußerst wichtige Eigenschaft: ** “Wenn man $m$ für die Variable $x$ einsetzt, ergibt es genau $N$ ($f(m) = N$)” **. Mit anderen Worten, $f(m) \equiv 0 \pmod N$. Das Polynom der rationalen Seite ist definiert als $g(x) = x - m$.

Dadurch werden die ** “Welt des algebraischen Zahlkörpers $\mathbb{Z}[\alpha]$” **, die durch die Wurzel $\alpha$ von $f(x)=0$ beherrscht wird, und die gewöhnliche ** “Welt der rationalen Zahlen (ganzen Zahlen) $\mathbb{Z}$” ** durch einen Ringhomomorphismus $x \to m$ fest miteinander verbunden.

In hochmodernen Implementierungen wie CADO-NFS werden Algorithmen wie der KleinJung-Algorithmus oder die LLL-Gitterbasisreduktion verwendet, um monatelang nach dem “absolut besten Polynom $f(x)$” zu suchen, bei dem die Koeffizienten nicht extrem groß werden und in nachfolgenden Schritten leicht Primzahlen auftreten (Smoothness/Glattigkeit begünstigt wird).

4. Phase 2: Spezielles $q$-Gittersieb (Special-q Lattice Sieving)

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class LatticeSieve {
 // ...
 std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
 // ...
 // Ordnet (a, b) Paare Gittern pro spezieller Primzahl q zu
 // und führt ein Sieben mit maximaler Cache-Effizienz aus.
 // ...
 }
};

Nachdem die beiden Welten vorbereitet sind, betreten wir den nächsten Schritt: die Suche nach “glatten Zahlen” (Zahlen, die nur aus kleinen Primfaktoren bestehen) in beiden Welten. Wir generieren unzählige ganzzahlige Paare $(a, b)$ und berechnen die folgenden zwei Werte:

** Wert auf der rationalen Seite ** : $a - bm$
** Norm auf der algebraischen Seite ** : $b^d f(a/b)$

Das Ziel von GNFS ist es, zig bis hunderte Millionen ** “Paare (Relationen), bei denen die Werte sowohl der rationalen als auch der algebraischen Seite vollständig in kleine Primfaktoren zerlegt werden können” **, zu sammeln.

In frühen GNFS-Versionen wurde das “Liniensieb (Line Sieve)” verwendet, bei dem die $(a, b)$ auf der $xy$-Ebene aufgereiht und der Reihe nach durch Primzahlen geteilt wurden. Da dies jedoch auf den Speicher überall verstreut zugriff, traten häufig Cache-Misses auf, was es sehr langsam machte.

Deshalb verwenden moderne High-End-Codes die Methode des ** “Speziellen $q$-Gittersiebs (Special-q Lattice Sieve)” **. Man fixiert eine relativ große Primzahl $q$ und berücksichtigt nur Paare $(a, b)$, für die “der algebraische Wert definitiv durch $q$ teilbar ist”. Da die Paare $(a, b)$, die diese Bedingung erfüllen, ein “Gitter (Lattice)” auf der Ebene bilden, ist die Sprungweite der Speicheradressen bei der Berechnung konstant, was perfekt in die L1/L2-Caches der CPUs passt. Die Einführung dieses Gittersiebs hat die Rechengeschwindigkeit von GNFS dramatisch erhöht.

5. Phase 3: Filterung (Filtering)

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class Filter {
public:
 void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
 // 1. Singleton removal (Löschen von Relationen mit Primzahlen, die nur einmal vorkommen)
 // 2. Clique merging (Zusammenführen von Relationen, um spärliche Matrizen dicht zu machen)
 }
};

Computer weltweit haben in Phase 2 über Monate hinweg Hunderte Millionen von Relationen gesammelt. Wenn wir diese jedoch direkt in den nächsten “Schritt zum Lösen von Gleichungssystemen (Matrixberechnung)” werfen, würde selbst der Speicher eines Supercomputers überlaufen.

Daher wird ein extrem starker Matrixkompressionsprozess namens ** Filtering (Filterung) ** durchgeführt.

** Singleton removal (Singularitäten bereinigen) ** Angenommen, eine riesige Primzahl $p$ tritt in Hunderten Millionen Relationen “nur ein einziges Mal” auf. Da es unser Ziel ist, “die Exponenten aller Primzahlen gerade (ein Vielfaches von 2) zu machen”, kann eine Primzahl, die nur einmal auftritt, niemals einen geraden Exponenten erreichen. Daher werden Relationen, die diese Primzahl enthalten, sofort als “nutzloser Müll” gelöscht (bereinigt). Da dies kettenreaktionsartig passiert, werden die Hunderte Millionen Datenzeilen rasant reduziert.
** Clique merging (Cliquen zusammenführen) ** Darüber hinaus werden durch die Kombination (Addition) von Relationen, die bestimmte Primzahlen teilen, die Anzahl der Zeilen reduziert und die spärliche (luftige) Matrix dichter gemacht (es wird ein Ansatz ähnlich der Cliquensuche in der Graphentheorie verwendet).

Durch diese Optimierung wird die gigantische dünnbesetzte Matrix auf eine rechenbare Größe dramatisch komprimiert.

6. Phase 4: Lineare Algebra über GF(2) (Block Wiedemann Methode)

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class LinearAlgebraGF2 {
public:
 std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
 // Iteriert das Produkt von spärlichen Matrizen (Sparse Matrix) und Vektoren,
 // und findet mehrere Lösungsvektoren (Kerne), für die M * x = 0 mod 2 gilt.
 }
};

Endlich der Kern des Puzzles. Wir multiplizieren die gesammelten Relationen miteinander, um nach einer ** “Kombination zu suchen, bei der die Exponenten aller Primfaktoren gerade Zahlen werden” **.

Mathematisch gesehen geht es darum, eine riesige Matrix $M$, deren Elemente die Exponenten der Primzahlen (“gerade oder ungerade”, also 0 oder 1) sind, und einen Vektor $x$, der angibt, welche Relationen verwendet werden, zu verwenden, um Lösungsvektoren $x$ (Nullraum / Kern) zu finden, für die gilt: ** $M \cdot x \equiv 0 \pmod 2$ **

Wir müssen ein Gleichungssystem mit einer Matrix von enormer Größe, Millionen von Zeilen × Millionen von Spalten, lösen. Mit der üblichen Gaußschen Elimination wäre die Komplexität $O(N^3)$ und die Berechnung würde nicht enden, bevor das Universum sein Ende findet.

Daher wird in hochmodernen Implementierungen die ** “Block Wiedemann Methode” ** verwendet. Dies ist eine Art Krylov-Unterraum-Methode, die die Tatsache nutzt, dass die Matrix $M$ “sehr spärlich (meistens 0)” ist, und durch wiederholte Multiplikationen von Matrix und Vektoren eine Lösung ableitet. Im Gegensatz zur älteren Block-Lanczos-Methode kann die Block-Wiedemann-Methode den Berechnungsprozess vollständig auf mehrere Cluster aufteilen, wodurch sie bei parallelen Berechnungen im modernen verteilten Cloud-Computing oder auf Supercomputern eine überwältigende Leistung erbringt.

7. Phase 5: Algebraische Quadratwurzel (Algebraic Square Root) und der Zusammenbruch der Kryptographie

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class AlgebraicSquareRoot {
public:
 void compute_and_factor(...) {
 // 1. Berechnung der Quadratwurzel V der rationalen Seite
 cpp_int V = 1;

 // 2. Berechnung der Quadratwurzel gamma der algebraischen Seite
 cpp_int Y = 1;

 // ...
 cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
 }
};

Durch die Matrixberechnung in Phase 4 haben wir “eine Menge von Relationen $S$, die, miteinander multipliziert, für alle Primfaktoren gerade Exponenten ergeben”, erhalten. Damit können wir in beiden Welten, der rationalen und der algebraischen, ein “Quadrat” konstruieren.

Auf der rationalen Seite ist es nur eine Multiplikation von ganzen Zahlen, daher ist die Berechnung der Quadratwurzel $V$ einfach.

$$V^2 = \prod_{S} (a - bm)$$

** Aber die wahre Hölle liegt auf der “algebraischen Seite”. ** In der Welt des algebraischen Zahlkörpers $\mathbb{Z}[\alpha]$ gilt die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht, weshalb wir Ideale für die Berechnung verwendet haben. Die Matrixberechnung hat nur garantiert, dass es ** “das Quadrat eines Ideals” ** wird, aber ** nicht, dass es “das Quadrat eines Elements ($\gamma^2$)” wird **.

Hier stellen sich uns immense Hürden aus der algebraischen Zahlentheorie in den Weg: das “Hindernis der Idealklassengruppe” und das “Hindernis der Einheitengruppe”. Um diese Hürden zu überwinden, nutzt GNFS die Magie der ** “Quadratischen Reste (Quadratic Characters)” **. Man fügt der Matrix aus Phase 4 vorab heimlich Spalten mit quadratischen Resten (Legendre-Symbolen) für einige Dutzend spezielle Primideale hinzu. Dadurch überspringt die gefundene Menge $S$ mit überwältigender Wahrscheinlichkeit die Hindernisse und bildet erfolgreich das “Quadrat eines echten Elements $\gamma^2$”.

Der Prozess zur Ermittlung von $\gamma$ (die algebraische Quadratwurzel) verwendet hochkomplexe Algorithmen wie die Montgomery-Methode.

Und schließlich wird die algebraische Quadratwurzel $\gamma$ durch den Ringhomomorphismus $\phi$ in die reale Welt teleportiert ($m$ für $x$ einsetzen), um $Y$ zu erhalten. Wenn wir das rationale $V$ einfach $X$ nennen, ist die ultimative Gleichung endlich komplett.

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Jetzt müssen wir nur noch $\gcd(X-Y, N)$ berechnen. Sobald dieser 0,001-Sekunden-Prozess durchläuft und die nicht-trivialen Faktoren auf dem Bildschirm gedruckt werden, bricht die so unbezwingbar scheinende RSA-Verschlüsselung vollständig zusammen.

Fazit

GNFS ist nicht nur eine Programmiertechnik. Es ist die Kristallisation der menschlichen Intelligenz, die den “Abgrund der reinen Mathematik” wie abstrakte Algebra, Ringtheorie und Idealklassengruppen mit der “extremen Ingenieurskunst” wie der verteilten Architektur von Supercomputern und der Cache-Optimierung bezwungen hat.

Die Chats oder Kreditkarteninformationen, die wir jeden Tag beiläufig senden, werden durch einen solchen astronomischen mathematischen Schlagabtausch geschützt.

Ich hoffe, Sie konnten durch dieses C++-Framework die “Romantik von Mathematik und Computern”, die hinter modernsten kryptoanalytischen Algorithmen steckt, spüren.

Was ist das "General Number Field Sieve (GNFS)", die stärkste Mathematik der Menschheit, die die Internetverschlüsselung knackt?

Sat, 05 Sep 2026 02:09:08 +0900

Was ist das “General Number Field Sieve (GNFS)”, die stärkste Mathematik der Menschheit, die die Internetverschlüsselung knackt?

Das Internet, das wir jeden Tag nutzen. LINE-Nachrichten, YouTube, Einkaufen auf Amazon – die gesamte Kommunikation wird durch “Verschlüsselung” geschützt. Derzeit ist der weltweit am häufigsten verwendete Vertreter die “RSA-Verschlüsselung”.

Der Schlüssel zur Verteidigung der RSA-Verschlüsselung ist sehr einfach. Er nutzt die mathematische Eigenschaft, dass ** “die Primfaktorzerlegung gigantischer Zahlen selbst von Computern nicht gelöst werden kann” ** . Bei “15” wissen wir zum Beispiel sofort, dass es “3 × 5” ist, aber sobald es eine “270-stellige Zahl” wird, würde es Hunderte von Millionen Jahren dauern, selbst wenn man alle Supercomputer der Welt zusammennimmt, um sie zu lösen.

Doch die Mathematiker sind nicht stumm geblieben. Um diese undurchdringliche Verschlüsselung zu knacken, hat die Menschheit einen fast magischen Algorithmus (Berechnungsverfahren) namens ** “General Number Field Sieve (GNFS)” ** erschaffen.

In diesem Artikel werden wir ohne Fachjargon und nur mit dem Wissen der ** Mittelstufenmathematik (Primfaktorzerlegung, algebraische Ausdrücke, größter gemeinsamer Teiler) ** Schritt für Schritt erklären, wie dieser “stärkste Algorithmus der Menschheit” die Verschlüsselung knackt!

Kapitel 1: Das Ziel der Entschlüsselung ist eine “Formel der 9. Klasse”

Der größte Spezialtrick, um der gigantischen Primfaktorzerlegung zu begegnen. Es ist diese Formel, die man in der 9. Klasse lernt:

** $X^2 - Y^2 = (X + Y)(X - Y)$ **

Sie denken vielleicht: “Ernsthaft, eine so grundlegende Formel kann Verschlüsselung knacken?”. Dies ist jedoch der Hauptschlüssel, der alles offenbart.

Das größte Ziel beim Knacken der Verschlüsselung ist es, für eine riesige Zahl $N$, ** “Zahlen ($X$ und $Y$) zu finden, bei denen der Rest bei der Division von $X^2$ und $Y^2$ durch $N$ derselbe ist” ** .

Warum knackt “derselbe Rest” die Verschlüsselung?

Angenommen, zwei Zahlen, $X^2$ und $Y^2$, haben “denselben Rest, wenn sie durch $N$ geteilt werden”. Denselben Rest zu haben bedeutet, dass es eine Regel nach der ** die Subtraktion “$X^2 - Y^2$” immer genau durch $N$ teilbar ist (ein Vielfaches von $N$ sein wird) ** .

Nehmen wir hier an, dass die gigantische Zahl $N$, die für die Verschlüsselung verwendet wird, aus der Multiplikation zweier geheimer Primzahlen ($p$ und $q$) besteht ($N = p \times q$).

Wenn wir $X^2 - Y^2$ faktorisieren, erhalten wir ** $(X - Y)(X + Y)$ ** . Die Tatsache, dass dies ein Vielfaches von $N$ ist, bedeutet, dass irgendwo in dieser Multiplikation die geheimen Primzahlen $p$ und $q$ verborgen sind.

Hier geschieht ein Wunder. Es besteht eine mathematische Wahrscheinlichkeit von ** 50% (der Hälfte) ** , dass die beiden Primzahlen $p$ und $q$ sich in verschiedene Räume trennen: ** “$p$ geht in den Raum von $(X - Y)$” und “$q$ geht in den Raum von $(X + Y)$” ** .

Wenn nur die Primzahl $p$ den Raum von $(X - Y)$ betreten hat, berechnen wir den ** “größten gemeinsamen Teiler (das größte gemeinsame Teil)” ** von $(X - Y)$ und $N$.

Inhalt von $(X - Y)$ = $p \times$ irgendeine Zahl
Inhalt von $N$ = $p \times q$ Das einzige gemeinsame Teil ist ** “$p$” ** !

Mit anderen Worten, in dem Moment, in dem der größte gemeinsame Teiler berechnet wird, wird die verborgene Primzahl $p$ enthüllt und die Verschlüsselung ist vollständig entschlüsselt. (*Der größte gemeinsame Teiler kann sogar auf einem Smartphone sofort mit dem “Euklidischen Algorithmus” berechnet werden).

** 【Kleine Kolumne: Warum das Quadrat? Funktionieren Kubik oder das Doppelte nicht?】 **

Bei “$2X - 2Y$” wird es zu $2(X - Y)$ und es gibt nur einen Raum, sodass Sie die Primzahlen nicht trennen können. Bei “$X^3 - Y^3$” wird die Größe der Räume unausgewogen und die Berechnung wird unnötig schwer. Um die Primzahlen in zwei zu trennen, ist das “Quadrat”, das sich wunderbar in zwei Räume aufteilt, am kostengünstigsten.

Kapitel 2: Wie findet man X und Y? “Das Primzahlkarten-Sammelpuzzle”

Das Ziel ist klar. Doch selbst wenn wir blind nach “$X^2$ und $Y^2$ mit demselben Rest” suchen würden, würde das Ende des Universums eintreten, bevor wir sie finden. Also ließen sich Mathematiker eine geniale Methode namens ** “Primzahlkarten-Sammelpuzzle” ** einfallen.

Schritt 1: Nur Goldstaub (glatte Zahlen) mit einem Sieb sammeln

Bereiten Sie zunächst eine geeignete Zahl $Z$ vor, quadrieren Sie sie und berechnen Sie den Rest $W$, wenn sie durch $N$ geteilt wird. (Die Restwelt von $Z^2 = W$)

Faktorisieren Sie den erhaltenen Rest $W$ in Primzahlen. Hier gilt: Nur wenn ** “ein $W$, das nur aus kleinen Primzahlen wie 2, 3, 5, 7 usw. besteht” ** , erscheint, behalten Sie diese Gleichung als “Gewinnerkarte” und werfen Sie sie weg, wenn große Primzahlen beigemischt sind. Es ist wie das Wegwerfen großer Steine mit einem Sieb in einem Fluss, um nur Goldstaub zu sammeln.

Schritt 2: Das Puzzle, um alles “gerade” zu machen

Nehmen wir zum Beispiel an, die folgenden 3 Goldstaubkarten wurden gesammelt.

Karte A: $Z_1^2 = 2^3 \times 3^1$
Karte B: $Z_2^2 = 2^1 \times 5^1$
Karte C: $Z_3^2 = 3^1 \times 5^1$

Lassen Sie uns alle multiplizieren. Die rechte Seite wird zu $(2^3 \times 3^1) \times (2^1 \times 5^1) \times (3^1 \times 5^1)$, Und wenn man alles ordnet, wird es zu ** “$2^4 \times 3^2 \times 5^2$” ** .

Überraschenderweise wurde die Anzahl der Primzahlen zu “4, 2, 2”, ** allesamt eine gerade Zahl ** ! Dass alle gerade sind, bedeutet, dass wenn man die Gesamtmenge halbiert, es “das Quadrat von etwas” sein wird. Mit anderen Worten, $(2^2 \times 3^1 \times 5^1)^2 = (60)^2$.

Die linke Seite ist $(Z_1 \times Z_2 \times Z_3)^2$, also sind wir endlich am Ziel: ** $X = (Z_1 \times Z_2 \times Z_3)$ ** ** $Y = 60$ ** Das lang ersehnte Paar von “$X^2 = Y^2$” ist komplett!

Für Computer ist das Puzzle, zu berechnen, ob die Anzahl der Primzahlen “gerade oder ungerade (0 oder 1)” ist, etwas, worin sie sehr gut sind, sodass mit dieser Methode $X$ und $Y$ mit hoher Geschwindigkeit gefunden werden können.

Kapitel 3: Die Mauer der Verzweiflung

Jetzt kann jeder Code geknackt werden! …oder das dachten wir zumindest, aber ein großes Problem tritt auf. Wenn die Verschlüsselungszahl $N$ bis zu “100 Stellen” umfasst, kann diese Methode (Quadratisches Sieb genannt) sie lösen, aber wenn $N$ zu “200 oder 300 Stellen” wird, wird das in der Mitte der Berechnung auftretende $W$ viel zu groß.

Wenn die Zahlen zu groß werden, tauchen “Zahlen, die nur aus kleinen Primzahlen (Goldstaub) bestehen”, einfach nicht mehr auf. Es wird schwieriger, als eine Kontaktlinse in der Wüste zu suchen, und die zum Lösen des Puzzles benötigten Karten sammeln sich gar nicht erst an.

Hier tritt schließlich die ultimative Waffe der Menschheit, das ** “General Number Field Sieve (GNFS)” ** , auf den Plan.

Kapitel 4: Die stärkste Idee der Menschheit, “Zwei Welten” zu erschaffen

Die geniale Idee des GNFS ist: ** “Die Zahlen werden gigantisch, weil wir nur in der realen Welt rechnen. Lassen Sie uns also eine ‘Hinterwelt’ mit Polynomen (Buchstabenformeln) erschaffen, um das Gewicht der Berechnung in zwei Hälften zu teilen.” **

Die Magie der Buchstabenformeln

GNFS wandelt die riesige Zahl $N$ unter Verwendung einer Basiszahl $m$ in einen Buchstabenausdruck um. Wenn zum Beispiel $N=100$ ist, mit $m=4$, dann ist $100 = 4^3 + 2(4^2) + 4$. Mit dem Buchstaben $x$ machen wir daraus eine Formel (die Hinterwelt): ** $f(x) = x^3 + 2x^2 + x$ ** .

Das Interessante an dieser Formel ist, dass sie die Eigenschaft hat, ** “wenn Sie $x$ durch $m$ ersetzen (4 im obigen Beispiel), können Sie immer zur realen Zahl $N$ zurückkehren” ** .

Gleichzeitig in 2 Welten nach Goldstaub suchen

GNFS erzeugt viele Paare von zufälligen Ganzzahlen $(a, b)$ und führt gleichzeitig die folgenden zwei Berechnungen durch:

** Reale Welt ** : $a - b \times m$
** Buchstabenwelt ** : Der Wert von $a - b \times x$, berechnet nach den Regeln der Polynome

Durch die Aufteilung des Problems in zwei Welten verringert sich die Größe (das Gewicht) der verarbeiteten Zahlen drastisch. Es ist, als würde man einen riesigen Felsen in zwei handliche Steine spalten.

Dann trennen und sammeln Sie mit einem Sieb nur die Wunderpaare $(a, b)$, bei denen ** “sowohl in der realen Welt als auch in der Buchstabenwelt beide ’nur aus kleinen Primzahlen (Goldstaub) bestehen’” ** . Daher der Name “Zahlkörpersieb” (Number Field Sieve).

Der Moment, in dem die Verschlüsselung endlich geknackt wird

Sobald Dutzende Millionen von “Goldstaubkarten” aus beiden Welten gesammelt wurden, verwendet der Supercomputer gigantische Matrixberechnungen, um “eine Kombination zu finden, bei der die Anzahl der Primzahlen alle gerade ist”, genau wie wir es in Kapitel 2 getan haben.

Sobald die Kombination gefunden ist:

Sei die Quadratzahl in der realen Welt ** $X^2$ **
Sei die in der Buchstabenwelt erstellte Quadratformel ** $Y(x)^2$ **

Ersetzen Sie schließlich das $x$ in der Buchstabenformel $Y(x)$ durch $m$, springen Sie in die reale Welt zurück und verbinden Sie sie. Dann ist, wie durch mathematische Magie, die Bedingung erfüllt, dass ** “die Reste von $X^2$ und $Y^2$ gleich sind” ** !

Der Rest besteht, wie in Kapitel 1, lediglich darin, den größten gemeinsamen Teiler von $X - Y$ und $N$ zu berechnen, und die uneinnehmbare RSA-Verschlüsselung wird zusammenbrechen und die geheimen Primzahlen offenbaren.

Fazit: Die Mathematik endet nie

Sie denken vielleicht: “Großartig, mit GNFS kann jede Verschlüsselung geknackt werden!”. Doch auch die RSA-Verschlüsselung hat nicht aufgegeben. Was im heutigen Internet verwendet wird, ist eine monströs gigantische Zahl namens “RSA-2048 (ca. 617 Stellen)”.

Obwohl GNFS der stärkste Algorithmus der Menschheit ist, sagt man, dass selbst das Lösen von 270 Stellen (RSA-270) Tausende oder Zehntausende von Jahren dauern würde, selbst wenn man Computer auf der ganzen Welt miteinander verbindet. Vorerst sind unsere LINE- und Bankdaten sicher.

Aber was wäre, wenn eine ** “Magie, um $X$ und $Y$ für jede riesige Zahl sofort zu finden” ** , auftauchen würde? Tatsächlich kommt der ** “Quantencomputer (Shor-Algorithmus)” ** , der sich derzeit in der Entwicklung befindet, dem am nächsten. Unter Ausnutzung der Wellennatur der Quantenmechanik wurde mathematisch bewiesen, dass es möglich ist, das mühsame Kartensammelpuzzle zu umgehen und die Antwort auf einen Schlag zu finden.

Ein endloser Kampf des Verstandes zwischen denen, die Verschlüsselung erschaffen (Verteidigung), und denen, die Algorithmen entwickeln, um sie zu knacken (Angriff). Macht das Wissen, dass die in der Mittelstufe erlernte “Primfaktorzerlegung” und “algebraische Ausdrücke” tatsächlich die Waffen sind, die an vorderster Front der globalen Sicherheit kämpfen, den Mathematikunterricht nicht ein wenig interessanter?

Derjenige, der den stärksten Algorithmus der Zukunft entdeckt, könnten Sie sein, der diesen Artikel liest!

(※Dieser Artikel ist eine konzeptionelle Adaption der mathematischen Faszination des Codeknackens für Schüler. Das eigentliche GNFS wird streng mit Hilfe der fortgeschrittenen Universitätsmathematik, wie Idealklassengruppen algebraischer Zahlkörper und Homomorphismen, berechnet)

Die Kepler-Vermutung Einfach Erklärt

Mon, 21 Jul 2025 22:53:03 +0900

Die Kepler-Vermutung Einfach Erklärt! Der beste Weg, Wassermelonen zu verpacken

Hallo, ich bin kenji!

Heute möchte ich versuchen, ein mathematisches Thema mit einem etwas kompliziert klingenden Namen, die “Kepler-Vermutung”, so einfach wie möglich zu erklären.

Auf den ersten Blick mag das wie ein Thema für Nerds wirken, aber es ist auch ein sehr alltägliches Problem: “Wie können wir Wassermelonen am dichtesten in eine Kiste packen?”. Es hat auch etwas mit den Kühlschränken in Convenience-Stores und dem Stapeln von Fracht zu tun.

Und in der Welt der Mathematik verbirgt sich dahinter eine super romantische Geschichte: dass dies über 400 Jahre lang nicht bewiesen werden konnte .

Lass uns anfangen!

Wer war Kepler eigentlich?

Zunächst einmal: Wer ist der “Kepler” in der “Kepler-Vermutung”?

Es ist der Name eines deutschen Astronomen und Mathematikers namens Johannes Kepler .

Dieser Typ war unglaublich. Er war zum Beispiel derjenige, der entdeckte, dass die Planetenbahnen elliptisch sind. Das ist heute Allgemeinwissen, aber damals (um 1600) war es eine Ära, in der selbst das heliozentrische Weltbild kaum geglaubt wurde.

Galileo = Genie der Beobachtung
Kepler = das Genie, das das Universum mit mathematischen Formeln erklärte
Newton = das Supergenie, das diese Theorie in physikalischen Gesetzen zusammenfasste

Mit dieser Positionierung war Kepler ein Pionier darin, “mit mathematischen Formeln über das Universum zu sprechen”.

Und irgendwann sagte er Folgendes:

Was ist die Kepler-Vermutung?

Kurz gesagt, ist die “Kepler-Vermutung” wie folgt.

Beim Verpacken von Kugeln gleicher Größe (Wassermelonen oder Orangen) in eine Kiste, welche Anordnung ermöglicht die dichteste Packung?

Das ist das Problem.

Und was Kepler in den 1600er Jahren vermutete, war:

Wäre es nicht am effizientesten, sie wie Dreiecke zu stapeln, ähnlich wie Gemüsehändler Orangen auslegen?

In der mathematischen Sprache wird dies das “Dichteste Kugelpackung-Problem” (Sphere Packing) genannt, welches nach der Methode sucht, Kugeln so dicht wie möglich in einem Raum anzuordnen.

Kepler vermutete, dass die Anordnung, die “kubisch flächenzentrierte Struktur (FCC)” genannt wird (wie das Stapeln von Wassermelonen in einem Dreiecksmuster), am effizientesten wäre.

Jeder dachte: “Ja, das macht Sinn…”, aber es mathematisch zu beweisen, dass “dies absolut das Beste ist!”, war extrem schwierig.

400 Jahre für den Beweis!?!

Wann wurde es also tatsächlich bewiesen…?

Erstaunlicherweise etwa zwischen 1998 und 2005 . Das heißt, fast 400 Jahre lang konnte es niemand beweisen . Das ist verrückt.

Darüber hinaus war die Person, die es bewies, ein amerikanischer Mathematiker namens Thomas Hales .

Er erkannte, dass es unmöglich wäre, dies nur mit manuellen Berechnungen zu tun, also nutzte er Computer für den Beweis . Es trat jedoch ein Problem auf: Der Beweis war so komplex, dass Menschen ihn nicht richtig überprüfen konnten!

So entbrannte auch in der mathematischen Welt eine große Debatte: “Können wir einem Beweis, der von Computern gemacht wurde, wirklich vertrauen?”.

Schließlich wurde der Beweis (offiziell “formaler Beweis” genannt), der besagte: “Ich habe ihn rigoros überprüft, einschließlich der Computer!”, im Jahr 2014 abgeschlossen.

Mit anderen Worten, es hat über 400 Jahre gedauert zu beweisen, dass Keplers Intuition richtig war . Was für eine Romanze.

Sehr oft im echten Leben verwendet

Man könnte denken, dass “wie man Kugeln anordnet” ein Thema nur für Mathe-Freaks ist, aber in Wirklichkeit ist es sehr praktisch.

Um Getränke effizient in Kühlschränken von Convenience-Stores zu verpacken
Beim Stapeln von Dosen auf Transportpaletten
Es wird auch in der Kommunikation angewendet (Kompression digitaler Signale usw.)
Wird beim Entwurf von 3D-Druckern und Kristallstrukturen verwendet

Usw. Es ist tatsächlich eine Theorie, die massiv hinter den Kulissen unseres Lebens genutzt wird.

Fazit: Die menschliche Intuition ist erstaunlich

Lassen Sie uns zusammenfassen.

Kepler-Vermutung = Das Problem, wie man Kugeln am dichtesten verpackt
Herr Kepler = Mathematiker und Astronom, der die Planetenbahnen entdeckte
In den 1600er Jahren vermutet! Aber in den 2000er Jahren bewiesen!
Sehr anwendbar im echten Leben!

Und der interessanteste Punkt ist: “Die Art zu stapeln, die Gemüsehändler aus Intuition gemacht haben, war mathematisch auch die stärkste” .

Mit anderen Worten: Die menschliche Intuition ist erstaunlich . Und die Tatsache, dass es 400 Jahre dauern kann, dies zu beweisen , ist eine wirklich romantische Geschichte, nicht wahr?

Wenn Sie interessiert sind, suchen Sie unbedingt nach “Thomas Hales”, “formaler Beweis”, “Sphere Packing”. Es macht sehr viel Spaß, tiefer einzutauchen.

Bis dann!

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Einführung in Mathematica

Thu, 25 Jul 2024 01:36:19 +0900

Einführung in Mathematica

Gleichungen lösen

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0, x]

Ausgabe

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

Lösungen von Gleichungen im Bereich der ganzen Zahlen finden

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0 && 0 <= x <= 2, x, Integers]

Ausgabe

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

Gleichungssysteme lösen

1

Solve[{x + y == 3, x - y == 1}, {x, y}]

Ausgabe

1

{{x -> 2, y -> 1}}

Ungleichungen lösen

1

Reduce[x^2 - 3 x + 2 > 0, x]

Ausgabe

1

x < 1 || x > 2

Ableiten

1

D[x^2, x]

Ausgabe

1

2 x

Integrieren

1

Integrate[x^2, x]

Ausgabe

1

x^3/3

Grenzwerte berechnen

1

Limit[1/x, x -> 0]

Ausgabe

1

Infinity

Reihen berechnen

1

Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]

Ausgabe

1

π^2/6

Matrix erstellen

1

m = {{1, 2}, {3, 4}}

Matrixprodukt berechnen

1

m . m

Ausgabe

1

{{7, 10}, {15, 22}}

Inverse Matrix berechnen

1

Inverse[m]

Ausgabe

1

{{-2, 1}, {1.5, -0.5}}

Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

1

Eigensystem[m]

Ausgabe

1

{{5, 0}, {{1, 1}, {1, -1}}}

Skalarprodukt von Vektoren berechnen

1

{1, 2} . {3, 4}

Ausgabe

1

11

Kreuzprodukt von Vektoren berechnen

1

Cross[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]

Ausgabe

1

{-3, 6, -3}

Betrag eines Vektors berechnen

1

Norm[{1, 2, 3}]

Ausgabe

1

√14

Winkel von Vektoren berechnen

1

ArcCos[{1, 2} . {3, 4}/(Norm[{1, 2}] Norm[{3, 4}])]

Ausgabe

1

ArcCos[11/(√5 √25)]

Projektion von Vektoren berechnen

1

{1, 2} . {3, 4}/Norm[{3, 4}] {3, 4}/Norm[{3, 4}]

Ausgabe

1

{11/5, 22/5}

Rotation von Vektoren berechnen

1

RotationMatrix[π/2].{1, 0}

Ausgabe

1

{0, 1}

Translation von Vektoren berechnen

1

TranslationTransform[{1, 2}][{3, 4}]

Ausgabe

1

{4, 6}

Skalierung von Vektoren berechnen

1

ScalingTransform[{2, 3}][{1, 1}]

Ausgabe

1

{2, 3}

Reflexion von Vektoren berechnen

1

ReflectionTransform[{1, 1}][{1, 1}]

Ausgabe

1

{0, 0}

Zufallszahlen generieren

1

RandomReal[]

Ausgabe

1

0.123456

Zufallszahlen generieren (ganze Zahlen)

1

RandomInteger[]

Ausgabe

1

123456

Zufallszahlen generieren (Bereich angegeben)

1

RandomReal[{1, 10}]

Ausgabe

1

5.6789

Zufallszahlen generieren (ganze Zahlen, Bereich angegeben)

1

RandomInteger[{1, 10}]

Ausgabe

1

5

Zufallszahlen generieren (Verteilung angegeben)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1]]

Ausgabe

1

0.123456

Zufallszahlen generieren (Verteilung, Menge angegeben)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

Ausgabe

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

Zufallszahlen generieren (Verteilung, Menge, Seed angegeben)

1
2


SeedRandom[12345]
RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

Ausgabe

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

Funktion auf Array-Elemente anwenden

1
2
3


Map[Sqrt, {1, 4, 9}]
Sqrt /@ {1, 4, 9}
Map[#^(1/2)&, {1, 4, 9}]

Ausgabe

1

{1, 2, 3}

Funktion mit Lambda-Ausdrücken definieren

1
2


f = Function[x, x^2]
f[3]

Ausgabe

1

9

Funktionen komponieren

1
2
3
4


f = Function[x, x^2]
g = Function[x, x + 1]
h = Function[x, f[g[x]]]
h[3]

Ausgabe

1

16

Auf vorheriges Berechnungsergebnis verweisen

1

% + 1

Ausgabe

1

17

Reine Funktion

1

(#+3)&[5]

Ausgabe

1

8

Array extrahieren

1
2


Select[{1, 2, 3, 4, 5}, EvenQ]
Select[{1, 2, 3, 4, 5}, Mod[#,2]==0&]

Ausgabe

1

{2, 4}

Ungelöste Probleme in der Mathematik

Sat, 02 Mar 2024 22:57:36 +0900

Ungelöste Probleme in der Mathematik

Ich werde ungelöste Probleme der Mathematik erklären. Obwohl die Probleme selbst einfach sind, gibt es noch viele Probleme, die nicht bewiesen wurden.

Gibt es unendlich viele vollkommene Zahlen?

Eine vollkommene Zahl ist eine natürliche Zahl, deren Summe ihrer positiven echten Teiler (ohne sich selbst) gleich der Zahl selbst ist. Zum Beispiel,

Die Teiler von 6 sind 1, 2, 3 und da 1+2+3=6 ist, ist es eine vollkommene Zahl.
Die Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14 und da 1+2+4+7+14=28 ist, ist es eine vollkommene Zahl.

Derzeit wurden nur 51 entdeckt. Man vermutet, dass es unendlich viele gibt, aber es wurde noch nicht bewiesen.

Goldbachsche Vermutung

Die Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. (Hierbei ist eine Primzahl eine natürliche Zahl, die außer 1 und sich selbst keine weiteren Teiler hat.)

Zum Beispiel,

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5

Das Problem selbst ist sehr einfach, aber es wurde noch nicht bewiesen.

Riemannsche Vermutung

Die Riemannsche Vermutung besagt, dass die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf negative gerade Zahlen und komplexe Zahlen mit einem Realteil von 1/2 beschränkt sind.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist die Funktion $\zeta$, die definiert ist durch (wenn $s$ eine komplexe Zahl und $n$ eine natürliche Zahl ist):

$$\zeta(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$

Wie man Diagramme mit Python (matplotlib.pyplot) zeichnet

Sun, 09 Apr 2023 01:02:19 +0900

Was Sie brauchen

Google-Konto

Schritte

Gehen Sie auf https://colab.research.google.com/
Wählen Sie “Datei” -> “Neues Notizbuch”
Fügen Sie den folgenden Code ein und führen Sie ihn aus

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 500)
plt.plot(x, np.sin(x), label="sin curve")
plt.plot(x, np.cos(x), label="cos curve")
plt.legend() # Legende anzeigen
plt.show()

Ausführungsergebnis

Referenzen

matplotlib.pyplot — Matplotlib 3.5.3 documentation

Warum ich Mathematik und Computer mag

Fri, 23 Sep 2022 01:56:52 +0900

Ich habe darüber nachgedacht, warum ich Mathematik und Computer mag

Gleichheit für alle

Unabhängig von Person, Position oder Ort gibt die gleiche Eingabe immer die gleiche Ausgabe zurück.

Klare Regeln

Die Regeln sind klar definiert und es gibt keine Absurditäten oder Ungerechtigkeiten.

Die abgeleiteten Antworten und Theorien sind ewig richtig

Man muss sich keine Sorgen machen, dass eine einmal berechnete Antwort später umgeschrieben wird.

Es gibt einen moderaten Schwierigkeitsgrad

Es gibt immer ungelöste Probleme, und man kann sich jederzeit der Herausforderung der Problemlösung stellen.