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【Vollständige Analyse】Was ist ein Quantencomputer? ~Das ultimative Berechnungsprinzip von Grund auf verstehen~

Sat, 05 Sep 2026 22:10:00 +0900

Einführung: Der “Paradigmawechsel der Berechnung”, den Quantencomputer bringen

In den letzten Jahren vergeht kein Tag, an dem man nicht den Begriff “Quantencomputer” in den Nachrichten oder in technischen Artikeln liest. Es kursieren wie in einem Science-Fiction-Film Gerüchte, dass “Berechnungen, für die heutige Supercomputer Tausende von Jahren bräuchten, in wenigen Minuten erledigt werden können” oder dass “alle aktuellen Verschlüsselungstechnologien geknackt werden könnten”. Von riesigen IT-Unternehmen wie Google, IBM und Microsoft bis hin zu Universitäten und Start-ups auf der ganzen Welt wetteifern alle darum, diese Traumtechnologie in die Praxis umzusetzen.

Wenn man jedoch fragt: “Was genau ist ein Quantencomputer überhaupt?”, können nur wenige Menschen eine genaue Antwort geben. Viele haben die vage Vorstellung von einer “magischen Box, die alle Kombinationen gleichzeitig berechnen kann”, aber streng genommen ist das nicht korrekt.

In diesem Artikel werden wir von Grund auf, detailliert und verständlich erklären, wie sich Quantencomputer grundlegend von klassischen Computern (den PCs und Smartphones, die wir normalerweise benutzen) unterscheiden, und wie sie merkwürdige quantenmechanische Phänomene wie “Überlagerung (Superposition)”, “Quantenverschränkung (Entanglement)” und “Quantengatter (Quantum gates)” für Berechnungen nutzen. Wenn Sie diesen Artikel zu Ende gelesen haben, sollten Sie die wahre Kraft der Quantencomputer und ihre aktuellen Herausforderungen klar verstanden haben.

Kapitel 1: Der entscheidende Unterschied zwischen klassischen Computern und Quantencomputern

Um zu verstehen, wie ein Quantencomputer funktioniert, müssen wir zunächst rekapitulieren, wie die “klassischen Computer”, die wir derzeit verwenden, arbeiten.

Vergleichstabelle: Klassischer Computer vs. Quantencomputer

Merkmal	Klassischer Computer	Quantencomputer
Grundeinheit	Bit (0 oder 1)	Qubit (Überlagerung von 0 und 1)
Zustandsdarstellung	Deterministisch	Probabilistisch (bis zur Messung unbestimmt)
Berechnungsmethode	Sequenzielle Verarbeitung (Parallelisierung erfordert physische Kerne)	Quantenparallelität (gleichzeitige Manipulation exponentieller Zustände)
Stärken bei Berechnungen	Grundrechenarten, alltägliche Datenverarbeitung	Primfaktorzerlegung, quantenchemische Berechnungen
Fehlertoleranz	Sehr stark	Sehr schwach (kryogene Umgebungen oder Fehlerkorrektur erforderlich)

Die Welt der klassischen Computer: “Bit” als 0 oder 1

Klassische Computer stellen alle Informationen in Form von entweder “0” oder “1” dar. Dies wird als Bit bezeichnet. Physisch wird es dadurch repräsentiert, ob die Spannung eines Transistors auf einem Halbleiterchip hoch (1) oder niedrig (0) ist. Auch die hochauflösenden Fotos auf Ihrem Smartphone, der Text, den Sie gerade lesen, oder Ihr Lieblings-YouTube-Video werden letztendlich auf eine riesige “Folge von 0 und 1” reduziert. Berechnung ist nichts anderes als der Prozess der Manipulation dieser Folge von 0 und 1 durch Kombination grundlegender Logikschaltungen wie AND (Konjunktion), OR (Disjunktion) und NOT (Negation). Dies ist eine sehr sichere und deterministische Welt. Wenn die Eingabe gleich ist, wird immer dieselbe Ausgabe erhalten.

Die Welt der Quantencomputer: “Qubit”, das sowohl 0 als auch 1 ist

Im Gegensatz dazu wird die kleinste Informationseinheit eines Quantencomputers als Qubit (Quantum bit) bezeichnet. Das Hauptmerkmal eines Qubits ist, dass es sich nicht wie ein klassisches Bit nur im Zustand “0” oder “1” befindet, sondern einen Zustand annehmen kann, in dem “0 und 1 mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gemischt sind”. Dies wird als “Überlagerung (Superposition)” bezeichnet.

Wenn ein klassisches Bit beispielsweise eine Münze ist, die entweder “Kopf” oder “Zahl” nach oben zeigt, wird ein Qubit oft mit einer “Münze, die sich in der Luft dreht” verglichen. Bei einer sich drehenden Münze kann man nicht sagen, ob sie Kopf oder Zahl ist; beide Zustände überlagern sich. Und erst in dem Moment, in dem die Münze auf den Boden fällt und aufhört, sich zu bewegen (was in der Quantenmechanik als “Messung” bezeichnet wird), steht fest, ob es “Kopf” oder “Zahl” ist.

Es ist diese Eigenschaft, die spezifisch für die mikroskopische Welt (Quantenmechanik) ist, bei der der Zustand erst bei der Messung bestimmt wird, die in den Informationsverarbeitungsprozess des Quantencomputers integriert ist.

Kapitel 2: Drei quantenmechanische Eigenschaften, die die Berechnung grundlegend verändern

Die Quelle der erstaunlichen Rechenleistung von Quantencomputern liegt nicht einfach in höheren Taktfrequenzen oder kleineren Komponenten. Sie liegt darin, dass sie die physikalischen Gesetze selbst als Rechenressourcen nutzen. Die folgenden drei quantenmechanischen Phänomene sind der Schlüssel dazu.

1. Überlagerung (Superposition) und exponentielle Informationsmenge

Wie bereits erwähnt, können Qubits gleichzeitig die Zustände 0 und 1 aufrechterhalten. Ein Qubit ist eine “Überlagerung von 0 und 1”, aber was passiert, wenn wir die Anzahl der Qubits erhöhen?

1 Qubit: Überlagerung von 2 Zuständen (0, 1)
2 Qubits: Überlagerung von 4 Zuständen (00, 01, 10, 11)
3 Qubits: Überlagerung von 8 Zuständen
N Qubits: Überlagerung von $2^N$ Mustern

Mit nur 50 Qubits können $2^{50}$ (etwa 1,1 Billiarden) Zustände gleichzeitig aufrechterhalten werden. Und mit nur 300 Qubits kann eine Anzahl von Mustern ($2^{300}$ – mehr als die Anzahl aller Atome im Universum!) auf einmal gehalten werden. Diese exponentielle Fähigkeit, Informationen zu speichern, ist die Grundlage des Potenzials des Quantencomputers. Es ist physikalisch unmöglich, mit klassischen Computern mehr Zustände als die Anzahl der Atome im Universum im Speicher zu halten.

2. Quantenverschränkung (Entanglement): Spukhafte Fernwirkung

Quantenverschränkung ist ein so seltsames Phänomen, das der menschlichen Intuition so sehr widerspricht, dass Einstein es als “spukhafte Fernwirkung (Spooky action at a distance)” bezeichnete und es zeit seines Lebens nicht akzeptierte.

Wenn mehrere Qubits in einen Zustand der “Quantenverschränkung” eintreten, sind sie stark miteinander verbunden, in einer schicksalhaften Beziehung, in der “wenn der Zustand eines Qubits bestimmt wird, der Zustand des anderen augenblicklich bestimmt wird, unabhängig davon, wie weit sie voneinander entfernt sind” .

Angenommen, es gibt zwei verschränkte Qubits, A und B (jedes befindet sich in einer Überlagerung von 0 und 1). Wenn A gemessen wird und sich als “0” herausstellt, wird der Zustand von B augenblicklich (z. B. immer als “1”) bestimmt, wobei die Lichtgeschwindigkeit, die die Grenze für die Informationsübertragung ist, überschritten wird. In einem Quantencomputer wird diese Quantenverschränkung genutzt, um komplexe Korrelationen zwischen mehreren Qubits darzustellen und eine massiv parallele Informationsverarbeitung durchzuführen. Ohne Verschränkung würde sich die Rechenleistung eines Quantencomputers nicht wesentlich von der eines klassischen Computers unterscheiden.

3. Quanteninterferenz (Quantum Interference): Die Magie, die richtige Antwort hervorzubringen

Sie denken vielleicht: “Wenn alle Muster gleichzeitig gehalten werden können, können wir sie nicht alle auf einmal parallel berechnen und sofort eine Antwort erhalten?” Dies ist das häufigste Missverständnis in Bezug auf Quantencomputer. Selbst wenn Berechnungen im überlagerten Zustand durchgeführt werden, müssen Sie am Ende “messen”, um die Antwort zu kennen. Im Moment der Messung kollabiert der Zustand jedoch zufällig in eines der $2^N$ Muster. Dies würde lediglich eine unsinnige (zufällige) Antwort liefern.

Hier kommt die “Quanteninterferenz (Interference)” ins Spiel. Wenn Wellen aufeinander treffen, verstärken sie sich dort, wo die Wellenlängen übereinstimmen, und heben sich dort auf, wo sie nicht übereinstimmen (das Prinzip ist im Wesentlichen dasselbe wie bei Noise-Cancelling-Kopfhörern).

Gute “Quantenalgorithmen” manipulieren geschickt Quantenzustände während des Berechnungsprozesses, sodass “die Wahrscheinlichkeitsamplituden von Zuständen (Wellen), die zur richtigen Antwort führen, sich gegenseitig verstärken (Verstärkung)” und “die Wahrscheinlichkeitsamplituden von Zuständen, die zu falschen Antworten führen, sich gegenseitig aufheben (Auslöschung)” . Und wenn Sie schließlich messen, stellen sie sicher, dass die “richtige Antwort” mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 100 % herausfällt. Das erfolgreiche Entwerfen dieses Interferenzprozesses ist die wahre Essenz der Quantenprogrammierung.

Kapitel 3: Wie wird berechnet? “Quantengatter” und “Quantenschaltkreise”

So wie klassische Computer Logikgatter (AND, OR, NOT usw.) verwenden, um Berechnungen durchzuführen, wenden Quantencomputer Operationen an, die als “Quantengatter (Quantum Gates)” bezeichnet werden, um Qubits zu manipulieren. Eine Kombination mehrerer Quantengatter wird als Quantenschaltkreis (Quantum Circuit) bezeichnet.

Der Zustand eines Qubits wird mathematisch als ein Punkt auf der Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel ausgedrückt, die als “Bloch-Kugel (Bloch sphere)” bezeichnet wird. Der Nordpol ist “0”, der Südpol ist “1”, und der Äquator ist ein Zustand, in dem sich “0 und 1 zur Hälfte überlagern”. Ein Quantengatter ist nichts anderes als eine Operation, die den Zustand (Vektor) auf der Oberfläche dieser Kugel dreht.

Lassen Sie uns einige typische Quantengatter vorstellen.

1. Hadamard-Gatter (H-Gatter)

Dies ist das grundlegendste Gatter, das für Quantencomputer einzigartig ist und in klassischen Computern nicht existiert. Wenn ein Qubit, das sich vollständig im Zustand “0” befindet, durch ein H-Gatter geleitet wird, erzeugt es einen “vollständigen Überlagerungszustand” (einen Punkt auf dem Äquator der Bloch-Kugel), in dem 0 und 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von genau der Hälfte beobachtet werden. Als Initialisierungsschritt der Quantenberechnung beginnen viele Algorithmen damit, dieses H-Gatter auf alle Qubits anzuwenden.

2. Pauli-Gatter (X-, Y-, Z-Gatter)

Diese Gatter beinhalten Operationen, die dem NOT-Gatter in einem klassischen Computer entsprechen (das 0 in 1 und 1 in 0 umkehrt). Auf der Bloch-Kugel entsprechen sie Operationen, die um 180 Grad um die X-, Y- und Z-Achse drehen. Insbesondere das X-Gatter fungiert genau wie ein klassisches NOT-Gatter, weil es den Nordpol (0) in den Südpol (1) umkehrt. Das Z-Gatter spielt die Rolle der Umkehrung der “Phase (wie das Timing einer Welle)” der Überlagerung und ist äußerst wichtig, um Quanteninterferenz zu verursachen.

3. CNOT-Gatter (Controlled-NOT-Gatter)

Dies ist ein äußerst wichtiges Gatter zur Erzeugung von Quantenverschränkung. Es verwendet zwei Qubits (ein Kontroll-Bit und ein Ziel-Bit). Es arbeitet wie folgt: “Wenn das Kontroll-Bit 1 ist, kehre den Zustand des Ziel-Bits um (X-Gatter). Wenn das Kontroll-Bit 0 ist, tue nichts.” Es mag wie eine einfache IF-Bedingung erscheinen, aber was passiert, wenn sich das Kontroll-Bit in einem “überlagerten Zustand von 0 und 1” befindet? Das Ziel-Bit geht in einen “Zustand über, in dem sich die umgekehrten und nicht umgekehrten Zustände überlagern”, und das Schicksal der beiden Bits wird vollständig verknüpft. Die beiden Qubits werden wunderschön “verschränkt”.

Indem diese Gatter nacheinander von links nach rechts angeordnet und angewendet werden, wie Musiknoten in einer Partitur, werden komplexe Algorithmen ausgeführt.

Kapitel 4: Worin sind Quantencomputer gut und worin sind sie schlecht?

Hier ist eine wichtige Tatsache: Quantencomputer sind keine allmächtigen Götter. Für alltägliche Aufgaben wie das Surfen im Internet, das Rendern von Videos, die Makroverarbeitung in Excel oder den Betrieb allgemeiner Smartphone-Apps werden Quantencomputer klassische Computer wahrscheinlich niemals übertreffen. Für diese sequenziellen Prozesse sind klassische Computer, die bereits hochoptimiert sind und sich durch überwältigende Geschwindigkeit und geringe Kosten auszeichnen, weitaus besser geeignet.

Der wahre Wert von Quantencomputern liegt ausschließlich in “spezifischen Problemen, bei denen die Anzahl der Kombinationen bei klassischen Berechnungen exponentiell explodiert und die Lösung eine Zeit in der Größenordnung des Alters des Universums in Anspruch nehmen würde” . Dies wird als “Quantenüberlegenheit (Quantum Supremacy)” oder “Quantenvorteil (Quantum Advantage)” bezeichnet.

Worin Quantencomputer gut sind (Killer-Applikationen)

1. Primfaktorzerlegung und Entschlüsselung (Shor-Algorithmus)

Gegenwärtig basiert “RSA-Kryptographie”, die sichere Kommunikation im Internet schützt (wie Kreditkartenzahlungen und die Übertragung persönlicher Daten), auf der Prämisse, dass “die Primfaktorzerlegung sehr großer Zahlen für klassische Computer praktisch unmöglich ist (da sie enorm viel Zeit in Anspruch nimmt)”. Mit dem “Shor-Algorithmus”, der 1994 von dem Mathematiker Peter Shor entdeckt wurde, können Quantencomputer Interferenz jedoch geschickt nutzen, um dies mit dramatischer Geschwindigkeit (in polynomieller Zeit) zu lösen. Infolgedessen besteht das Risiko, dass aktuelle kryptografische Systeme in Zukunft zusammenbrechen, und Zentralbanken sowie Regierungsbehörden weltweit beeilen sich, auf “Post-Quanten-Kryptographie (Post-Quantum Cryptography)” umzusteigen.

2. Quantenchemische Berechnungen und die Entwicklung neuer Materialien und Medikamente

Das Verhalten von Molekülen und Atomen in der Natur folgt von Natur aus den Gesetzen der Quantenmechanik. Wenn Sie versuchen, das Verhalten komplexer Moleküle mit einem klassischen Computer zu simulieren, explodiert die Anzahl der Kombinationen von Elektroneninteraktionen, und Sie stoßen selbst bei relativ kleinen Molekülen an die Grenzen der Rechenkapazität. Wie der Nobelpreisträger für Physik Richard Feynman sagte: “Wenn Sie die Natur simulieren wollen, verdammt noch mal, dann machen Sie es quantenmechanisch”, und Quantencomputer weisen bei der Simulation von Materie eine überwältigende native Leistung auf. Es werden Durchbrüche zur Lösung von Problemen der Menschheit erwartet, wie das Design revolutionärer neuer Medikamente, die Entdeckung von bei Raumtemperatur supraleitenden Materialien, die Entwicklung hocheffizienter Solarzellen und Batteriematerialien sowie die Synthese energieeffizienter Düngemittel.

3. Kombinatorische Optimierungsprobleme und Suche (Grover-Algorithmus)

Quantenalgorithmen zeigen ihre Stärke auch bei Problemen, bei denen es darum geht, die optimale aus einer großen Anzahl von Optionen zu finden (wie die Optimierung von Logistikrouten oder die Optimierung von Finanzportfolios). Mit dem “Grover-Algorithmus” können Sie die gesuchten Daten aus einer unstrukturierten Datenbank mit der Quadratwurzel der Anzahl an Versuchen eines klassischen Computers finden. Wenn beispielsweise 100 Millionen Datensätze vorhanden sind, kann eine Suche, die klassisch bis zu 100 Millionen Versuche dauern würde, in nur etwa 10.000 Versuchen abgeschlossen werden.

Kapitel 5: Die Hardware-Wand “Dekohärenz” und “Quantenfehlerkorrektur”

Obwohl theoretisch so mächtig wie Magie, gibt es auf dem Weg zur praktischen Umsetzung extrem hohe und steile physikalische Barrieren. Der größte Feind ist “Rauschen” .

Die “Überlagerung” und “Quantenverschränkung” von Qubits sind extrem empfindliche und zerbrechliche Zustände. Selbst der geringste Kontakt mit umgebender Wärme, elektromagnetischen Schwankungen oder kosmischen Strahlen kann dazu führen, dass dieser magische Zustand in einem Augenblick zusammenbricht und sie zu bloßen klassischen Bits werden. Dieses Phänomen wird als “Dekohärenz (Quantenzerfall)” bezeichnet.

Der harte Wettbewerb um physikalische Realisierungsmethoden

Derzeit wird weltweit ein harter Wettbewerb darüber ausgetragen, wie diese empfindlichen Qubits physikalisch realisiert werden können, wobei verschiedene Methoden erforscht werden.

Supraleitende Methode (Superconducting) : Von Google, IBM, Amazon usw. übernommen. Sie verwendet schleifenförmige supraleitende Schaltkreise und steuert Quantenzustände, indem sie sie mit riesigen Kühlschränken auf extrem niedrige Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt (ca. -273 °C) abkühlt. Es ist derzeit die führende Methode und es ist am einfachsten, die Anzahl der Qubits zu erhöhen, aber die Kühlgeräte sind riesig und teuer.
Ionenfallen-Methode (Trapped Ion) : Von IonQ, Quantinuum usw. übernommen. Sie fängt Ionen (Atome) in einem Vakuum mit elektromagnetischen Feldern ein und steuert sie mit präzisen Lasern. Die Stärke besteht darin, dass alle Qubits einheitlich sind und den Zustand über einen langen Zeitraum aufrechterhalten können (lange Kohärenzzeit), das Problem ist jedoch, dass die Betriebsgeschwindigkeit im Vergleich zur supraleitenden Methode langsam ist.
Photonen-Methode (Photonic) : PsiQuantum und andere konzentrieren sich darauf. Sie nutzt Lichtteilchen (Photonen). Viele Teile arbeiten bei Raumtemperatur und erfordern keine kryogene Umgebung, was den großen Vorteil hat, dass sie gut mit der bestehenden Siliziumchip-Herstellungstechnologie und Glasfaser-Kommunikationstechnologie kompatibel ist.
Topologische Methode (Topological) : Von Microsoft seit vielen Jahren erforscht. Dies ist ein ehrgeiziger Ansatz zur Schaffung von Qubits, die von Grund auf stark gegen Umgebungsrauschen (weniger anfällig für Fehler) sind, indem die topologischen Eigenschaften spezieller Teilchen namens Anyonen genutzt werden. Theoretisch ist es das stärkste System, aber die Hürde für die physikalische Umsetzung gilt als die höchste.

Der Weg zum ultimativen Ziel: “Fehlertoleranter Quantencomputer (FTQC)”

Berechnungsfehler (wie Bitflips aufgrund von kosmischer Strahlung) existieren auch in der heutigen Welt der klassischen Computer, aber sie werden durch “Fehlerkorrekturcodes” perfekt korrigiert, sodass wir unsere Smartphones nutzen können, ohne jemals einen Fehler zu bemerken. Um groß angelegte, praktische Berechnungen auf einem Quantencomputer durchführen zu können, ist eine ähnliche “Quantenfehlerkorrektur (Quantum Error Correction: QEC)” unerlässlich.

Da Quantenzustände jedoch die Eigenschaft haben, “bei der Messung zusammenzubrechen”, gibt es ein fatales Dilemma, dass wir nicht direkt in sie hineinsehen (sie messen) können, um auf Fehler zu prüfen. Um dies zu vermeiden, wurden Theorien (wie Oberflächencodes) etabliert, um geschickt eine große Anzahl von instabilen “physikalischen Qubits” zu kombinieren, um ein einziges stabiles “logisches Qubit” aufzubauen, das Fehler erkennen und korrigieren kann. Es wird jedoch gesagt, dass 1.000 bis 10.000 physikalische Qubits erforderlich sind, um 1 logisches Qubit zu erzeugen. Um den Shor-Algorithmus unter Verwendung von Tausenden von logischen Qubits auszuführen, wäre ein riesiges System mit insgesamt Millionen bis zehn Millionen physikalischen Qubits erforderlich.

Wir befinden uns derzeit im sogenannten Zeitalter der NISQ-Geräte (Noisy Intermediate-Scale Quantum) . Dies ist eine Übergangsphase von Maschinen, die mit Dutzenden bis Hunderten von Qubits ohne Fehlerkorrektur arbeiten. Experten prognostizieren, dass langfristige Forschung und Entwicklung über 10 bis mehrere Jahrzehnte erforderlich sein werden, um das ultimative Ziel zu erreichen: einen vollständig fehlerkorrigierbaren “fehlertoleranten Quantencomputer (Fault-Tolerant Quantum Computer: FTQC)” .

Kapitel 6: Die Geschichte und Zukunftsaussichten von Quantencomputern

Lassen Sie uns abschließend einen Blick darauf werfen, wie Quantencomputer entstanden sind und wohin sie in Zukunft gehen werden.

Von der Entstehung der Theorie bis zum Nachweis der “Quantenüberlegenheit”

1980er Jahre : Physiker wie Paul Benioff und Richard Feynman schlugen das Konzept eines Computers vor, der die Prinzipien der Quantenmechanik nutzt. Die Bemerkung “Wenn Sie die Natur simulieren wollen, nutzen Sie die Quantenmechanik” war der Ausgangspunkt.
1994 : Peter Shor veröffentlichte einen Quantenalgorithmus für die Primfaktorzerlegung (Shor-Algorithmus). Dies schockierte die Welt und führte dazu, dass enorme Summen an Forschungsgeldern flossen.
1996 : Lov Grover veröffentlichte den Grover-Algorithmus, der die Datensuche beschleunigt.
2019 : Ein historischer Meilenstein. Google gab bekannt, dass es seinen 53-Qubit-Supraleiterprozessor “Sycamore” verwendete, um eine Zufallszahlengenerierungs-Verifizierungsberechnung in etwa 200 Sekunden abzuschließen, die auf einem klassischen Supercomputer 10.000 Jahre dauern würde (so wurde behauptet). Dies sorgte als erste Demonstration der “Quantenüberlegenheit (Quantum Supremacy)” der Welt für großes Aufsehen (später verbesserten IBM und andere den klassischen Supercomputeralgorithmus und es kam zu heißen Debatten mit dem Gegenargument, dass die Berechnung in wenigen Tagen möglich sei).
Ab 2023 : IBM kündigte den “Condor”-Prozessor mit über 1.000 Qubits an. Darüber hinaus meldeten die Harvard University und andere erfolgreiche Erzeugung und Manipulation von “logischen Qubits”, und erste Demonstrationen von Fehlerkorrekturtechnologien werden nach und nach berichtet.

Auf dem Weg zur Technologie der nächsten Generation

Ein Quantencomputer ist nicht einfach eine “CPU der nächsten Generation mit einer höheren Taktfrequenz”. Es ist wirklich ein Paradigmenwechsel in der Informatik, der das Konzept der Berechnung selbst unter Verwendung der Regeln der Quantenmechanik, die die mikroskopische Welt beherrschen, von Grund auf umschreibt.

Wir werden wahrscheinlich zu unseren Lebzeiten keine “persönlichen Quantensmartphones” besitzen, die in unsere Taschen passen (und es besteht auch keine Notwendigkeit dafür). Die Zukunft, in der mächtige Quanten-Rechenzentren auf der anderen Seite von Cloud-Netzwerken wie AWS oder Azure plötzlich Wunderheilmittel für unheilbare Krankheiten entdecken oder saubere Energie-Traummaterialien (wie Katalysatoren, die Ammoniak bei Raumtemperatur aus Stickstoff in der Atmosphäre synthetisieren) zur Lösung der globalen Erwärmung finden, rückt jedoch unweigerlich näher.

Gegenwärtig befinden wir uns noch in den Kinderschuhen, vergleichbar mit dem ENIAC in den 1940er Jahren, der mit Lochkarten betrieben wurde, während die Hitze seiner riesigen Vakuumröhren den Raum aufheizte. Dennoch bündeln weltweit hochkarätige Forscher und Ingenieure ihr Wissen, und täglich werden technische Durchbrüche gemeldet. Wir, die wir diesen Prozess der Evolution der “Morgendämmerung der Berechnung” in Echtzeit miterleben können, leben in einer historisch sehr aufregenden Zeit.

Die Tür zur Quantenwelt hat sich gerade erst geöffnet. Wir müssen die zukünftigen Entwicklungen im Auge behalten.

Dieser Artikel soll die grundlegenden Konzepte des Quantencomputings für Geschäftsleute und die allgemeine, an Technologie interessierte Öffentlichkeit auf verständliche Weise erklären. Bitte beachten Sie, dass einige strenge mathematische und physikalische Definitionen (wie die Details der Bra-Ket-Notation und komplexer Wahrscheinlichkeitsamplituden) vereinfacht wurden.

Die wahre mathematische Struktur des allgemeinen Zahlkörpersiebs (GNFS)

Sat, 05 Sep 2026 02:26:13 +0900

Die wahre mathematische Struktur des allgemeinen Zahlkörpersiebs (GNFS)

Das ultimative Ziel des GNFS ist es, $X, Y$ so zu finden, dass $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$ gilt. Um dies zu erreichen, bauten Mathematiker eine Brücke zwischen der “Welt der reellen ganzen Zahlen” und der “Welt der algebraischen Zahlkörper” . Diese Brücke ist der sogenannte “Homomorphismus”.

Phase 1: Die Welten mit “Homomorphismus” verbinden

1. Auswahl des Polynoms und Definition der Wurzeln

Für eine riesige zusammengesetzte Zahl $N$ wählen wir eine ganze Zahl $m$ und ein Polynom $f(x)$ so, dass $f(m) \equiv 0 \pmod N$ gilt. (Beispiel: Wir entwickeln $N$ zur Basis $m$ und bilden $f(x)$ aus den Koeffizienten. Dabei nehmen wir an, dass $f(x)$ über dem Körper der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ irreduzibel ist (nicht weiter faktorisiert werden kann)).

Als Nächstes definieren wir eine der “komplexen Wurzeln” der Gleichung $f(x) = 0$ als $\alpha$. Natürlich ist $f(\alpha) = 0$. $\alpha$ ist keine ganze Zahl, sondern eine komplexe Zahl, die Wurzeln und imaginäre Zahlen enthält (eine algebraische Zahl).

2. Konstruktion von Ringen und Homomorphismus

Hier bereiten wir zwei mathematische “Ringe” vor (Welten, in denen Addition und Multiplikation definiert sind).

Welt A: $\mathbb{Z}[\alpha]$ (Der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, der $\alpha$ enthält) Eine Zahlenwelt in der Form $a + b\alpha + c\alpha^2 + \dots$.
Welt B: $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (Der Ring der Reste modulo $N$) Eine Kongruenzwelt (Modulo), die nur aus den ganzen Zahlen von $0$ bis $N-1$ besteht.

Hier definieren wir eine Abbildung $\phi$ von Welt A nach Welt B wie folgt: $$\phi : \mathbb{Z}[\alpha] \to \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$$ $$\phi(\alpha) = m \pmod N$$

Diese Abbildung $\phi$ ist eine magische Operation, die exakt die Variable $\alpha$ in Welt A durch die ganze Zahl $m$ in Welt B ersetzt. Dieses $\phi$ besitzt eine extrem mächtige Eigenschaft, die “Ringhomomorphismus” genannt wird. Homomorphismus ist die Eigenschaft, “in eine andere Welt zu teleportieren, ohne die Struktur von Addition und Multiplikation zu zerstören” . Das heißt, die folgenden Gleichungen sind gültig:

$\phi(X \times Y) = \phi(X) \times \phi(Y)$
$\phi(X^2) = \phi(X)^2$

Was bedeutet das? Wenn wir das “Quadrat ($\gamma^2$)” eines komplexen Elements $\gamma$ in “Welt A (der Welt von $\alpha$)” erzeugen und es mithilfe von $\phi$ nach “Welt B (der Restewelt)” teleportieren können, bleibt die quadratische Form $\phi(\gamma)^2$ perfekt erhalten .

Phase 2: Der Zusammenbruch der Primfaktorzerlegung und die Geburt der “Ideale”

In Welt A ($\mathbb{Z}[\alpha]$) wollen wir viele geeignete Elemente $(a - b\alpha)$ sammeln und sie multiplizieren, um ein “perfektes Quadrat (Quadratelement)” zu erzeugen. Normalerweise würden wir jedes gesammelte $(a - b\alpha)$ in Primfaktoren zerlegen und sie so kombinieren, dass die Exponenten der Primzahlen alle gerade sind (durch Lösen mit Matrizen), um ein Quadrat zu bilden.

Jedoch stellt sich hier die verzweifelte Mauer der Algebra in den Weg. In algebraischen Welten wie $\mathbb{Z}[\alpha]$ bricht die “Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung (jede Zahl kann eindeutig als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden)”, die in der Schule gelehrt wird, zusammen .

(Beispiel: In einer bestimmten algebraischen Welt ist $6 = 2 \times 3$, aber gleichzeitig auch $6 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5})$, und wir wissen nicht mehr, welche die wahren Primzahlen sind)

Wenn die Faktorzerlegung nicht eindeutig ist, ist das Rätsel “Primzahlen zählen, um sie gerade zu machen” (die Siebmethode) im Prinzip unmöglich auszuführen.

Die Rettung durch Kummer und Dedekind: “Ideale”

Was diesen Zusammenbruch rettete, war das Konzept des “Ideals (Ideal: ideale Zahl)” , das von Mathematikern des 19. Jahrhunderts geschaffen wurde. Indem man nicht an das Element selbst dachte, sondern an die “Menge der Vielfachen (Ideal)”, die von diesem Element erzeugt wird, wurde die Primfaktorzerlegung wieder möglich.

Im Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers $\mathcal{O}_K$ (ein vollständigerer Ring, der $\mathbb{Z}[\alpha]$ enthält) ist bewiesen, dass selbst wenn ein Element nicht eindeutig faktorisiert werden kann, “ein Ideal immer eindeutig als Produkt von ‘Primidealen ($\mathfrak{p}$)’ faktorisiert werden kann” .

Daher faktorisieren wir im GNFS nicht das Element $(a - b\alpha)$ selbst, sondern das von ihm erzeugte Hauptideal $\langle a - b\alpha \rangle$ in Primideale .

Phase 3: Die Norm und die zwei Siebe

Woher wissen wir also, in welche Primideale das Ideal $\langle a - b\alpha \rangle$ zerfällt? Hier verwenden wir eine Funktion namens “Norm” . Die Norm ist eine Funktion, die komplexe Elemente algebraischer Körper in “normale reelle ganze Zahlen $\mathbb{Z}$” umwandelt.

Die Norm des Elements $(a - b\alpha)$ wird durch eine einfache Polynomrechnung $b^d f(a/b)$ gefunden ($d$ ist der Grad von $f(x)$).

Durch einen algebraischen Satz wissen wir: “Wenn die Norm eines bestimmten Ideals vollständig in kleine Primzahlen zerlegt werden kann (glatt ist), dann kann das ursprüngliche Ideal auch vollständig in kleine Primideale zerlegt werden” .

Daher berechnet GNFS für eine große Anzahl von Ganzzahlpaaren $(a, b)$ gleichzeitig die folgenden zwei Werte und sammelt nur die Paare, bei denen beide zu “glatten Zahlen (smooth numbers)” werden:

Rationales Sieb (Rational Sieve) : $a - bm$ (der Wert in der realen Welt)
Algebraisches Sieb (Algebraic Sieve) : $b^d f(a/b)$ (die Norm in der algebraischen Welt)

Indem wir zig Millionen Paare $(a, b)$ sammeln, bei denen beide glatt sind, lösen wir die Daten der Primidealzerlegung (wie viele Primideale enthalten sind) als riesige Matrix (lineare Algebra über GF(2)), um eine Menge $S$ von Paaren zu finden, sodass “beim Multiplizieren die Exponenten aller Primideale gerade werden”.

Phase 4: Die zwei “Hindernisse” und die Idealklassengruppe

Aus der Matrixberechnung haben wir herausgefunden, dass das Multiplizieren aller Ideale von $(a - b\alpha)$, die zur Menge $S$ gehören, zum Quadrat eines bestimmten Ideals $I$ führt.

$$\prod_{S} \langle a - b\alpha \rangle = I^2$$

Es ist jedoch noch nicht vorbei. Die tiefste und schwierigste mathematische Mauer des GNFS befindet sich hier.

Was wir am Ende wollen, ist nicht das “Quadrat eines Ideals”, sondern das “Quadrat eines Elements ($\gamma^2$)” , das wir in die Abbildung $\phi$ einsetzen können. Nur weil es zum Quadrat eines Ideals wurde, heißt das nicht zwangsläufig, dass das Element selbst ein Quadrat ist. Hier gibt es zwei starke mathematische Hindernisse (Obstructions) .

Hindernis ①: Die Barriere der Idealklassengruppe (Ideal Class Group)

Das Ideal $I$ ist nicht immer ein “Ideal, das von einem einzigen Element erzeugt wird (Hauptideal)”. Es ist unmöglich, ein spezifisches Element $\gamma$ aus einem Ideal zu extrahieren, das kein Hauptideal ist.

Hier kommt das Konzept der “Idealklassengruppe (Class Group, $Cl_K$)” ins Spiel. Die Idealklassengruppe ist eine Gruppe, die misst, “wie viele Ideale in dieser algebraischen Welt existieren, die keine Hauptideale sind (wie sehr die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gebrochen ist)”. Selbst wenn $\prod \langle a - b\alpha \rangle$ zu $I^2$ wird, kann es nicht auf das Quadrat eines Elements zurückgeführt werden, wenn $I$ nicht das Identitätselement (Hauptideal) in der Idealklassengruppe ist.

Hindernis ②: Die Barriere der Einheitengruppe (Unit Group)

Angenommen, durch Glück wäre $I$ das Hauptideal $\langle \gamma \rangle$. Dann hätten wir $\prod \langle a - b\alpha \rangle = \langle \gamma^2 \rangle$. Man könnte denken: “Großartig, das Element ist auch ein Quadrat!”, aber das ist ein großer Irrtum.

Dass Ideale (Mengen von Vielfachen) gleich sind, bedeutet nicht, dass die Elemente perfekt gleich sind. Es wird immer eine Abweichung durch eine “Einheit (Unit: eine Zahl, deren Kehrwert ebenfalls eine ganze Zahl ist. Wie 1 oder -1)” geben. Mit anderen Worten, die eigentliche Elementgleichung sieht so aus:

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = u \cdot \gamma^2$$

($u$ ist ein Element der Einheitengruppe $U_K$)

Wenn diese Einheit $u$ nicht selbst das Quadrat von etwas ist, kann die linke Seite niemals ein “perfektes Quadrat eines Elements” werden.

Phase 5: Adlemans Magie “Quadratische Charaktere” (Quadratic Characters)

Das Hindernis der Idealklassengruppe und das Hindernis der Einheitengruppe. Wie können wir diese beiden überwinden? Hier kommt die brillante Methode der “Quadratischen Charaktere (Quadratic Characters)” ins Spiel, die von dem Kryptographen Leonard Adleman (das “A” von RSA) und anderen eingeführt wurde.

Um festzustellen, “ob ein bestimmtes Element ein perfektes Quadrat im algebraischen Körper ist”, verwenden wir die Zahlkörper-Version des Legendre-Symbols (quadratischer Rest). In dieser riesigen Matrix (dem Rätsel, um die Primidealzählungen gerade zu machen), fügen wir heimlich ein paar Dutzend zusätzliche Bedingungen (Spalten) hinzu, die besagen: “Die quadratischen Charaktere für einige spezielle Primideale $\mathfrak{q}$ müssen ebenfalls alle $1$ (gerade) sein” .

Wenn wir eine Menge $S$ finden, die durch die Matrixberechnung sogar diese zusätzliche Bedingungen erfüllt, garantieren tiefe Sätze aus der algebraischen Zahlentheorie, dass “sowohl das Hindernis der Idealklassengruppe als auch das Hindernis der Einheitengruppe mit überwältigender Wahrscheinlichkeit natürlich verschwinden werden” .

Damit erhalten wir endlich die wahre Gleichung.

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = \gamma^2$$

Letzte Phase: Die Verschmelzung der Welten und der Zusammenbruch der Kryptographie

Endlich sind alle Puzzleteile an ihrem Platz.

[Elemente in der Welt der algebraischen Körper (Welt A)] $\gamma^2 = \prod (a - b\alpha)$ (Wir verwenden einen Quadratwurzel-Algorithmus, um $\gamma$ zu finden)

[Elemente in der realen Welt (Welt der rationalen Zahlen)] $V^2 = \prod (a - bm)$ (Da dies eine einfache Ganzzahlmultiplikation ist, $V$ normal gefunden werden kann)

Nun ist es Zeit für die magische Brücke, die wir zu Beginn gebaut haben, den Homomorphismus $\phi$ . Wir teleportieren das Element $\gamma$ aus Welt A nach Welt B (die Welt der Reste von $N$) mithilfe von $\phi$ (die Abbildung, bei der wir $\alpha$ durch $m$ ersetzen).

$$Y = \phi(\gamma) \pmod N$$

Andererseits bringen wir das in der realen Welt gebaute $V$ direkt in die Restewelt und nennen es $X$.

$$X = V \pmod N$$

Aufgrund der “strukturerhaltenden” Eigenschaft des Homomorphismus bleibt die quadratische Beziehung, die in Welt A galt, in Welt B (der Welt modulo $N$) perfekt erhalten. Da die ursprünglichen Paare $(a, b)$ außerdem in Entsprechung in den Formen $a - b\alpha$ und $a - bm$ erzeugt wurden, kollidieren diese $X$ und $Y$ in der Welt modulo $N$ und erzeugen die folgende absolute Gleichung:

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Alles, was bleibt, ist zu beten, dass diese $X$ und $Y$ keine trivialen Lösungen ($X \equiv \pm Y$) sind, und $\gcd(X - Y, N)$ zu berechnen.

Wenn es sich um eine nicht-triviale Lösung handelt, durchläuft der Euklidische Algorithmus sie in 0,001 Sekunden, und die geheimen Primzahlen $p$ und $q$, die das Herzstück der RSA-Kryptographie bilden, werden auf dem Ausgabebildschirm gedruckt.

Dies ist das vollständige Bild des “Allgemeinen Zahlkörpersiebs (GNFS)” , der Essenz der modernen Mathematik.

Kerckhoffs' Prinzip

Wed, 16 Apr 2025 23:53:08 +0900

“Kerckhoffs’ Prinzip”

Hallo!

Heute möchte ich über etwas sprechen, das ein wenig interessant und tatsächlich extrem wichtig ist, nämlich das “Kerckhoffs’ Prinzip”.

Oh, Moment, Moment.
Einige von euch denken vielleicht: “Ich habe noch nie vom ‘Kerckhoffs’ Prinzip’ gehört, und es klingt ein wenig technisch…”. Bitte macht euch keine Sorgen. Dieser Artikel ist genau das, was ich Leuten wie euch zum Lesen geben möchte.

Was bedeutet “sichere Kryptographie”?

Angenommen, jemand sagt: “Dieser Tresor kann nur von jemandem geöffnet werden, der die geheime Methode zum Öffnen kennt.”

Auf den ersten Blick sieht das sehr sicher aus, oder?
Aber wenn man darüber nachdenkt, ist es nicht ein wenig beunruhigend?

Etwa: “Wenn dieses Geheimnis herauskommt, ist es vorbei?”.

Tatsächlich war dies der Auslöser für das Kerckhoffs’ Prinzip.

Was genau ist das “Kerckhoffs’ Prinzip”?

Ganz einfach ausgedrückt ist es die Idee, dass

“Kryptographie sicher sein sollte, selbst wenn ihre Funktionsweise entdeckt wird.”

Genauer gesagt: “Die Sicherheit sollte sich nur auf den ‘geheimen Schlüssel’ stützen, und die Verschlüsselungsmethode selbst darf öffentlich sein!”.

Umgekehrt gilt: “Ein Zustand, in dem der Verschlüsselungsalgorithmus (Mechanismus) geheim gehalten wird, gilt als wenig zuverlässig”.

“Wenn der Mechanismus geheim ist, ist er sicher” kann ein wenig gefährlich sein

Das ist eine weit verbreitete Denkweise:

“Ich habe niemandem das Innere dieser App gezeigt, also ist die Sicherheit in Ordnung”

Ich verstehe das Gefühl.
Aber das ist so, als würde man sagen: “Niemand sieht hin, also werden keine Schwachstellen gefunden, oder?”.

In Wirklichkeit kann die Tatsache, dass “niemand hinsieht”, an sich schon zu einem Risiko werden.

Aber warum ist dieses Prinzip so wichtig?

Denn wenn jemand den Mechanismus in die Hände bekommt und ihn leicht entschlüsseln kann, ist diese Kryptographie am Ende.

Um einen Vergleich heranzuziehen: Es ist so, als hätte ein Türschloss einen sehr komplexen Mechanismus, könnte aber in Wirklichkeit mit einem Ersatzschlüssel aus dem Ein-Dollar-Laden geöffnet werden.

Es geht nicht darum, dass “der Schlüssel geheim ist, also ist es in Ordnung”, sondern dass “selbst wenn man den ganzen Mechanismus zeigt, kann er ohne den richtigen Schlüssel nicht geöffnet werden”, was wichtig ist.

Das Gefühl “Aber ist das nicht ein bisschen unheimlich?”

Was viele Menschen hier fühlen, ist die Angst,

“Ist es nicht ein bisschen unheimlich, den gesamten Mechanismus offenzulegen?”

Ich verstehe.
Weil man denkt: “Wenn ich das ganze Innere zeige, wird es dann nicht nachgeahmt oder für böse Zwecke genutzt?”.

Aber das ist genau der Kern des Kerckhoffs’ Prinzips.
Die “Stärke, die nicht zusammenbricht, selbst wenn das Innere gezeigt wird” ist die wahre Sicherheit.

Das gesagt, erfordert es am Anfang ein wenig Mut

Aus der Sicht des Entwicklers scheint es, als ob “den Mechanismus veröffentlichen = seine Schwächen offenlegen” ist, also ist es natürlich nervenaufreibend.

Aber denken Sie darüber nach.

Etwas, das man richtig zeigen kann und bei dem man sagen kann: “Jeder kann das überprüfen”, wird letztendlich vertrauenswürdiger sein.

Das ist ähnlich wie bei menschlichen Beziehungen.

“Eine Person, die gut mit dir auskommt, nachdem du dein wahres Ich gezeigt hast”, ist letztendlich am beruhigendsten.

Fazit

Das Kerckhoffs’ Prinzip mag etwas theoretisch klingen, aber seine Essenz ist sehr einfach.

Es geht nur darum, “Lass uns einen Mechanismus erschaffen, der nicht kaputt geht, egal wem du ihn zeigst.”

Richtiges Design anstelle von oberflächlichen Geheimnissen.
Code, für den man sich nicht schämt, ihn zu zeigen, anstelle von Code, den man niemandem zeigen möchte.

Vielleicht wird diese Art von “Stärke” in der kommenden Ära noch mehr gebraucht.

Vielen Dank fürs Lesen!

Sicherheit ist ein etwas schwieriges Thema, aber einige Teile hängen auch mit “Beziehungen zu Menschen” und “alltäglicher Ruhe” zusammen.
Wenn man Stück für Stück lernt, ohne sich überfordert zu fühlen, werden sicher gute Dinge passieren.

P≠NP-Vermutung

Wed, 11 Sep 2024 02:22:39 +0900

Überblick

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Die Klasse P ist die Klasse von Problemen, die in polynomieller Zeit von einer deterministischen Turingmaschine entschieden werden können, und die Klasse NP ist die Klasse von Problemen, bei denen bei Vorliegen eines Beweises (genannt Witness oder Zeuge) für die Antwort "Ja" die Gültigkeit des Witness in polynomieller Zeit beurteilt (das nennt man Verifikation) werden kann. Da in polynomieller Zeit entscheidbare Probleme in polynomieller Zeit verifiziert werden können, ist offensichtlich P⊆NP, aber es ist nicht klar, ob P eine echte Teilmenge von NP ist. Es gibt noch keinen Beweis, aber viele Forscher glauben, dass P≠NP ist. Die Vermutung, dass diese Klasse P und Klasse NP nicht gleich sind, wird als "P≠NP-Vermutung" bezeichnet.

Referenzseite : https://daigakudenki.com/np-hard/

Zitate von Einstein

Sat, 24 Aug 2024 18:38:47 +0900

Hallo!

Heute möchte ich über Zitate von Einstein sprechen.

Schätzt die Welt deine guten Taten nicht?

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Die Welt wird niemals die Millionen von guten Dingen bewerten, die du tust.
Aber sie werden die eine falsche Sache kritisieren, die du tust...
Aber lass dich nicht entmutigen.
"Erhebe dich immer über all das Lachen und die Kritik. Bleib stark."

- Albert Einstein

Dies sind Worte, die angeblich von Einstein gesprochen wurden. Sie weisen scharfsinnig auf die Härte der Gesellschaft hin, die wir jeden Tag spüren, und auf die Voreingenommenheit in den Bewertungen der Menschen.

Dennoch, steh weiter auf

“Erhebe dich immer über all das Lachen und die Kritik. Bleib stark.”

Diese folgenden Worte können als Einsteins Antwort auf die oben erwähnte harte Realität angesehen werden. Sie lehren uns, wie wichtig es ist, Kritik oder Spott nicht nachzugeben und mit dem Glauben an uns selbst weiter voranzuschreiten.

Einsteins Lehren im Alltag anwenden

Dieses Zitat ist eng mit unserem täglichen Leben verbunden. Zum Beispiel kann es Zeiten geben, in denen deine Bemühungen bei der Arbeit nicht anerkannt werden und nur triviale Fehler auffallen. Darüber hinaus können deine Aussagen in den sozialen Medien aus dem Zusammenhang gerissen und kritisiert werden.

In solchen Momenten versuche dich an Einsteins Worte zu erinnern. Es ist wichtig, an seinen eigenen Überzeugungen festzuhalten, anstatt sich über die Bewertungen anderer zu freuen oder traurig zu sein.

Fazit

Dieses Zitat von Einstein lehrt uns, wie wichtig es ist, “zu leben, indem wir an uns selbst glauben, ohne von den Bewertungen anderer beeinflusst zu werden”. Lasst uns den Mut haben, dem Weg zu folgen, an den wir glauben, ohne Kritik oder Spott zu erliegen.

Zum Schluss noch einmal Einsteins Worte.

“Erhebe dich immer über all das Lachen und die Kritik. Bleib stark.”

Ich hoffe, diese Worte finden Resonanz in deinem Herzen und inspirieren dich, einen positiven Schritt nach vorne zu machen.

C-Code zur Generierung von Primzahlen

Sat, 24 Aug 2024 09:38:10 +0900

Nachfolgend finden Sie einen einfachen C-Code, der Primzahlen innerhalb eines bestimmten Bereichs generiert. In diesem Beispiel zählen wir Primzahlen von 1 bis n auf.

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#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool isPrime(int num) {
 if (num <= 1) return false;
 if (num <= 3) return true;
 if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return false;

 for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) {
 if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false;
 }
 return true;
}

void printPrimes(int n) {
 printf("2 ");
 for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
 if (isPrime(i)) {
 printf("%d ", i);
 }
 }
 printf("\n");
}

int main() {
 int n;
 printf("Bitte geben Sie den Maximalwert des Bereichs ein, um Primzahlen zu generieren: ");
 scanf("%d", &n);
 printf("Die Primzahlen von 1 bis %d sind wie folgt:\n", n);
 printPrimes(n);
 return 0;
}

Dieser Code funktioniert wie folgt:

Funktion isPrime: Bestimmt, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist. Aus Effizienzgründen wird zunächst geprüft, ob sie durch 2 und 3 teilbar ist, und dann in Vielfachen von 6 weitergeprüft.
Funktion printPrimes: Gibt die Primzahlen innerhalb eines bestimmten Bereichs aus. Die 2 wird zuerst ausgegeben, und dann werden nur ungerade Zahlen überprüft.
Funktion main: Fordert den Benutzer auf, den Maximalwert des Bereichs einzugeben, und gibt die Primzahlen innerhalb dieses Bereichs aus.

Wenn Sie diesen Code kompilieren und ausführen, werden die Primzahlen innerhalb des angegebenen Bereichs angezeigt.

Geschichte der Mathematik

Sat, 22 Jul 2023 15:25:10 +0900

Die drei klassischen Probleme der Antike

Zu einem gegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat konstruieren (Quadratur des Kreises)
Einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile teilen (Dreiteilung des Winkels)
Zu einem gegebenen Würfel einen Würfel mit doppeltem Volumen konstruieren (Verdoppelung des Würfels)

Archimedische Spirale

In einer Ebene dreht sich ein Halbstrahl OB mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um einen festen Punkt O. Wenn die Ausgangsposition OA ist und gleichzeitig ein Punkt P von O aus startet und sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang OB bewegt, ist die von Punkt P gezeichnete Kurve die Archimedische Spirale.

Satz des Pappos

Zykloide
Konchoide des Nikomedes
Zissoide des Diokles
Tangentenmethode von Fermat
Normalenmethode von Descartes

Chronologie

Jahr	Ereignis
ca. 3400 v. Chr.	Die Sumerer verwenden Tonzählmarken für die Buchhaltung
ca. 3000 v. Chr.	Hieroglyphische Mathematik taucht in Ägypten auf
ca. 2800 v. Chr.	Die Indus-Kultur verwendet dezimale Maße und Gewichte
ca. 2700 v. Chr.	Die Ägypter verwenden Seile und pythagoreische Tripel zur Winkelprüfung
ca. 2500 v. Chr.	Der Abakus, ein Rechenwerkzeug, wird entdeckt
ca. 2500 v. Chr.

Referenz

Geschichte der Mathematik

Die großen Mathematiker

Thu, 22 Sep 2022 23:06:37 +0900

Fermat (P. de Fermat, 1601-1665)

Ein französischer Mathematiker, der das 17. Jahrhundert repräsentiert. Er legte die Grundlagen für die analytische Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Differentialrechnung. Er ist auch der Begründer der Zahlentheorie.

Diophantos (Diophantus, ca. 207-291)

Griechischer Mathematiker. Berühmt für die Einführung von Symbolen und die Erforschung rationaler Lösungen. Sein Hauptwerk ist die “Arithmetica”. Der Bereich, der rationale Lösungen für Gleichungen sucht, wird als diophantische Analyse bezeichnet.

Euler (L. Euler, 1707-1783)

Der in der Schweiz geborene König der Mathematik. Er vollbrachte Leistungen in fast allen Bereichen der Mathematik. Er hinterließ über 700 Abhandlungen und 45 Bücher.

Legendre (A. M. Legendre, 1752-1833)

Französischer Mathematiker. Er hinterließ zahlreiche Errungenschaften in der Zahlentheorie, bei elliptischen Integralen und bei Problemen der Anziehungskraft. Das Wort “Zahlentheorie” stammt von seinem Hauptwerk “Essai sur la théorie des nombres”.

Kummer (E. E. Kummer, 1810-1893)

Deutscher Mathematiker. Er erzielte große Erfolge durch die Anwendung der Zahlentheorie der Kreisteilungskörper auf den Großen Satz von Fermat.

Descartes (R. Descartes, 1596-1650)

Ein origineller französischer Philosoph. Zu seinen wichtigsten Werken gehören “Abhandlung über die Methode”, “Geometrie” und “Kosmologie”.

Pascal (B. Pascal, 1623-1662)

Ein französischer Philosoph, bekannt für seine Forschungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und zu Fluiden. Später schloss er sich den Jansenisten an und widmete sich religiösen Aktivitäten. “Pensées” entstand in dieser Zeit.

Bachet (C. G. Bachet, 1581-1638)

Ein französischer Adliger, der als Hobby Zahlenrätsel studierte. Er veröffentlichte eine lateinische Übersetzung von Diophantos’ “Arithmetica” und fügte seine eigenen Forschungen als Anmerkungen hinzu.

Wallis (J. Wallis, 1616-1703)

Englischer Mathematiker. In seinem Hauptwerk “Arithmetica Infinitorum” gab er dem Konzept des Grenzwerts eine mathematische Form und trug zur Grundlegung der Infinitesimalrechnung bei.

Brouncker (W. Brouncker, 1620-1684)

Irischer Adliger. Erster Präsident der Royal Society. Als Mathematik-Enthusiast interagierte er unter anderem mit Wallis.

Lagrange (J. L. Lagrange, 1736-1813)

In Italien geborener französischer Mathematiker. Als Nachfolger von Euler diente er als Direktor der mathematischen Abteilung der Berliner Akademie. Er brachte große Leistungen in der Zahlentheorie und der analytischen Mechanik hervor.

Siegel (C. L. Siegel, 1896-1981)

Deutscher Zahlentheoretiker. Leistete zahlreiche Beiträge zur analytischen Zahlentheorie.

Fibonacci (L. Fibonacci, ca. 1175-1250)

Italienischer Mathematiker. In seinem Hauptwerk “Liber Abaci” nutzte er hindu-arabische Ziffern und trug zu deren Verbreitung bei. Außerdem diskutierte er in “Liber Quadratorum” über kongruente Zahlen.

Baker (A. Baker, 1939-)

Britischer Zahlentheoretiker. Für seine Beiträge zur Theorie der transzendenten Zahlen wurde er zusammen mit Heisuke Hironaka mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.

Poincaré (J. Poincaré, 1854-1912)

Französischer Mathematiker, der oft als der letzte Universalist der Mathematik bezeichnet wird. Er hinterließ herausragende Werke, unter anderem in der Theorie der automorphen Funktionen, der nichteuklidischen Geometrie, bei Differentialgleichungen, in der Himmelsmechanik, der Elektrodynamik und auch in der Wissenschaftskritik.

Mordell (L. J. Mordell, 1888-1972)

In Amerika geborener Mathematiker. Seine Eltern waren Einwanderer aus Litauen. Er verfasste zahlreiche Abhandlungen über diophantische Gleichungen, aber besonders berühmt ist der Satz von Mordell in der Theorie der elliptischen Kurven. Weil erweiterte diesen auf allgemeine algebraische Kurven, was zu einer explosionsartigen Entwicklung der arithmetischen algebraischen Geometrie führte.

Weil (A. Weil, 1906-)

Jüdisch-französischer Mathematiker. In seinen jungen Jahren interessierte er sich für das Fermat-Problem. Um es auf die Zahlentheorie anzuwenden, überarbeitete er die algebraische Geometrie grundlegend und verlieh ihr eine strenge Grundlage. Er ist auch für seine Arbeiten zur Geschichte der Mathematik bekannt.

Mersenne (M. Mersenne, 1588-1648)

Französischer Priester des Paulanerordens. Er vermittelte den Briefwechsel zwischen Mathematikern verschiedener Regionen. Die nach ihm benannten Mersenne-Zahlen wurden in Wirklichkeit von Fermat erdacht.

Roberval (G. P. de Roberval, 1602-1675)

Französischer Mathematiker. Er war zu seiner Zeit fast der einzige Mathematiker, der eine Professur innehatte, und ist bekannt für seine Studien über die Zykloide.

Abel (N. H. Abel, 1802-1829)

Norwegischer Mathematiker. Erbrachte herausragende Leistungen, wie etwa die Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades, die Theorie der elliptischen Funktionen und die Theorie der Abelschen Integrale, verstarb jedoch in jungen Jahren.

Jacobi (C. G. J. Jacobi, 1804-1851)

Jüdisch-deutscher Mathematiker. Hinterließ große Errungenschaften in der Theorie der elliptischen Funktionen, der Thetafunktionen, der Differentialgleichungen und der Variationsrechnung. Er stellte Abels Arbeiten der Welt vor. Er ist auch dafür bekannt, den Zweck der Wissenschaft als “Ehre des menschlichen Geistes” zu betrachten und den Pragmatismus abzulehnen.

Gauß (C. F. Gauß, 1777-1855)

Der in Deutschland geborene König der Mathematik. Bekannt für Forschungen zur Zahlentheorie, nichteuklidischen Geometrie, Geodäsie, hypergeometrischen Reihen, Flächentheorie und zum Erdmagnetismus. Als Perfektionist soll er Ergebnisse nicht veröffentlicht haben, bis sie einen Vollkommenheitsgrad erreicht hatten, bei dem das Gerüst nicht mehr sichtbar war. Zu seinen Hauptwerken gehört “Disquisitiones Arithmeticae”.

Lamé (G. Lamé, 1795-1870)

Französischer Mathematiker. Leistete Beiträge zur Elastizitätstheorie und Wärmeleitungstheorie.

Liouville (J. Liouville, 1809-1882)

Französischer Mathematiker. Trug zu Differentialgleichungen, der Theorie transzendenter Zahlen und der Funktionentheorie bei.

Cauchy (A. L. Cauchy, 1789-1857)

Französischer Mathematiker. Äußerst produktiv, mit vielen Errungenschaften in der theoretischen Physik und der Mathematik. In Frankreich soll er fast so sehr respektiert werden wie Gauß.

Galois (É. Galois, 1811-1832)

Französischer Mathematiker. Erklärte Abels Satz, dass Gleichungen ab dem fünften Grad im Allgemeinen nicht algebraisch lösbar sind, indem er das Konzept der Gruppe einführte. Er fiel jung in einem Duell, von dem heute bekannt ist, dass es durch eine triviale Liebesaffäre ausgelöst wurde.

Hensel (K. Hensel, 1861-1941)

Deutscher Mathematiker. Ein Schüler von Kronecker. Er wandte funktionentheoretische Methoden an, um die Theorie der p-adischen Zahlen (p-adische Analysis) in die Zahlentheorie einzuführen.

Hasse (H. Hasse, 1898-1979)

Deutscher Mathematiker. Ein Schüler von Hensel, der zur Fundierung und Anwendung der p-adischen Analysis beitrug. Zu seinen Arbeiten gehören die Weiterentwicklung der Klassenkörpertheorie und Studien zu den L-Funktionen elliptischer Kurven.

Kronecker (L. Kronecker, 1823-1891)

Jüdisch-deutscher Mathematiker. Leistete Beiträge zur Theorie elliptischer Funktionen und zur Zahlentheorie. Er ist auch dafür bekannt, eine arithmetische Fundierung der Mathematik vorzuschlagen, aber seine stark subjektive Persönlichkeit verlieh seinem Leben ein negatives Image. So übte er ungerechtfertigte Kritik an seinem Kollegen Weierstraß an der Universität Berlin und behinderte die Anstellung von Cantor.

Hilbert (D. Hilbert, 1862-1943)

Deutscher Mathematiker. Hinterließ gigantische Spuren in allen Bereichen der Mathematik, einschließlich der Invariantentheorie, der algebraischen Zahlentheorie und der Grundlagen der Mathematik. Die 23 Probleme, die er auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris (1900) vorschlug, hatten einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik.

Riemann (B. Riemann, 1826-1866)

Deutscher Mathematiker. Erbrachte bedeutende Leistungen, die die Grundlagen der Mathematik betrafen, wie etwa das Konzept der Riemannschen Fläche in der Theorie komplexer Funktionen und die Riemannsche Geometrie.

Faltings (G. Faltings, 1954-)

Deutscher Mathematiker. Löste 1983 die Mordell-Vermutung.

Wiles (A. Wiles, 1953-)

In Großbritannien geborener Mathematiker. Eine führende Persönlichkeit auf diesem Gebiet, der große Beiträge durch seine Forschungen zur Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie und zur Birch-und-Swinnerton-Dyer-Vermutung leistete.

Quellenangaben

Der große Satz von Fermat wurde gelöst! Vom Beweis Eulers bis zu dem von Wiles (Kodansha)