رياضيات on kenji.blog

【فهم كامل بالمعادلات】 لماذا يُهزم «GNFS» الكلاسيكي الأقوى أمام الخوارزميات الكمية؟ نقلة نوعية في تحليل العوامل الأولية

Sun, 06 Sep 2026 12:00:00 +0900

تتم حماية أمن المعلومات في مجتمع الإنترنت الحديث بواسطة التشفير بالمفتاح العام، مثل تشفير RSA. يعتمد أساس أمان تشفير RSA على حقيقة أن “التحليل إلى العوامل الأولية للأرقام المركبة الضخمة يمثل صعوبة بالغة من الناحية الحسابية” .

في هذا المقال، سنكشف عن الآلية الرياضية لـ “منخل حقل الأعداد العام” (GNFS)، وهو أقوى خوارزمية تحليل للعوامل الأولية للكمبيوتر الكلاسيكي، ونتعمق في سبب هزيمتها تمامًا بواسطة “خوارزمية شور” التي اكتشفها بيتر شور. سوف نستكشف هذه النقلة النوعية بعمق باستخدام المعادلات الرياضية والرسوم التوضيحية المفاهيمية.

1. نهج التحليل إلى العوامل في الحوسبة الكلاسيكية: التطور من طريقة فيرما للتحليل إلى العوامل

مشكلة التحليل إلى العوامل الأولية هي مشكلة إيجاد الأعداد الأولية $p, q$ بحيث يكون $N = p \times q$ لعدد مركب $N$ محدد.

تتلخص الفكرة الأساسية في إيجاد $x, y$ غير بديهية تلبي معادلة التطابق التالية:

$$ x^2 \equiv y^2 \pmod N $$

إذا قمنا بتعديل ذلك، نحصل على:

$$ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod N $$ $$ (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod N $$

هنا، إذا كان $x \not\equiv \pm y \pmod N$، يمكننا الحصول على عامل غير بديهي لـ $N$ عن طريق حساب $\gcd(x-y, N)$ أو $\gcd(x+y, N)$. هذه الحقيقة هي أساس خوارزميات التحليل الحديثة مثل GNFS.

2. أقوى الخوارزميات الكلاسيكية: أعماق “منخل حقل الأعداد العام” (GNFS)

يعد “GNFS” أسرع خوارزمية تحليل للعوامل الأولية معروفة لأجهزة الكمبيوتر الكلاسيكية اليوم. يستغرق تعقيد الوقت الخاص بها وقتًا شبه أسي (Sub-exponential).

تعقيد GNFS

بافتراض أن عدد أرقام $N$ هو $b = \log_2 N$، يمكن التعبير عن تعقيد GNFS على النحو التالي:

$$ O\left( \exp \left( \left(\frac{64}{9} b\right)^{1/3} (\log b)^{2/3} \right) \right) $$

كما يتضح من هذه المعادلة، التعقيد ليس وقتًا كثير الحدود، بل “وقت شبه أسي” أبطأ قليلاً من الدالة الأسية. ومع ذلك، مع زيادة عدد الخانات، سيزداد وقت الحساب بشكل فلكي.

الآلية الرياضية لـ GNFS

تتكون GNFS بشكل رئيسي من 4 خطوات:

اختيار كثيرات الحدود (Polynomial Selection)
الغربلة (Sieving)
تقليل المصفوفة (Matrix Reduction)
حساب الجذر التربيعي (Square Root)

2.1. اختيار كثيرات الحدود والحقل الجبري

أولاً، نختار كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال $f(x)$ و $g(x)$ بمعاملات صحيحة. يتم تعيينها ليكون لها جذر مشترك $m$ مقياس $N$. أي:

$$ f(m) \equiv 0 \pmod N $$ $$ g(m) \equiv 0 \pmod N $$

عادة، يتم اختيار $g(x)$ ككثيرة حدود من الدرجة الأولى $g(x) = x - m$. إذا جعلنا جذر $f(x)$ هو $\alpha$, يتشكل “حقل جبري” (Number Field) يسمى $\mathbb{Q}(\alpha)$. نقارن العمليات في حلقة $\mathbb{Q}(\alpha)$ مع العمليات في حلقة الأعداد الصحيحة العادية $\mathbb{Z}$ من خلال تشاكل $\phi: \alpha \mapsto m$.

2.2. الغربلة (Sieving)

بعد ذلك، نبحث عن عدد كبير من أزواج الأعداد الصحيحة الأولية نسبياً $(a, b)$. الهدف هو إيجاد أزواج بحيث تكون كلتا القيمتين التاليتين “B-smooth” (تتكون فقط من عوامل أولية صغيرة نسبياً):

$a - bm$ (القيمة على حلقة الأعداد الصحيحة)
$b^d f(a/b)$ (يتوافق مع المعيار $N(a - b\alpha)$ في الحقل الجبري)

هنا، يتم استخدام طريقة بحث سريعة تسمى “المنخل” (Sieve). يتيح ذلك استخراج أزواج $(a, b)$ بكفاءة والتي تلبي الشروط من بين عدد هائل من المرشحين.

2.3. تقليل المصفوفة (Linear Algebra over GF(2))

من الأزواج المُجمَّعة $(a, b)$، نقوم بتشكيل متجهات أسية وإيجاد الفضاء الصفري الأيسر لمصفوفة متفرقة ضخمة على $\mathbb{F}_2$ (حقل بعناصر 0 و 1 فقط).

نجد متجهاً للحل $v$ بحيث تصبح العلاقات $ \prod (a_i - b_i m) $ و $ \prod (a_i - b_i \alpha) $ كل منها مربعاً كاملاً. هذا ليس سوى حل لنظام من المعادلات الخطية:

$$ M \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \pmod 2 $$

هنا، يتم استخدام خوارزميات الحساب العددي المتقدمة مثل خوارزمية Block Lanczos أو Block Wiedemann.

2.4. حساب الجذر التربيعي

أخيراً، نأخذ الجذر التربيعي من كل من الحقل الجبري وحلقة الأعداد الصحيحة، ونستنتج العلاقة $x^2 \equiv y^2 \pmod N$. ثم، نحسب $\gcd(x-y, N)$ ونحصل على العامل.

3. اختراق الحوسبة الكمية: “خوارزمية شور”

بينما يتطلب GNFS وقتاً شبه أسي، فإن “خوارزمية شور” التي نشرها بيتر شور في عام 1994 يمكن أن تحل هذه المشكلة في “وقت كثير الحدود” باستخدام كمبيوتر كمي.

تعقيد خوارزمية شور

إذا افترضنا أن عدد الكيوبت هو $O(\log N)$، فإن تعقيد الوقت يكون:

$$ O((\log N)^3) $$

هذا يعني أنه لا يوجد انفجار أسي بالنسبة لعدد البتات. إنها نتيجة مذهلة حيث يمكن للأعداد المركبة الضخمة التي يتجاوز وقت حسابها في “الحوسبة الكلاسيكية” عمر الكون، أن يتم حلها في غضون ساعات إلى أيام باستخدام “الحوسبة الكمية” .

نظرة عامة على خوارزمية شور: الاختزال إلى مشكلة إيجاد الدورة

تختزل خوارزمية شور مشكلة التحليل إلى العوامل الأولية ببراعة إلى “مشكلة إيجاد الدورة” .

اختر عدداً صحيحاً عشوائياً $a$ أولي نسبياً مع $N$ (حيث $1 < a < N$).
عرّف الدالة $f(x) = a^x \bmod N$.
أوجد الدورة $r$ للدالة $f(x)$، أي أصغر عدد صحيح موجب $r$ بحيث $a^r \equiv 1 \pmod N$.
إذا كان $r$ عدداً زوجياً، تحقق مما إذا كان $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$， واحسب $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ للحصول على العامل الأولي.

هذه الخطوة 3، أي “اكتشاف الدورة $r$” ، هي عنق الزجاجة الذي يتطلب وقتاً أسياً على الكمبيوتر الكلاسيكي، لكن الكمبيوتر الكمي يحلها في لحظة باستخدام “التراكب الكمي” و “تحويل فورييه الكمي” (QFT).

4. تحويل فورييه الكمي (QFT) واستخراج الدورة

دعونا نلقي نظرة فاحصة على العمليات الرياضية للحالات الكمية التي هي جوهر خوارزمية شور.

4.1. توليد التراكب الكمي

أولاً، قم بإعداد سجلي كم (Registers). يحتفظ السجل 1 بحالة التراكب للمدخل $x$، ويحتفظ السجل 2 بنتيجة الحساب للدالة $f(x)$. قم بتطبيق تحويل هادامار (Hadamard Transform) على الحالة الأولية $|0\rangle |0\rangle$ لإنشاء تراكب لجميع قيم $x$ الممكنة.

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |0\rangle $$

(حيث $Q$ هو قوة للعدد 2 تلبي $N^2 \le Q < 2N^2$)

بعد ذلك، استخدم وسيط كمي (Quantum Oracle) $U_f$ لحساب $f(x) = a^x \bmod N$ وتخزينه في السجل 2.

$$ |\psi_2\rangle = U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |a^x \bmod N\rangle $$

لنفترض الآن أنه تم قياس السجل 2 (من الناحية النظرية، حتى لو لم يتم قياسه، فإن البنية الرياضية هي نفسها). إذا تم ملاحظة قيمة معينة $y = a^{x_0} \bmod N$، فإن حالة السجل 1 ستنهار إلى تراكب لجميع $x$ التي تجعل $f(x) = y$. إذا افترضنا أن الدورة هي $r$، فإن مثل هذه الـ $x$ ستكون $x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, \dots$

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k=0}^{M-1} |x_0 + kr\rangle $$

(حيث $M \approx Q/r$ هو عدد الحدود)

تحتوي هذه الحالة على معلومات الدورة $r$، لكن القياس المباشر سينتج فقط $x_0 + kr$ عشوائية، ولن تُعرف الدورة $r$. هنا يأتي دور QFT.

4.2. تطبيق تحويل فورييه الكمي (QFT)

QFT هي عملية تطبق تحويل فورييه المتقطع على السعات للحالات الكمية. يُعرَّف تأثير QFT على الحالة $|x\rangle$ على النحو التالي:

$$ \text{QFT} |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} e^{2\pi i \frac{xy}{Q}} |y\rangle $$

عند تطبيق ذلك على $|\psi_3\rangle$، يحدث تداخل الطور (تداخل كمي).

$$ |\psi_4\rangle = \text{QFT} |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{MQ}} \sum_{y=0}^{Q-1} \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{(x_0 + kr)y}{Q}} |y\rangle $$

إذا قمنا بتوسيع المجموع في هذه المعادلة، يظهر الجزء التالي:

$$ \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{kry}{Q}} $$

مجموع المتسلسلة الهندسية هذا يعزز بعضه البعض (تداخل بنّاء Constructive Interference) فقط عندما يكون $ry/Q$ قريباً من عدد صحيح، ويلغي بعضه البعض (تداخل هدّام Destructive Interference) في أوقات أخرى.

لذلك، ستكون الحالة $|y\rangle$ المقاسة باحتمالية عالية عبارة عن عدد صحيح $y$ يلبي:

$$ \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

(حيث $c$ هو أي عدد صحيح).

4.3. تحديد الدورة عن طريق توسيع الكسر المستمر

بعد الحصول على $y$ من خلال القياس، استخدم كمبيوتراً كلاسيكياً لإجراء “توسيع الكسر المستمر” (Continued Fraction Expansion) على $y/Q$. يتيح ذلك حساب الكسر التقريبي $c/r$ للـ $y/Q$ واستخراج الدورة المحتملة $r$ من المقام بكفاءة عالية.

5. مقارنة النماذج المفاهيمية والنقلة النوعية

لفهم الاختلاف بين GNFS وخوارزمية شور بشكل بديهي، يوضح الرسم المفاهيمي باستخدام تدوين Mermaid.

رسم مفاهيمي لخوارزمية شور باستخدام دارة كمية

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13


graph TD
 A[الحالة الأولية: 0...0] --> B[تراكب جميع الحالات بتحويل هادامار]
 B --> C[عملية الأس المعياري a^x mod N]
 C -->|التشابك الكمي| D[الانهيار إلى حالة ذات دورية]
 D --> E[تحويل فورييه الكمي QFT]
 E -->|تضخيم الاحتمالية عبر التداخل| F[القياس: الحصول على y]
 F --> G[المعالجة الكلاسيكية: الكسر المستمر]
 G --> H[اكتشاف الدورة r]
 H --> I[حساب العامل الأولي لـ N]

 style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
 style E fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
 style I fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

جوهر النقلة النوعية

يتخذ GNFS نهج “البحث عن علاقات داخل الفضاء الرياضي (الحقل الجبري)” . ومع ذلك، نظراً لأن مساحة البحث تتسع أسيًا مع عدد الأرقام، يصبح فك التشفير مستحيلاً تقريباً لطول مفتاح يتجاوز 2048 بتاً باستخدام قدرة الحوسبة الكلاسيكية (حتى مع المعالجة المتوازية).

من ناحية أخرى، تستفيد خوارزمية شور من “الطبيعة الموجية للتداخل الكمي” . فهي تقيّم جميع مسارات الحساب في حالة التراكب في وقت واحد، وتلغي (تُضعف) الإجابات غير الضرورية باستخدام QFT، وتضخم فقط سعة الاحتمال للدورة الصحيحة. بذلك، لا يبحث هذا النهج في المساحة، بل يتبنى بعداً مختلفاً تماماً: “جعل الإجابة الصحيحة تطفو على السطح” .

6. الخلاصة

في هذا المقال، قارنا بعمق الخلفية الرياضية وهيكل الخوارزمية بين “GNFS” الذي يمثل أقصى حدود الحوسبة الكلاسيكية، و “خوارزمية شور” التي تُظهر قوة الحوسبة الكمية.

في حين استخدم GNFS تقنيات رياضية مثل اختيار كثيرات الحدود وحسابات المصفوفات الضخمة لدفع التعقيد نحو وقت شبه أسي، حققت خوارزمية شور اختراقاً مباشراً إلى وقت كثير الحدود من خلال الجمع بين المبادئ الأساسية لميكانيكا الكم من التراكب والتداخل مع أداة رياضية (QFT).

في الوقت الحالي، لا يوجد كمبيوتر كمي متسامح مع الأخطاء (FTQC) على نطاق عملي (آلاف الكيوبتات) قادر على تشغيل خوارزمية شور. ومع ذلك، فإن وجود هذه النقلة النوعية النظرية والرياضية هو بالتحديد السبب الأكبر وراء تسريع الانتقال إلى التشفير ما بعد الكمي (PQC: Post-Quantum Cryptography) في جميع أنحاء العالم اليوم.

"تشريح كامل" فهم أقوى خوارزمية لتحليل التشفير "GNFS" عن طريق تنفيذها بلغة C++

Sat, 05 Sep 2026 13:04:59 +0900

“تشريح كامل” فهم أقوى خوارزمية لتحليل التشفير “GNFS” عن طريق تنفيذها بلغة C++

يدعم “تشفير RSA” أسس الإنترنت الحديث. يعتمد أمانه على الاعتقاد الرياضي بأنه “من المستحيل عمليا على أجهزة الكمبيوتر الحالية تحليل عدد مركب عملاق إلى عوامله الأولية”.

ومع ذلك، لم تستسلم البشرية أبدا. حاليا، يوجد ** أقوى وأحدث خوارزمية ** للبشرية لتحليل الأعداد الأولية الضخمة على أجهزة الكمبيوتر الكلاسيكية (أجهزة الكمبيوتر العادية، وليست الكمومية). تسمى هذه الخوارزمية ** “غربال حقل الأعداد العام (GNFS: General Number Field Sieve)” **.

في هذه المقالة، سننشر الكود المصدري بالكامل بلغة C++ (باستخدام أعداد صحيحة متعددة الدقة boost::multiprecision من مكتبة Boost) والذي يجسد بشكل دقيق منطق الحوسبة المتقدم لهذه الخوارزمية، وسنشرح بعمق “نظرية الأعداد الجبرية” التي تقف وراءها.

يرجى الاستمتاع بأسرار الرياضيات وقوة علوم الكمبيوتر التي تقهرها مع الكود المصدري.

1. إطار عمل GNFS المتقدم (الكود المصدري الكامل)

أولا، سنقدم الصورة الكاملة لتنفيذ GNFS بلغة C++ الذي سنشرحه هنا. نظام غربال حقل الأعداد الفعلي (مثل CADO-NFS) هو نظام موزع ضخم يحتوي على مئات الآلاف من أسطر التعليمات البرمجية. ومع ذلك، يقوم هذا الكود باستخراج ** “5 مسارات (مراحل) أساسية” ** تشكل GNFS، وتصميمها كفئات، ونمذجتها في تكوين أدنى دون فقدان معناها الرياضي.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227


#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <chrono>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

// استخدام الأعداد الصحيحة متعددة الدقة Boost.Multiprecision
using namespace boost::multiprecision;

// ============================================================================
// [SOTA GNFS] General Number Field Sieve إطار عمل منطقي متقدم
//
// يصمم هذا الكود بشكل دقيق المراحل الخمسة لـ GNFS الحديث
// المستخدم في CADO-NFS وغيرها، كفئات C++ (Boost).
// ============================================================================

struct Relation {
 int64_t a;
 int64_t b;
 std::vector<uint32_t> rational_primes;
 std::vector<uint32_t> algebraic_primes;
};

// ============================================================================
// المرحلة 1: اختيار كثير الحدود (خوارزمية KleinJung)
// ============================================================================
class PolynomialSelector {
public:
 int degree;
 std::vector<cpp_int> f; // كثير الحدود الجبري f(x)
 std::vector<cpp_int> g; // كثير الحدود النسبي g(x) = x - m
 cpp_int m;

 PolynomialSelector(int d) : degree(d) {}

 // توليد كثير الحدود الأولي بناء على توسيع الأساس m (في الواقع يتم استخدام تقليص قاعدة الشبكة LLL الأكثر تقدما)
 void select(const cpp_int& N) {
 std::cout << "[المرحلة 1] اختيار كثير الحدود (الدرجة " << degree << ") يبدأ..." << std::endl;
 // توسيع أساس m بسيط (الدرجة d)
 // m = N^(1/d)
 cpp_int N_copy = N;
 m = 1;
 // تقريب بسيط لـ m (بدون استخدام دوال Boost)
 cpp_int low = 1, high = N;
 while (low <= high) {
 cpp_int mid = low + (high - low) / 2;
 cpp_int p = 1;
 for(int i=0; i<degree; ++i) p *= mid;
 if (p <= N) { m = mid; low = mid + 1; }
 else { high = mid - 1; }
 }

 f.resize(degree + 1);
 cpp_int temp = N;
 for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
 f[i] = temp % m;
 temp /= m;
 }

 g = {-m, 1}; // g(x) = x - m

 std::cout << " -> m = " << m << std::endl;
 std::cout << " -> f(x) = ";
 for(int i = degree; i >= 0; --i) {
 std::cout << f[i] << "x^" << i << (i > 0 ? " + " : "");
 }
 std::cout << "\n[المرحلة 1] اكتملت." << std::endl;
 }
};

// ============================================================================
// المرحلة 2: غربال الشبكة (Lattice Sieving)
// ============================================================================
// لا يستخدم GNFS الحديث Line Sieve، بل يستخدم
// Special-q Lattice Sieving الذي طوره Franke-Kleinjung كمعيار.
class LatticeSieve {
 uint32_t rational_bound;
 uint32_t algebraic_bound;
 std::vector<uint32_t> rational_fb;
 std::vector<uint32_t> algebraic_fb;

public:
 LatticeSieve(uint32_t rb, uint32_t ab) : rational_bound(rb), algebraic_bound(ab) {}

 void generate_factor_bases() {
 std::cout << "[المرحلة 2] توليد قواعد العوامل (الحد النسبي: " << rational_bound << "، الحد الجبري: " << algebraic_bound << ")" << std::endl;
 // (محذوف) في الواقع يتم توليد الأعداد الأولية والتصفية باستخدام رموز Legendre
 }

 std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
 std::cout << "[المرحلة 2] Special-q Lattice Sieving نشط..." << std::endl;
 std::vector<Relation> relations;
 // تنفيذ وهمي: يقوم غربال الشبكة الفعلي بمسح مئات الجيجابايت من الذاكرة في كتل
 // يتم تعيين الأزواج (a, b) لشبكة (a = i*q + j*...) لكل عدد أولي خاص q،
 // ويتم تشغيل غربلة ترفع كفاءة ذاكرة التخزين المؤقت إلى أقصى حد.

 // إضافة علاقة وهمية واحدة للتوضيح
 Relation r; r.a = 17; r.b = 3;
 r.rational_primes = {2, 5};
 r.algebraic_primes = {3, 7};
 relations.push_back(r);

 std::cout << "[المرحلة 2] تم العثور على " << relations.size() << " علاقة." << std::endl;
 return relations;
 }
};

// ============================================================================
// المرحلة 3: التصفية (إزالة الفردية ودمج الزمرة)
// ============================================================================
class Filter {
public:
 void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
 std::cout << "[المرحلة 3] تصفية العلاقات..." << std::endl;
 // 1. إزالة الفردية (إزالة العلاقات التي تحتوي على أعداد أولية تظهر مرة واحدة فقط)
 // 2. دمج الزمرة (دمج العلاقات لتحويل مصفوفة متفرقة إلى كثيفة)
 // في الواقع يتم ضغط مصفوفات بمئات الملايين من الصفوف إلى بضعة ملايين باستخدام خوارزميات مثل Union-Find.
 std::cout << "[المرحلة 3] تم تقليل حجم المصفوفة بشكل مثالي." << std::endl;
 }
};

// ============================================================================
// المرحلة 4: الجبر الخطي فوق GF(2) (طريقة Block Wiedemann)
// ============================================================================
class LinearAlgebraGF2 {
public:
 // في بيئات الحواسيب العملاقة الحديثة، وبدلا من طريقة Block Lanczos،
 // تُستخدم طريقة Block Wiedemann (تنفيذ Coppersmith) الملائمة للحوسبة الموزعة كأحدث تقنية.
 std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
 std::cout << "[المرحلة 4] خوارزمية Block Wiedemann فوق GF(2) تبدأ..." << std::endl;
 // التكرار على حسابات ضرب المصفوفة المتفرقة في المتجه،
 // والعثور على متجهات الحلول (نواة) بحيث M * x = 0 mod 2.

 std::vector<std::vector<int>> dependencies; // قائمة التبعيات
 // بيانات وهمية
 dependencies.push_back({0});

 std::cout << "[المرحلة 4] تم العثور على " << dependencies.size() << " تبعيات خطية (مربعات كاملة)." << std::endl;
 return dependencies;
 }
};

// ============================================================================
// المرحلة 5: الجذر التربيعي الجبري (Algebraic Square Root)
// ============================================================================
class AlgebraicSquareRoot {
public:
 void compute_and_factor(const std::vector<Relation>& relations, const std::vector<int>& dep, const cpp_int& N) {
 std::cout << "[المرحلة 5] حساب الجذر التربيعي الجبري..." << std::endl;

 // 1. حساب الجذر التربيعي النسبي V
 cpp_int V = 1;
 // V = sqrt( prod(a - bm) ) mod N

 // 2. حساب الجذر التربيعي الجبري gamma (باستخدام طريقة Montgomery، إلخ)
 // العثور على العنصر gamma في الحقل الجبري الضخم O_K وتحويله إلى العالم الحقيقي باستخدام التماثل phi
 // Y = phi(gamma) mod N
 cpp_int Y = 1;

 // نفترض أنه تمت إضافة سلسلة من الرموز التربيعية (Quadratic Characters) في المرحلتين 2 و 4
 // لتجنب عقبات (Obstruction) مجموعة أصناف المثاليات ومجموعة الوحدات.

 std::cout << " -> تم تطبيق التماثل phi." << std::endl;
 std::cout << "[المرحلة 5] جار حساب القاسم المشترك الأكبر (V - Y, N)..." << std::endl;

 cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)

 if (factor > 1 && factor < N) {
 std::cout << "\n================================================================" << std::endl;
 std::cout << "[نجاح] تم العثور على عامل غير بديهي: " << factor << std::endl;
 std::cout << " العامل الآخر: " << N / factor << std::endl;
 std::cout << "================================================================" << std::endl;
 } else {
 std::cout << "[فشل] حل بديهي. جاري تجربة التبعية التالية..." << std::endl;
 }
 }
};

// ============================================================================
// مسار التنفيذ الرئيسي
// ============================================================================
int main() {
 std::cout << "================================================================" << std::endl;
 std::cout << " [SOTA GNFS] محرك General Number Field Sieve (Boost C++) " << std::endl;
 std::cout << "================================================================" << std::endl;

 // عدد مركب ضخم N نريد تحليله، مثل RSA-270
 cpp_int N("233108530344407544527637656910680524145619812480305449042948611968495918245135782867888369318577116418213919268572658314913060672626911354027609793166341626693946596196427744273886601876896313468704059066746903123910748277606548649151920812699309766587514735456594993207");

 // درجة كثير الحدود (عادة يتم اختيار درجة 5 إلى 6 للأرقام الأكبر من 130 رقما)
 int degree = 6;

 // تهيئة المسار
 PolynomialSelector poly_select(degree);
 LatticeSieve sieve(10000000, 20000000); // الحدود الفعلية بعشرات الملايين
 Filter filter;
 LinearAlgebraGF2 linalg;
 AlgebraicSquareRoot sqrt_step;

 auto start_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();

 // 1. اختيار كثير الحدود
 poly_select.select(N);

 // 2. معالجة الغربلة (sieve)
 sieve.generate_factor_bases();
 std::vector<Relation> relations = sieve.sieve(poly_select);

 // 3. التصفية (ضغط المصفوفة)
 filter.reduce_matrix(relations);

 // 4. الجبر الخطي (البحث في الفضاء الفارغ فوق GF(2))
 std::vector<std::vector<int>> dependencies = linalg.solve_nullspace(relations);

 // 5. حساب الجذر التربيعي الجبري و GCD
 for (const auto& dep : dependencies) {
 sqrt_step.compute_and_factor(relations, dep, N);
 }

 auto end_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();
 std::chrono::duration<double> elapsed = end_time - start_time;
 std::cout << "\n[النظام] اكتمل مسار SOTA GNFS في " << elapsed.count() << " ثانية." << std::endl;

 return 0;
}

إذن، كيف يقوم هذا الكود بتحطيم جدران التشفير؟ سنقوم بتقسيم وشرح الخوارزميات الدقيقة والرياضيات المتقدمة لكل من المراحل الخمس.

2. الهدف النهائي لـ GNFS: $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$

ليس فقط GNFS، بل إن هدف معظم الخوارزميات الحديثة لتحليل الأعداد العملاقة هو العثور على زوج غير بديهي $(X, Y)$ يحقق المعادلة التطابقية التالية:

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

تعني هذه المعادلة أن “باقي قسمة $X^2$ و $Y^2$ على $N$ متساويان”. بإعادة صياغتها: $X^2 - Y^2 \equiv 0 \pmod N$ بمعنى آخر، $(X-Y)(X+Y)$ هو مضاعف لـ $N$.

إذا كان $X \not\equiv \pm Y \pmod N$ (حل غير بديهي)، فهذا يعني أن هناك “قاسما مشتركا أكبر من 1 وأصغر من $N$” بين $(X-Y)$ و $N$. هنا، إذا استخدمنا خوارزمية إقليدس لحساب ** $\gcd(X-Y, N)$ **، فيمكننا بسهولة إيجاد العامل الأولي لـ $N$.

ومع ذلك، فإن العثور على $X$ و $Y$ يشبه البحث عن إبرة في الصحراء. لذلك، يتخذ GNFS نهجا عبقريا من خلال توزيع الحسابات عن طريق إنشاء ** عالمين **: “عالم الأعداد الصحيحة الحقيقية” و “عالم الحقول الجبرية لكثيرات الحدود”.

3. المرحلة 1: اختيار كثير الحدود (Polynomial Selection)

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12


class PolynomialSelector {
 // ...
 void select(const cpp_int& N) {
 // حساب m = N^(1/d) والتوسيع بأساس m
 // ...
 for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
 f[i] = temp % m;
 temp /= m;
 }
 g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
 }
};

الخطوة الأولى في GNFS هي إنشاء “كثير حدود سحري” لربط العالمين. بالنسبة للعدد الضخم $N$، نختار عددا صحيحا $m$. عادة نختار $m \approx N^{1/d}$ (في الكود يُفترض كثير حدود من الدرجة $d=6$).

ثم نقوم بتوسيع $N$ للأساس $m$، ونستخدم معاملاته لبناء كثير الحدود $f(x)$:

$$N = c_d m^d + c_{d-1} m^{d-1} + \dots + c_1 m + c_0$$ $$f(x) = c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \dots + c_1 x + c_0$$

يتمتع كثير الحدود $f(x)$ بخصائص مهمة للغاية وهي ** “إذا عوضنا $m$ في المتغير $x$، فإن القيمة ستكون بالضبط $N$ ($f(m) = N$)” **. وبعبارة أخرى، $f(m) \equiv 0 \pmod N$. يتم تعريف كثير الحدود النسبي على أنه $g(x) = x - m$.

نتيجة لذلك، يتم ربط ** “عالم الحقل الجبري $\mathbb{Z}[\alpha]$” ** المحكوم بجذور $\alpha$ لـ $f(x)=0$ مع ** “عالم الأعداد النسبية (الصحيحة) $\mathbb{Z}$” ** المعتاد من خلال تماثل الحلقات $x \to m$.

في أنظمة مثل CADO-NFS، يتم استخدام خوارزمية KleinJung وخوارزمية تقليص قاعدة الشبكة LLL للبحث عن “أفضل كثير حدود $f(x)$” لا تكون معاملاته كبيرة جدا وتظهر فيه الأعداد الأولية بسهولة في الخطوات اللاحقة. يستغرق هذا البحث أشهرا.

4. المرحلة 2: غربلة الشبكة الخاصة (Special-q Lattice Sieving)

1
2
3
4
5
6
7
8
9


class LatticeSieve {
 // ...
 std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
 // ...
 // يتم تعيين أزواج (a, b) في شبكة لكل عدد أولي خاص q،
 // وتشغيل غربال يحقق أقصى كفاءة لذاكرة التخزين المؤقت.
 // ...
 }
};

بعد إعداد العالمين، تتمثل الخطوة التالية في البحث عن “أعداد ملساء (أعداد تتكون فقط من عوامل أولية صغيرة)” في كلا العالمين. يتم توليد أزواج لا حصر لها من الأعداد الصحيحة $(a, b)$، ويتم حساب القيمتين التاليتين:

القيمة الجانبية النسبية : $a - bm$
المعيار الجانبي الجبري : $b^d f(a/b)$

يهدف GNFS إلى جمع عشرات إلى مئات الملايين من ** “الأزواج (العلاقات) التي يمكن تحليل قيمها الجانبية النسبية والجبرية بالكامل باستخدام عوامل أولية صغيرة فقط” **.

في السابق، تم استخدام “غربال الخط (Line Sieve)"، حيث يتم ترتيب أزواج $(a, b)$ على مستوى $xy$ وقسمتها على الأعداد الأولية. ومع ذلك، كان هذا بطيئا جدا لأنه يسبب فشلا كبيرا في ذاكرة التخزين المؤقت بسبب الوصول العشوائي للذاكرة.

لذلك، تستخدم الأكواد الحديثة طريقة تسمى ** “Special-q Lattice Sieve” **. يتم تثبيت عدد أولي كبير بما فيه الكفاية $q$، وتُحسب فقط أزواج $(a, b)$ حيث “القيمة الجبرية يجب أن تقبل القسمة على $q$”. تشكل الأزواج $(a, b)$ التي تلبي هذا الشرط “شبكة (Lattice)"، مما يجعل قفزة العنوان المحسوبة ثابتة وتتناسب تماما مع ذاكرة التخزين المؤقت L1/L2 لوحدة المعالجة المركزية. أدى هذا التحسين إلى زيادة سرعة حسابات GNFS بشكل هائل.

5. المرحلة 3: التصفية (Filtering)

1
2
3
4
5
6
7


class Filter {
public:
 void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
 // 1. إزالة الفردية (إزالة العلاقات التي تحتوي على أعداد أولية تظهر مرة واحدة فقط)
 // 2. دمج الزمرة (دمج العلاقات لجعل المصفوفة المتفرقة كثيفة)
 }
};

مئات الملايين من العلاقات التي جمعتها أجهزة الكمبيوتر حول العالم على مدار عدة أشهر في المرحلة الثانية. ومع ذلك، إذا قمنا بإدخالها مباشرة إلى “خطوة حل نظام المعادلات (حساب المصفوفة)” التالية، فإن ذاكرة الحاسوب العملاق ستمتلئ.

لذلك، يتم إجراء عملية ضغط قصوى للمصفوفة تسمى ** التصفية (Filtering) **.

إزالة الفردية (Singleton removal) لنفترض أن عددا أوليا ضخما $p$ ظهر “مرة واحدة فقط” من بين مئات الملايين من العلاقات. هدفنا هو “جعل جميع أسس الأعداد الأولية زوجية (مضاعفات 2)"، لذلك فإن العدد الأولي الذي يظهر مرة واحدة لا يمكن أبدا أن يصبح زوجيا. وبالتالي، يتم حذف العلاقة التي تحتوي على هذا العدد الأولي على الفور كـ “قمامة غير مجدية”. وبسبب سلسلة الأحداث هذه، يتم تقليص مئات الملايين من صفوف البيانات.
دمج الزمرة (Clique merging) بعد ذلك، من خلال ضرب (جمع) العلاقات التي تشترك في أعداد أولية معينة، يتم ضغط (تكثيف) المصفوفة المتفرقة وتقليل عدد الصفوف (باستخدام تقنية مشابهة للبحث عن الزمرة في نظرية المخططات).

من خلال هذا التحسين، يتم ضغط المصفوفة المتفرقة الضخمة بشكل كبير إلى حجم يمكن حسابه.

6. المرحلة 4: الجبر الخطي فوق GF(2) (طريقة Block Wiedemann)

1
2
3
4
5
6
7


class LinearAlgebraGF2 {
public:
 std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
 // حسابات ضرب المصفوفة المتفرقة في المتجه،
 // وإيجاد متجهات حلول بحيث M * x = 0 mod 2.
 }
};

الآن نصل إلى جوهر اللغز. نقوم بضرب العلاقات المجمعة للعثور على ** “التركيبة التي تصبح فيها كل قوى العوامل الأولية زوجية” **.

من الناحية الرياضية، باستخدام مصفوفة ضخمة $M$ تمثل عناصرها “الزوجي والفردي (أي 0 أو 1)” لقوى كل عدد أولي، والمتجه $x$ الذي يمثل العلاقة المستخدمة، فإننا نحل (البحث في الفضاء الفارغ): $M \cdot x \equiv 0 \pmod 2$

علينا حل نظام معادلات مصفوفة بملايين الصفوف وملايين الأعمدة. في الحذف الغاوسي العادي، سيكون التعقيد $O(N^3)$، مما يعني أن الحساب لن يكتمل حتى نهاية الكون.

لذلك، تعتمد التطبيقات الحديثة ** “طريقة Block Wiedemann” **. هذه طريقة فضاء جزئي لـ Krylov تعثر على الحل عبر تكرار عمليات ضرب المصفوفات والمتجهات، مستغلة حقيقة أن المصفوفة $M$ “متفرقة جدا (معظمها 0)”. على عكس طريقة Block Lanczos القديمة، تقوم Block Wiedemann بتقسيم عملية الحساب تماما على مجموعات منفصلة، وتظهر قوة هائلة في الحوسبة السحابية الموزعة الحديثة والحواسيب العملاقة.

7. المرحلة 5: الجذر التربيعي الجبري (Algebraic Square Root) وانهيار التشفير

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13


class AlgebraicSquareRoot {
public:
 void compute_and_factor(...) {
 // 1. حساب الجذر التربيعي النسبي V
 cpp_int V = 1;

 // 2. حساب الجذر التربيعي الجبري gamma
 cpp_int Y = 1;

 // ...
 cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
 }
};

من خلال حسابات المصفوفة في المرحلة 4، حصلنا على مجموعة من العلاقات $S$ والتي “إذا تم ضربها معا، ستصبح كل أسس العوامل الأولية زوجية”. يتيح لنا ذلك بناء “مربعات” في كل من العوالم النسبية والجبرية.

نظرا لأن الجانب النسبي هو مجرد ضرب لأعداد صحيحة، فمن السهل حساب الجذر التربيعي $V$.

$$V^2 = \prod_{S} (a - bm)$$

لكن الجحيم الحقيقي يكمن في “الجانب الجبري”. في عالم الحقل الجبري $\mathbb{Z}[\alpha]$، لا يتم الحفاظ على تفرد التحليل إلى العوامل الأولية، لذلك أجرينا الحسابات باستخدام المثاليات. تضمن حسابات المصفوفة فقط أن النتيجة ** “مربع مثالي”، لكنها لا “تضمن أنها مربع لعنصر ($\gamma^2$)” **.

هنا يظهر عائق هائل في نظرية الأعداد الجبرية، والذي يسمى “عائق مجموعة أصناف المثاليات” و “عائق مجموعة الوحدات”. يخترق GNFS هذا الجدار باستخدام سحر يسمى ** “الرموز التربيعية (Quadratic Characters)” **. في مصفوفة المرحلة 4، تتم إضافة عدد قليل من أعمدة البقايا التربيعية (رمز Legendre) سراً لمثاليات أولية خاصة. بفضل ذلك، تتجاوز المجموعة المكتشفة $S$ العوائق باحتمال كبير جدا، وتشكل بنجاح “مربع عنصر حقيقي $\gamma^2$”.

تتم عملية العثور على $\gamma$ (الجذر التربيعي الجبري) باستخدام خوارزميات معقدة للغاية مثل طريقة Montgomery.

وأخيرا، يتم إرسال الجذر التربيعي الجبري $\gamma$ إلى العالم الحقيقي عن طريق تماثل الحلقة $\phi$ (تعويض $x$ بـ $m$) للحصول على $Y$. من خلال تعيين $V$ في الجانب النسبي كـ $X$, يتم إنشاء المعادلة المطلقة التي نسعى إليها:

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

كل ما تبقى هو حساب $\gcd(X-Y, N)$. في 0.001 ثانية فقط، عندما تتم طباعة العامل غير البديهي على الشاشة، ينهار تشفير RSA الذي لا يُقهر تماما.

خاتمة

خوارزمية GNFS ليست مجرد تقنية برمجة. إنها تحفة من ذكاء البشرية تغلبت على “أعماق الرياضيات البحتة” مثل الجبر المجرد، ونظرية الحلقات، ومجموعة أصناف المثاليات، وذلك باستخدام “هندسة متطرفة” مثل البنية الموزعة للحواسيب العملاقة وتحسين ذاكرة التخزين المؤقت.

يتم حماية معلومات الدردشات والبطاقات الائتمانية التي نرسلها كل يوم بواسطة هذه المعارك الرياضية الهائلة.

نأمل من خلال إطار عمل C++ هذا، أن تتمكن من الشعور بـ “رومانسية الرياضيات والكمبيوتر” الكامنة وراء خوارزميات كسر التشفير المتطورة.

الهيكل الرياضي الحقيقي لغربال حقل الأعداد العام (GNFS)

Sat, 05 Sep 2026 02:26:13 +0900

الهيكل الرياضي الحقيقي لغربال حقل الأعداد العام (GNFS)

الهدف النهائي لـ GNFS هو العثور على $X, Y$ بحيث يكون $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$. لتحقيق ذلك، بنى علماء الرياضيات جسرًا بين “عالم الأعداد الصحيحة الحقيقي” و “عالم الحقول الجبرية”. هذا الجسر هو ما يُعرف بـ “التشاكل” (Homomorphism).

المرحلة الأولى: “التشاكل” الذي يربط العالمين

1. اختيار المتعددة الحدود وتعريف الجذور

لعدد مركب ضخم $N$، نختار عددًا صحيحًا $m$ ومتعددة حدود $f(x)$ بحيث $f(m) \equiv 0 \pmod N$. (مثال: توسيع $N$ في الأساس $m$، وبناء $f(x)$ من معاملاته. في هذه الحالة، يُفترض أن $f(x)$ غير قابل للاختزال على حقل الأعداد الكسرية $\mathbb{Q}$).

بعد ذلك، لنفترض أن $\alpha$ هو أحد “الجذور المركبة” للمعادلة $f(x) = 0$. بالطبع، $f(\alpha) = 0$. لاحظ أن $\alpha$ ليس عددًا صحيحًا، بل عددًا مركبًا (عددًا جبريًا) قد يحتوي على جذور أو أعداد تخيلية.

2. بناء الحلقة (Ring) والتشاكل

هنا، نقوم بإعداد “حلقتين” رياضيتين (عالمان حيث يُعرّف الجمع والضرب):

العالم A: $\mathbb{Z}[\alpha]$ (حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية التي تحتوي على $\alpha$) هذا هو عالم الأعداد التي تُعبّر عن شكل $a + b\alpha + c\alpha^2 + \dots$.
العالم B: $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (حلقة البواقي بعد القسمة على $N$) عالم التطابق (modulo) الذي يتكون فقط من الأعداد الصحيحة من $0$ إلى $N-1$.

هنا، نُعرّف تعيينًا (Mapping) يُسمى $\phi$ من العالم A إلى العالم B على النحو التالي: $$\phi : \mathbb{Z}[\alpha] \to \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$$ $$\phi(\alpha) = m \pmod N$$

هذا التعيين $\phi$ هو عملية سحرية تستبدل المتغير $\alpha$ في العالم A بالعدد الصحيح $m$ في العالم B بشكل كامل. هذا الـ $\phi$ يمتلك خاصية قوية جدًا تُسمى “تشاكل الحلقة” (Ring Homomorphism). التشاكل هو خاصية “الانتقال إلى عالم آخر دون تدمير هيكل الجمع والضرب”. وهذا يعني أن المعادلات التالية صحيحة:

$\phi(X \times Y) = \phi(X) \times \phi(Y)$
$\phi(X^2) = \phi(X)^2$

ماذا يعني كل هذا؟ إذا تمكنا من صنع “مربع كامل” ($\gamma^2$) من عنصر معقد $\gamma$ في “العالم A” (عالم $\alpha$)، فيمكننا القفز إلى “العالم B” (عالم البواقي) باستخدام $\phi$، و سيتم الحفاظ على شكل المربع $\phi(\gamma)^2$ تمامًا.

المرحلة الثانية: انهيار التحليل إلى العوامل الأولية وولادة “المثالي” (Ideal)

نريد جمع الكثير من العناصر المناسبة $(a - b\alpha)$ في العالم A ($\mathbb{Z}[\alpha]$) وضربها معًا لتكوين “مربع كامل”. عادةً، يمكننا “التحليل إلى العوامل الأولية” للعناصر $(a - b\alpha)$ المجمعة، ودمجها بحيث تصبح كل أسس الأعداد الأولية زوجية (محلولة باستخدام المصفوفات) لإنشاء مربع.

ولكن، هنا يقف جدار اليأس الجبري في طريقنا. في عالم الحقول الجبرية مثل $\mathbb{Z}[\alpha]$، فإن “وحدانية التحليل إلى العوامل الأولية (يمكن التعبير عن كل عدد بطريقة واحدة فقط كحاصل ضرب أعداد أولية)” التي تعلمناها في المدرسة الإعدادية تنهار تمامًا.

(مثال: في بعض عوالم الحقول الجبرية، $6 = 2 \times 3$، وفي نفس الوقت $6 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5})$، مما يجعل من المستحيل معرفة أي منها هي الأعداد الأولية الحقيقية).

إذا لم يكن التحليل إلى العوامل الأولية فريدًا، فإن لغز “حساب الأعداد الأولية لجعلها زوجية” (طريقة الغربال) مستحيل من حيث المبدأ.

إنقاذ كومر وديديكيند: “المثالي” (Ideal)

تم إنقاذ هذا الانهيار من خلال مفهوم “المثالي” (Ideal) الذي ابتكره علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر. بدلًا من النظر إلى العنصر نفسه، من خلال النظر في “مجموعة المضاعفات (المثالي)” التي يولدها هذا العنصر، أصبح التحليل إلى العوامل الأولية ممكنًا مرة أخرى.

في حلقة الأعداد الصحيحة للحقل الجبري $\mathcal{O}_K$ (الحلقة الأكثر كمالًا التي تحتوي على $\mathbb{Z}[\alpha]$)، حتى لو لم يكن بالإمكان تحليل العناصر بشكل فريد، فقد تم إثبات أن “المثالي يمكن دائمًا تحليله بشكل فريد كحاصل ضرب ‘مثاليات أولية’ ($\mathfrak{p}$)”.

لذلك، في GNFS، بدلًا من تحليل العنصر $(a - b\alpha)$ نفسه، نقوم بـ التحليل إلى المثاليات الأولية للمثالي الرئيسي $\langle a - b\alpha \rangle$ الذي يولده.

المرحلة الثالثة: المعيار (Norm) والغربالان (Sieve)

إذن، كيف نعرف ما هي المثاليات الأولية التي يتحلل إليها المثالي $\langle a - b\alpha \rangle$؟ هنا نستخدم دالة تسمى “المعيار” (Norm). المعيار هو دالة تحول العناصر المعقدة في الحقل الجبري إلى “أعداد صحيحة عادية $\mathbb{Z}$” في العالم الحقيقي.

يُحسب معيار العنصر $(a - b\alpha)$ بواسطة متعددة الحدود البسيطة $b^d f(a/b)$ (حيث $d$ هي درجة $f(x)$).

بفضل مبرهنة جبرية، من المعروف أنه “إذا كان معيار مثالي ما قابلاً للتحليل بالكامل بواسطة أعداد أولية صغيرة (أملس)، فإن المثالي الأصلي يمكن أيضًا تحليله بالكامل بواسطة مثاليات أولية صغيرة”.

لذلك، يحسب GNFS الأمرين التاليين في وقت واحد لعدد كبير من أزواج الأعداد الصحيحة $(a, b)$، ويجمع فقط الأزواج التي يكون كلاهما “أعدادًا ملساء”:

الغربال النسبي (Rational Sieve): $a - bm$ (القيمة في العالم الحقيقي)
الغربال الجبري (Algebraic Sieve): $b^d f(a/b)$ (المعيار في عالم الحقل الجبري)

نجمع عشرات الملايين من الأزواج $(a, b)$ الملساء معًا، ونحل بيانات التحليل إلى المثاليات الأولية (كم عدد المثاليات الأولية الموجودة) كمصفوفة عملاقة (الجبر الخطي على GF(2))، ونجد مجموعة $S$ من الأزواج بحيث “عند ضربها، تصبح أسس جميع المثاليات الأولية زوجية”.

المرحلة الرابعة: “العقبتان” وزمرة أصناف المثاليات

من خلال حساب المصفوفة، وجدنا أن ضرب جميع المثاليات $(a - b\alpha)$ في المجموعة $S$ ينتج مربعًا لمثالي ما $I$.

$$\prod_{S} \langle a - b\alpha \rangle = I^2$$

لكن الأمر لم ينتهِ بعد. أعمق وأصعب جدار رياضي في GNFS يكمن هنا.

ما نريده في النهاية ليس “مربع المثالي”، بل “مربع العنصر” ($\gamma^2$) لتعويضه في التعيين $\phi$. فقط لأن المثالي تم تربيعه، لا يعني أن العنصر نفسه تم تربيعه. توجد عقبتان رياضيتان قويتان جدًا (Obstructions) هنا.

العقبة 1: جدار زمرة أصناف المثاليات (Ideal Class Group)

المثالي $I$ ليس دائمًا “مثاليًا مولدًا بواسطة عنصر واحد (مثالي رئيسي)”. من المستحيل استخراج العنصر المحدد $\gamma$ من مثالي ليس مثاليًا رئيسيًا.

هنا يظهر مفهوم “زمرة أصناف المثاليات (Class Group, $Cl_K$)”. زمرة أصناف المثاليات هي زمرة تقيس “مدى وجود مثاليات غير رئيسية في عالم الحقل الجبري (إلى أي مدى تم تدمير وحدانية التحليل إلى العوامل الأولية)”. حتى لو أصبح $\prod \langle a - b\alpha \rangle$ هو $I^2$، إذا لم يكن $I$ عنصرًا محايدًا (مثاليًا رئيسيًا) في زمرة أصناف المثاليات، فلا يمكننا سحبه مرة أخرى إلى مربع عنصر.

العقبة 2: جدار زمرة الوحدات (Unit Group)

لنفترض أننا محظوظون وأن $I$ هو مثالي رئيسي $\langle \gamma \rangle$. إذن، $\prod \langle a - b\alpha \rangle = \langle \gamma^2 \rangle$. قد تعتقد، “رائع، العنصر مربع أيضًا!"، لكنك مخطئ تمامًا.

حقيقة أن المثاليات (مجموعات المضاعفات) متساوية لا تعني أن العناصر متساوية تمامًا. سيكون هناك دائمًا إزاحة بواسطة “الوحدة” (Unit: عدد مقلوبه هو أيضًا عدد صحيح، مثل 1 أو -1). بمعنى آخر، معادلة العنصر الفعلي هي كالتالي:

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = u \cdot \gamma^2$$

(حيث $u$ هو عنصر من زمرة الوحدات $U_K$)

ما لم تكن هذه الوحدة $u$ بحد ذاتها مربعًا لشيء ما، فلن يكون الجانب الأيسر أبدًا “مربع عنصر كامل”.

المرحلة الخامسة: سحر أدلمان “الرموز التربيعية” (Quadratic Characters)

عقبة زمرة أصناف المثاليات وعقبة زمرة الوحدات. كيف نتغلب عليهما؟ هنا يأتي دور الطريقة العبقرية التي تسمى “الرموز التربيعية” (Quadratic Characters)، والتي أدخلها عالم التشفير ليونارد أدلمان (حرف “A” في RSA) وزملاؤه.

لتحديد ما إذا كان “عنصر ما هو مربع كامل في الحقل الجبري”، نستخدم إصدار الحقل الجبري من رمز ليجاندر (الباقي التربيعي). في المصفوفة العملاقة السابقة (اللغز لجعل عدد المثاليات الأولية زوجيًا)، نضيف سرًا بضع عشرات من الشروط الإضافية (الأعمدة) التي تنص على أن “الرموز التربيعية لبعض المثاليات الأولية الخاصة $\mathfrak{q}$ تصبح جميعها $1$ (زوجية)”.

عندما نجد المجموعة $S$ التي تستوفي هذه الشروط الإضافية من خلال حساب المصفوفة، تضمن مبرهنة عميقة في نظرية الأعداد الجبرية أن “كل من عقبة زمرة أصناف المثاليات وعقبة زمرة الوحدات ستختفيان بشكل طبيعي باحتمال ساحق”.

وبهذا، نحصل أخيرًا على المعادلة الحقيقية:

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = \gamma^2$$

المرحلة النهائية: اندماج العوالم وانهيار التشفير

أخيرًا، اكتملت جميع قطع اللغز.

[العنصر في عالم الحقل الجبري (العالم A)] $\gamma^2 = \prod (a - b\alpha)$ (استخدم خوارزمية الجذر التربيعي لإيجاد $\gamma$)

[العنصر في العالم الحقيقي (عالم الأعداد الكسرية)] $V^2 = \prod (a - bm)$ (هذا مجرد ضرب أعداد صحيحة عادي، لذا يمكن العثور على الجذر التربيعي $V$ بسهولة)

الآن، حان وقت عمل الجسر السحري الأول الذي صنعناه، التشاكل $\phi$. نقفز بالعنصر $\gamma$ من العالم A إلى العالم B (عالم البواقي $N$) باستخدام $\phi$ (التعيين الذي يعوض بـ $m$ بدلًا من $\alpha$).

$$Y = \phi(\gamma) \pmod N$$

من ناحية أخرى، نأخذ $V$ الذي تم إنشاؤه في العالم الحقيقي مباشرة إلى عالم البواقي ونسميه $X$.

$$X = V \pmod N$$

بفضل خاصية “الحفاظ على الهيكل” للتشاكل، فإن علاقة التربيع التي كانت صحيحة في العالم A يتم حفظها تمامًا في العالم B (عالم المقياس $N$). علاوة على ذلك، نظرًا لأن الأزواج الأصلية $(a, b)$ تم تشكيلها بطريقة متقابلة كـ $a - b\alpha$ و $a - bm$، فإن $X$ و $Y$ يصطدمان في عالم المقياس $N$ وينتجان المعادلة المطلقة التالية:

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

الآن، كل ما علينا فعله هو أن نصلي ألا يكون $X$ و $Y$ حلولاً بديهية ($X \equiv \pm Y$)، ثم نحسب: $\gcd(X - Y, N)$

إذا كان حلاً غير بديهي، فستعمل خوارزمية إقليدس في 0.001 ثانية، وسيتم طباعة الأعداد الأولية السرية $p$ و $q$، والتي تعد قلب تشفير RSA، على شاشة الإخراج.

هذا هو الشكل الكامل لـ “غربال حقل الأعداد العام (GNFS)” الذي يجمع خلاصة الرياضيات الحديثة.

شرح مبسط لحدسية كبلر

Mon, 21 Jul 2025 22:53:03 +0900

شرح مبسط لحدسية كبلر! 〜كيف ترتب البطيخ بأكبر قدر ممكن من الكثافة〜

مرحباً، أنا kenji!

اليوم أود أن أشرح مسألة رياضية ذات اسم يبدو صعباً قليلاً، وهي “حدسية كبلر”، بأبسط طريقة ممكنة.

للوهلة الأولى، قد تبدو وكأنها موضوع متخصص للغاية، ولكن في الواقع إنها مسألة قريبة جداً من الحياة اليومية، مثل: “كيف يمكنني تعبئة البطيخ في صندوق بأكبر قدر ممكن من الكثافة؟”. كما أنها تتعلق بثلاجات المتاجر الصغيرة وطريقة تكديس الأمتعة.

وفي عالم الرياضيات، إنها قصة رومانسية جداً عن مسألة لم يتمكن أحد من إثباتها لأكثر من 400 عام .

دعونا نبدأ!

من هو كبلر؟

أولاً، من هو “كبلر” من “حدسية كبلر”؟

إنه عالم الفلك والرياضيات الألماني يوهانس كبلر (Johannes Kepler) .

هذا الشخص كان مذهلاً للغاية. على سبيل المثال، هو من اكتشف أن مدارات الكواكب بيضاوية الشكل. هذه المعرفة شائعة اليوم، لكن في ذلك الوقت (حوالي عام 1600) لم تكن حتى نظرية مركزية الشمس موثوقة تماماً.

غاليليو = عبقري المراقبة
كبلر = العبقري الذي شرح الكون باستخدام الصيغ الرياضية
نيوتن = العبقري الفائق الذي لخص تلك النظريات في قوانين فيزيائية

في هذا السياق، كان كبلر رائداً في “شرح الكون بالمعادلات الرياضية”.

وذات يوم قال هذا.

ما هي حدسية كبلر؟

ببساطة، “حدسية كبلر” هي كالتالي.

عند تعبئة كرات من نفس الحجم (مثل البطيخ أو البرتقال) في صندوق، ما هو الترتيب الذي يسمح بتعبئتها بأكبر قدر ممكن من الكثافة؟

هذه هي المسألة.

وما توقعه كبلر في القرن السابع عشر هو

أليس من الأفضل تكديسها بشكل مثلث، كما يضعون البرتقال في سوق الخضار؟

بلغة الرياضيات، يُسمى هذا “مسألة تعبئة الكرات” (Sphere Packing Problem) ، وهي مسألة إيجاد طريقة لترتيب الكرات بكثافة قدر الإمكان في مساحة ما.

توقع كبلر أن الترتيب المعروف باسم “نظام التبلور المكعب مركزي الوجه (FCC)” (وهو يشبه تكديس البطيخ في مثلث) هو الأكثر كفاءة.

وكان الجميع يعتقد، “نعم، هذا يبدو معقولاً”، ولكن كان من الصعب جداً إثبات رياضياً أن “هذا هو الأفضل بالتأكيد!”.

400 عام حتى الإثبات!؟!

إذاً، متى تم إثبات ذلك فعلياً؟

المثير للدهشة أنه كان في الفترة من 1998 إلى 2005 تقريباً. أي أنه لما يقرب من 400 عام لم يتمكن أحد من إثباتها . هذا لا يصدق.

علاوة على ذلك، الشخص الذي أثبت ذلك هو عالم الرياضيات الأمريكي توماس هيلز (Thomas Hales) .

بعد أن أدرك أنه من المستحيل القيام بذلك عن طريق الحسابات اليدوية، استخدم الكمبيوتر لإثباتها . ومع ذلك، كان الإثبات معقداً للغاية لدرجة أن البشر لم يتمكنوا من التحقق منه بشكل صحيح! وهنا حدثت مشكلة.

ونتيجة لذلك، اندلع نقاش كبير في عالم الرياضيات: “هل يمكننا حقاً الوثوق بإثبات تم إجراؤه بواسطة الكمبيوتر؟”.

في النهاية، اكتمل “الإثبات الرسمي” الذي تم التحقق منه بدقة، بما في ذلك استخدام الكمبيوتر، في عام 2014 .

وبعبارة أخرى، استغرق الأمر أكثر من 400 عام لإثبات صحة حدس كبلر. يا لها من قصة رومانسية.

إنها تستخدم بكثرة في الحياة الواقعية

قد تعتقد أن “كيفية ترتيب الكرات” هي مجرد قصة للمهتمين بالرياضيات، لكنها في الواقع عملية للغاية.

تعبئة المشروبات بكفاءة في ثلاجات المتاجر
تكديس العلب على منصات النقل
تطبق أيضاً في الاتصالات (مثل ضغط الإشارات الرقمية)
تستخدم في تصميم الطابعات ثلاثية الأبعاد والهياكل البلورية

وغير ذلك الكثير. في الواقع، إنها نظرية تُستخدم بكثرة وراء كواليس حياتنا.

الخلاصة: حدس الإنسان مذهل

لذا، دعونا نلخص.

حدسية كبلر = مسألة كيفية ترتيب الكرات بكثافة قدر الإمكان
السيد كبلر = عالم الرياضيات والفلك الذي اكتشف مدارات الكواكب
تم توقعها في القرن السابع عشر! ولكن تم إثباتها في العقد الأول من القرن الحادي والعشرين!
يتم تطبيقها بشكل كبير في الحياة الواقعية!

والشيء الأكثر إثارة للاهتمام هو أن “طريقة التكديس التي استخدمها بائعو الخضار بالفطرة كانت هي الأفضل رياضياً” .

بعبارة أخرى، حدس الإنسان مذهل . وحقيقة أن الأمر قد يستغرق 400 عام لإثبات ذلك تجعل هذه القصة رومانسية للغاية.

إذا كنت مهتماً، فيرجى البحث عن “توماس هيلز” و “الإثبات الرسمي” و “Sphere Packing”. إذا تعمقت في الأمر، فسيكون مثيراً للاهتمام حقاً.

إلى اللقاء!

[PR]

今すぐ購入

حدسية كولاتز

Tue, 15 Jul 2025 18:03:03 +0900

“هل حقًا ينتهي أي رقم بالعدد 1؟” ── اللعب بحدسية كولاتز

مرحبًا! أنا كينجي.

سؤال مفاجئ: عندما تسمع “قاعدة تجعل أي رقم ينتهي في النهاية إلى 1”، ألا يبدو ذلك غريبًا بعض الشيء؟

على سبيل المثال، 19، أو 87، أو حتى 1000000. إذا اتبعت قاعدة معينة وتلاعبت بالأرقام، لسبب ما تنتهي دائمًا عند “1”.

هذه القصة التي تشبه الحلم هي حدسية كولاتز (Collatz Conjecture).

في البداية، ما هي حدسية كولاتز؟

أولاً، دعني أقدم لك القواعد.

البداية: اختر أي عدد صحيح موجب
العملية:
- إذا كان زوجيًا → اقسمه على النصف (n → n / 2)
- إذا كان فرديًا → اضربه في 3 وأضف 1 (n → 3n + 1)

إذا كررت هذا مرارًا وتكرارًا، فإن التوقع هو أن أي رقم سيصل في النهاية إلى 1.

على سبيل المثال، إذا بدأنا بـ 6:

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

أصبح “1” بالفعل. مرحبًا بعودتك!

لنجرب ذلك بالرموز: كولاتز باستخدام بايثون

حسنًا، في مثل هذه الحالات، من الأسرع تجربة الكود! دعنا نطبع “متتالية كولاتز” باستخدام بايثون.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12


def collatz(n):
 steps = [n]
 while n != 1:
 if n % 2 == 0:
 n = n // 2
 else:
 n = 3 * n + 1
 steps.append(n)
 return steps

# مثال: لنبدأ بـ 19
print(collatz(19))

عند التشغيل:

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

يصل إلى 1 بنجاح. لقد اتخذ طريقًا التفافيًا طويلاً، لكنه وصل إلى خط النهاية في النهاية!

بالمناسبة، حتى لو بدأنا بـ 29، فإنه يصل إلى 1 بنفس الطريقة.

1

pythonprint(collatz(29))

عند التشغيل:

1
2
3
4
5
6
7
8


[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

يستغرق الأمر 111 خطوة مذهلة!

وعلاوة على ذلك، في بعض الأحيان يتضخم إلى أكثر من 9000 في الطريق. هذا نمط يأخذ طريقًا التفافيًا ضخمًا قبل الوصول إلى خط النهاية.

إذن، ما هو الشيء المذهل في النهاية؟

الشيء المذهل في هذه الحدسية هو،

على الرغم من أنها لم تُثبت، يبدو أنها تصل دائمًا إلى 1 بغض النظر عن الرقم الذي تستخدمه

هنا تكمن الروعة.

ماذا؟ إذن، ماذا عن تريليون، أو كوادريليون…؟

لمن فكر في ذلك، أنت حاد الذكاء. في الواقع، باستخدام أجهزة الكمبيوتر، تم التحقق من ذلك حتى “2 أُس 68”، و جميعها تصل إلى 1. أمر لا يصدق…

ولكن، لم يُثبت نظريًا أن “كل شيء سيكون على هذا النحو”. هذا ما يسمى “مشكلة غير محلولة” في عالم الرياضيات.

من هو السيد كولاتز؟

والآن، بعد قراءة هذا الحد، قد تتساءل: “من هو كولاتز في المقام الأول؟” سأقدمه لك بشكل صحيح!

الاسم: لوثار كولاتز (Lothar Collatz)
الجنسية: ألماني
سنة الميلاد: 1910 - 1990
المسمى الوظيفي: عالم رياضيات (نشط في مجالات التحليل الدالي ونظرية الأعداد)

اقترح هذه الحدسية في عام 1937، ومنذ ذلك الحين، لأكثر من 80 عامًا، لم يتمكن أحد من إثباتها أو دحضها.

بالمناسبة، هذه المشكلة بسيطة للغاية ولكنها عميقة جدًا، حتى أن بول إيردوس (عالم الرياضيات الشهير) قال شيئًا كهذا.

“الرياضيات ليست ناضجة بما يكفي للتعامل مع كولاتز بعد”

بمعنى آخر، النظرية هي أن رياضيات البشرية لم تلحق بعد بهذا اللغز…

“الصيغ الرياضية المعقدة” ليست ضرورية

الشيء الجيد في حدسية كولاتز هو أنه يمكن لـ أي شخص اللعب بها.

كل ما تحتاجه هو ورقة وقلم. إذا كتبت كودًا بلغة بايثون، يمكنك اختباره تلقائيًا. ومع ذلك، يتحدى علماء الرياضيات البارزون ذلك بجدية.

ألا يبدو ذلك مثيرًا؟

مكافأة: كود لاختبار العديد من الأرقام دفعة واحدة

سأقوم أيضًا بتضمين كود لاختبار العديد من الأرقام معًا.

1
2
3


for n in range(1, 21):
 steps = collatz(n)
 print(f"{n}: {steps} (عدد الخطوات: {len(steps)-1})")

هذا سيخرج متتالية كولاتز للأرقام من “1 إلى 20” دفعة واحدة.

الخلاصة: هذا العالم غريب حقًا

إذن، هذه هي حدسية كولاتز.

على الرغم من أنها بسيطة جدًا
لا يمكن لأحد إثباتها
إنها مشكلة كبيرة في عالم الرياضيات

لقد كان وجودًا يبدو ككتلة من الغموض.

حتى المبتدئين في البرمجة يمكنهم تجربتها، لذا يرجى اللعب بها!

روابط موصى بها (للمهتمين)

ويكيبيديا: حدسية كولاتز
ورقة تيرينس تاو (باللغة الإنجليزية)
قد يكون من الممتع أيضًا إنشاء نسخة مرئية باستخدام بايثون! (سأفعل ذلك إذا كان هناك طلب)

إذا كنت ترغب في معرفة المزيد من القصص حول “الرياضيات الغامضة × البرمجة”، لا تتردد في طلب “أخبرني المزيد”. قريبًا، سأقدم لك فرضية ريمان، الأعداد الأولية، والمزيد!

📮 النهاية!

كود لغة C لتوليد الأعداد الأولية

Sat, 24 Aug 2024 09:38:10 +0900

فيما يلي كود بسيط بلغة C يولد أعدادًا أولية ضمن نطاق محدد. في هذا المثال، نسرد الأعداد الأولية من 1 إلى n.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32


#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool isPrime(int num) {
 if (num <= 1) return false;
 if (num <= 3) return true;
 if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return false;

 for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) {
 if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false;
 }
 return true;
}

void printPrimes(int n) {
 printf("2 ");
 for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
 if (isPrime(i)) {
 printf("%d ", i);
 }
 }
 printf("\n");
}

int main() {
 int n;
 printf("أدخل القيمة القصوى للنطاق لتوليد الأعداد الأولية: ");
 scanf("%d", &n);
 printf("الأعداد الأولية من 1 إلى %d هي كالتالي:\n", n);
 printPrimes(n);
 return 0;
}

يعمل هذا الكود على النحو التالي:

دالة isPrime: تحدد ما إذا كان العدد المعطى أوليًا أم لا. من أجل الكفاءة، يتم أولاً التحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 2 و 3، وبعد ذلك يتم التحقق من مضاعفات العدد 6.
دالة printPrimes: تطبع الأعداد الأولية ضمن النطاق المحدد. تتم طباعة 2 أولاً، ثم يتم التحقق من الأعداد الفردية فقط.
دالة main: يطلب من المستخدم إدخال القيمة القصوى للنطاق، ويطبع الأعداد الأولية ضمن ذلك النطاق.

عند تجميع وتشغيل هذا الكود، سيتم عرض الأعداد الأولية ضمن النطاق المحدد.

مقدمة في Mathematica

Thu, 25 Jul 2024 01:36:19 +0900

مقدمة في Mathematica

حل المعادلات

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0, x]

الخرج

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

إيجاد حلول المعادلات في نطاق الأعداد الصحيحة

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0 && 0 <= x <= 2, x, Integers]

الخرج

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

حل نظام من المعادلات

1

Solve[{x + y == 3, x - y == 1}, {x, y}]

الخرج

1

{{x -> 2, y -> 1}}

حل المتباينات

1

Reduce[x^2 - 3 x + 2 > 0, x]

الخرج

1

x < 1 || x > 2

التفاضل

1

D[x^2, x]

الخرج

1

2 x

التكامل

1

Integrate[x^2, x]

الخرج

1

x^3/3

إيجاد النهاية

1

Limit[1/x, x -> 0]

الخرج

1

Infinity

إيجاد المتسلسلة

1

Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]

الخرج

1

π^2/6

إنشاء مصفوفة

1

m = {{1, 2}, {3, 4}}

إيجاد ضرب المصفوفات

1

m . m

الخرج

1

{{7, 10}, {15, 22}}

إيجاد المصفوفة المعكوسة

1

Inverse[m]

الخرج

1

{{-2, 1}, {1.5, -0.5}}

إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

1

Eigensystem[m]

الخرج

1

{{5, 0}, {{1, 1}, {1, -1}}}

إيجاد الضرب النقطي للمتجهات

1

{1, 2} . {3, 4}

الخرج

1

11

إيجاد الضرب التقاطعي للمتجهات

1

Cross[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]

الخرج

1

{-3, 6, -3}

إيجاد مقدار المتجه

1

Norm[{1, 2, 3}]

الخرج

1

√14

إيجاد زاوية المتجه

1

ArcCos[{1, 2} . {3, 4}/(Norm[{1, 2}] Norm[{3, 4}])]

الخرج

1

ArcCos[11/(√5 √25)]

إيجاد الإسقاط المتجهي

1

{1, 2} . {3, 4}/Norm[{3, 4}] {3, 4}/Norm[{3, 4}]

الخرج

1

{11/5, 22/5}

إيجاد دوران المتجه

1

RotationMatrix[π/2].{1, 0}

الخرج

1

{0, 1}

إيجاد انتقال المتجه

1

TranslationTransform[{1, 2}][{3, 4}]

الخرج

1

{4, 6}

إيجاد تحجيم المتجه

1

ScalingTransform[{2, 3}][{1, 1}]

الخرج

1

{2, 3}

إيجاد انعكاس المتجه

1

ReflectionTransform[{1, 1}][{1, 1}]

الخرج

1

{0, 0}

توليد أرقام عشوائية

1

RandomReal[]

الخرج

1

0.123456

توليد أرقام عشوائية (أعداد صحيحة)

1

RandomInteger[]

الخرج

1

123456

توليد أرقام عشوائية (ضمن نطاق)

1

RandomReal[{1, 10}]

الخرج

1

5.6789

توليد أرقام عشوائية (أعداد صحيحة ضمن نطاق)

1

RandomInteger[{1, 10}]

الخرج

1

5

توليد أرقام عشوائية (توزيع محدد)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1]]

الخرج

1

0.123456

توليد أرقام عشوائية (توزيع محدد، عدد محدد)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

الخرج

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

توليد أرقام عشوائية (توزيع، عدد، وبذرة محددة)

1
2


SeedRandom[12345]
RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

الخرج

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

تطبيق دالة على عناصر المصفوفة

1
2
3


Map[Sqrt, {1, 4, 9}]
Sqrt /@ {1, 4, 9}
Map[#^(1/2)&, {1, 4, 9}]

الخرج

1

{1, 2, 3}

تعريف دالة باستخدام تعبير لامبدا

1
2


f = Function[x, x^2]
f[3]

الخرج

1

9

تركيب الدوال

1
2
3
4


f = Function[x, x^2]
g = Function[x, x + 1]
h = Function[x, f[g[x]]]
h[3]

الخرج

1

16

الإشارة إلى نتيجة الحساب السابق

1

% + 1

الخرج

1

17

دوال نقية

1

(#+3)&[5]

الخرج

1

8

استخراج من المصفوفة

1
2


Select[{1, 2, 3, 4, 5}, EvenQ]
Select[{1, 2, 3, 4, 5}, Mod[#,2]==0&]

الخرج

1

{2, 4}

ما هي مفارقة عيد الميلاد؟

Tue, 02 Apr 2024 01:20:50 +0900

هل تعرف مفارقة عيد الميلاد؟

سأتحدث عن قصة غريبة قليلاً. “احتمالية وجود أشخاص لهم نفس يوم الميلاد”، كم تعتقد أنه يجب أن يجتمع من الأشخاص لتصبح عالية؟

على سبيل المثال، السنة فيها 365 يومًا، لذا إذا قيل لك “إذا اجتمع 23 شخصًا، فإن احتمالية أن يتطابق عيد ميلاد شخصين هي 50% أو أكثر”… يبدو الأمر نوعًا ما مخالفًا للبديهة، أليس كذلك؟

ولكن هذا بالفعل 50% أو أكثر.

لماذا يحدث ذلك؟

هذه الظاهرة تسمى “مفارقة عيد الميلاد”. الاسم هو “مفارقة”، ولكن لها سبب رياضي سليم.

إذا كان عدد الأشخاص “n”، فإن احتمالية ألا يتطابق عيد ميلاد أحد يمكن حسابها بالمعادلة التالية:

1

P(لا يتطابق أحد) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × (365 - n + 1)/365

بطرح ذلك من 1، يظهر “احتمالية التطابق مع شخص ما”.

بالنظر إلى النتائج…

عدد الأشخاص	احتمالية وجود أشخاص لهم نفس يوم الميلاد
10 أشخاص	حوالي 11.7%
20 شخصًا	حوالي 41.1%
23 شخصًا	حوالي 50.7% (هنا التركيز!)
30 شخصًا	حوالي 70.6%
70 شخصًا	مذهل حوالي 99.9%!

بمعنى آخر، بوجود 23 شخصًا فقط، هناك احتمال أكثر من النصف بأن يتطابق عيد ميلاد شخصين. يبدو أنه يمكن تطبيقه في الفصول الدراسية في المدارس أو اجتماعات العمل أيضًا.

الخلاصة: التفاوت بين الحدس والرياضيات مثير للاهتمام

“مفارقة عيد الميلاد” هي مثال مثير للاهتمام حيث يختلف حدسنا عن الاحتمالات الرياضية الفعلية. إذا كنت تعرف هذه الأشياء، فقد تتمكن من إثارة الحماس في دردشة صغيرة أو مسابقة!

روابط مفيدة

مفارقة عيد الميلاد (ويكيبيديا)

مشكلة مونتي هول

Sun, 31 Mar 2024 23:41:51 +0900

ما هي مشكلة مونتي هول

مشكلة مونتي هول هي مشكلة مأخوذة من إحدى الألعاب التي كانت تقام في البرنامج التلفزيوني الأمريكي “Let’s Make a Deal”، وهي كالتالي.

الشروط المسبقة: يوجد جائزة في أحد الأبواب الثلاثة، بينما البابان الآخران فارغان.

يختار المشارك باباً واحداً من الأبواب الثلاثة.
يقوم المقدم، من بين البابين الآخرين غير الذي اختاره المشارك، بفتح باب واحد فارغ.
يُسأل المشارك عما إذا كان يريد تغيير الباب الذي اختاره.

في هذا الوقت، المشكلة هي التفكير فيما إذا كان من الأفضل للمشارك تغيير الباب أم لا.

الحل

حل مشكلة مونتي هول هو كالتالي.

إذا لم يقم المشارك بتغيير الباب الذي اختاره في البداية
- احتمال الفوز: 1/3
- احتمال الخسارة: 2/3
بعد أن يفتح المقدم الباب الفارغ
- إذا لم يغير، احتمال الفوز: 1/3 (لا يتغير عن احتمال الفوز في النقطة 1)
- إذا غير، احتمال الفوز: 2/3 (احتمال عدم الفوز في النقطة 1)

لذلك، من الأفضل للمشارك تغيير الباب لزيادة فرصة الفوز.

مرجع

ويكيبيديا Monty Hall problem

مشاكل رياضية غير محلولة

Sat, 02 Mar 2024 22:57:36 +0900

مشاكل رياضية غير محلولة

سأشرح عن بعض المشاكل الرياضية غير المحلولة. على الرغم من أن المشاكل نفسها بسيطة، إلا أن هناك العديد من المشاكل التي لم يتم إثباتها بعد.

هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد المثالية؟

العدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه الموجبة باستثناء نفسه. على سبيل المثال،

6 له القواسم 1، 2، 3، و 1+2+3=6، لذا فهو عدد مثالي.
28 له القواسم 1، 2، 4، 7، 14، و 1+2+4+7+14=28، لذا فهو عدد مثالي.

تم اكتشاف 51 عددًا فقط حتى الآن، وعلى الرغم من أنه يُتوقع وجود عدد لا نهائي منها، إلا أنه لم يتم إثبات ذلك بعد.

حدسية غولدباخ

حدسية غولدباخ هي حدسية تنص على أن كل عدد زوجي أكبر من 2 يمكن التعبير عنه كمجموع عددين أوليين. (هنا، العدد الأولي هو عدد طبيعي ليس له قواسم سوى 1 ونفسه).

على سبيل المثال،

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5

المشكلة نفسها بسيطة للغاية، ولكن لم يتم إثباتها بعد.

فرضية ريمان

هي فرضية تنص على أن أصفار دالة زيتا لريمان تقتصر على الأعداد الزوجية السالبة والأعداد المركبة التي يكون جزؤها الحقيقي 1 / 2.

دالة زيتا لريمان هي دالة $\zeta$ معرفة على النحو التالي، حيث $s$ هو عدد مركب و $n$ هو عدد طبيعي:

$$\zeta(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$$

تاريخ الرياضيات

Sat, 22 Jul 2023 15:25:10 +0900

مسائل الإنشاء الثلاث في اليونان القديمة

عند إعطاء دائرة، بناء مربع له نفس مساحة تلك الدائرة (مسألة تربيع الدائرة)
عند تحديد زاوية اختيارية، تقسيمها إلى ثلاثة أقسام متساوية (مسألة تثليث الزاوية)
عند إعطاء مكعب، بناء مكعب له ضعف حجم ذلك المكعب (مسألة مضاعفة المكعب)

حلزون أرخميدس

على مستوى مستو، قم بتدوير نصف المستقيم OB حول نقطة ثابتة O بسرعة منتظمة. بافتراض أن الموضع الأولي هو OA، تبدأ النقطة P في التحرك من O في نفس الوقت الذي تبدأ فيه في التحرك من OA، وتتحرك على طول OB بسرعة ثابتة، فإن الخط الذي ترسمه النقطة P هو حلزون أرخميدس.

مبرهنة بابوس

الدُحروجة
محارة نيكوميدس
كيسويد ديوكليس
طريقة المماس لفيرما
طريقة الناظم لديكارت

التسلسل الزمني

السنة	الحدث
حوالي 3400 قبل الميلاد	السومريون يستخدمون عملات طينية بديلة للحساب
حوالي 3000 قبل الميلاد	ظهور رياضيات الهيروغليفية في مصر
حوالي 2800 قبل الميلاد	حضارة وادي السند تستخدم أوزاناً ومقاييس تعتمد على النظام العشري
حوالي 2700 قبل الميلاد	المصريون يستخدمون الحبال وثلاثيات فيثاغورس للتحقق من الزوايا
حوالي 2500 قبل الميلاد	اكتشاف المعداد، وهو أداة تستخدم للحساب
حوالي 2500 قبل الميلاد

المراجع

تاريخ الرياضيات

كيفية سرد الأعداد الأولية حتى 1000 باستخدام غربال إراتوستينس

Sun, 09 Apr 2023 12:54:24 +0900

ما هو غربال إراتوستينس

غربال إراتوستينس هو خوارزمية لسرد الأعداد الأولية حتى عدد معين. الخوارزمية بسيطة ويمكن تنفيذها باتباع الخطوات التالية:

قم بإنشاء مصفوفة من القيم المنطقية (bool) تحتوي على N عنصرًا وهيئ جميع العناصر إلى true.
قم بتعيين العنصرين الصفر والأول من المصفوفة إلى false (لأن 0 و 1 ليسا عددين أوليين).
إذا كان العنصر الثاني في المصفوفة هو true ، فقم بطباعة 2 كعدد أولي.
قم بتعيين جميع العناصر المضاعفة للعدد 2 بدءًا من $2^2$ إلى false ※
إذا كان العنصر الثالث في المصفوفة هو true ، فقم بطباعة 3 كعدد أولي.
قم بتعيين جميع العناصر المضاعفة للعدد 3 بدءًا من $3^2$ إلى false.
كرر نفس العملية للعناصر الرابع والخامس ، … ، والعنصر N.

※ السبب في تعيين العناصر الأكبر من المربع إلى false هو أن الأعداد الأصغر من المربع قد تمت معالجتها بالفعل (تم إكمال السرد).

التنفيذ في Rust

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16


fn main() {
 let n = 1000;
 let mut is_prime = vec![true; n+1];
 is_prime[0] = false;
 is_prime[1] = false;
 for i in 2..=n {
 if is_prime[i] {
 println!("{}", i);
 let mut j = i * i;
 while j <= n {
 is_prime[j] = false;
 j += i;
 }
 }
 }
}

نسخة أسرع قليلاً

سنقوم بتنفيذ نسخة أسرع قليلاً مع مراعاة النقاط التالية:

بدلاً من تهيئة المصفوفة إلى true ، نقوم بتهيئتها إلى false (هذا أسرع).
نظرًا لأن مضاعفات 2 ليست أعدادًا أولية ، سنتخطى عملية تعيين مضاعفات 2 إلى false.
ليس من الضروري التكرار حتى n ، إذا قمت بسرد الأعداد الأولية حتى الجذر التربيعي لـ n ، يمكنك سرد الأعداد الأولية حتى n.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20


fn main() {
 let n = 1000;
 let mut is_prime = vec![false; n+1];
 is_prime[2] = true;
 for i in (3..=n).step_by(2) {
 is_prime[i] = true;
 }
 for i in 3..=((n as f64).sqrt() as usize) {
 if is_prime[i] {
 let mut j = i * i;
 while j <= n {
 is_prime[j] = false;
 j += i * 2;
 }
 }
 }
 for i in (2..=n).filter(|&x| is_prime[x]) {
 println!("{}", i);
 }
}

مراجع

غربال إراتوستينس

كيفية رسم الرسوم البيانية باستخدام Python (matplotlib.pyplot)

Sun, 09 Apr 2023 01:02:19 +0900

المتطلبات

حساب جوجل

الخطوات

اذهب إلى https://colab.research.google.com/
اختر “ملف” -> “دفتر ملاحظات جديد”
الصق الكود التالي وقم بتشغيله

1
2
3
4
5
6
7


import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 500)
plt.plot(x, np.sin(x), label="sin curve")
plt.plot(x, np.cos(x), label="cos curve")
plt.legend() # إظهار وسيلة الإيضاح
plt.show()

النتيجة

المراجع

matplotlib.pyplot — Matplotlib 3.5.3 documentation

كيفية تفعيل KaTeX (عرض المعادلات بأسلوب LaTeX) في hugo

Fri, 31 Mar 2023 23:11:26 +0900

ما هو KaTeX؟

KaTeX هي مكتبة javascript لعرض المعادلات الرياضية بأسلوب LaTeX في HTML.

على وجه التحديد، يمكنك عرض معادلات مثل التالية:

$$f(x) = x^2 + x + 41$$

يبدو أن هناك مكتبات أخرى لعرض المعادلات بأسلوب LaTeX، لكن KaTeX معروفة بكونها بسيطة وسريعة.

كيفية إضافته إلى hugo

قم بإنشاء ملف جديد layouts/partials/math.html في بنية مجلدات hugo.

يجب أن يكون المحتوى كالتالي:

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17


<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.4/dist/katex.min.css" integrity="sha384-vKruj+a13U8yHIkAyGgK1J3ArTLzrFGBbBc0tDp4ad/EyewESeXE/Iv67Aj8gKZ0" crossorigin="anonymous">
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.4/dist/katex.min.js" integrity="sha384-PwRUT/YqbnEjkZO0zZxNqcxACrXe+j766U2amXcgMg5457rve2Y7I6ZJSm2A0mS4" crossorigin="anonymous"></script>
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.4/dist/contrib/auto-render.min.js" integrity="sha384-+VBxd3r6XgURycqtZ117nYw44OOcIax56Z4dCRWbxyPt0Koah1uHoK0o4+/RRE05" crossorigin="anonymous"></script>
<script>
document.addEventListener("DOMContentLoaded", function() {
 renderMathInElement(
 document.body,
 {
 delimiters: [
 {left: "$$", right: "$$", display: true},
 {left: "\\[", right: "\\]", display: true},
 {left: "$", right: "$", display: false},
 {left: "\\(", right: "\\)", display: false}
 ]
 });
 });
</script>

بعد ذلك، أضف الكود التالي إلى الملف الحالي layouts/partials/extend_head.html.

1
2
3


{{ if or .Params.math .Site.Params.math }}
{{ partial "math.html" . }}
{{ end }}

الآن أصبحت جاهزًا لاستخدام KaTeX.

عن طريق إضافة math: true إلى front matter للصفحة، يمكنك تفعيل KaTeX.

كل ما عليك فعله بعد ذلك هو كتابة المعادلات بأسلوب LaTeX في نص المقالة.

1

$$ e^{i \pi} = -1 $$

عندما تكتب كما هو موضح أعلاه، سيتم عرضها كالتالي:

$$ e^{i \pi} = -1 $$

مراجع

حل مشكلة البائع المتجول باستخدام Mathematica

Wed, 12 Oct 2022 19:05:58 +0900

حل مشكلة البائع المتجول باستخدام Mathematica

مشكلة

電車でこんな広告を見かけました😁📸 pic.twitter.com/iXEgvtXrpL
— 早稲田大学早水桃子研究室 (@hayamizu_lab) October 11, 2022

حل

1

d=SparseArray[{{1,2}->10,{2,1}->10,{1,5}->15,{5,1}->15,{1,4}->12,{4,1}->12,{1,3}->20,{3,1}->20,{2,5}->10,{5,2}->10,{3,4}->10,{4,3}->10,{3,8}->30,{8,3}->30,{3,7}->20,{7,3}->20,{3,6}->25,{6,3}->25,{4,5}->15,{5,4}->15,{4,8}->20,{8,4}->20,{5,9}->18,{9,5}->18,{5,8}->15,{8,5}->15,{6,7}->5,{7,6}->5,{7,8}->35,{8,7}->35,{8,9}->12,{9,8}->12},{9,9},Infinity];

إنشاء مصفوفة باستخدام وظيفة SparseArray. يمثل كل عنصر المسافة بين المدن في صف وعمود هذا العنصر. على سبيل المثال، العنصر الأول {1,2}->10 يعني أن المسافة بين 1 و 2 هي 10. العنصر قبل الأخير {9,9} يشير إلى حجم المصفوفة، والعنصر الأخير Infinity يعني أن طول المسار بين المدن غير المحددة لا نهائي. وبعبارة أخرى، يعني أنه لا يوجد مسار.

1

{len,tour}=FindShortestTour[{1,2,3,4,5,6,7,8,9},DistanceFunction->(d[[#1,#2]]&)]

يمكنك بسهولة حل مشكلة البائع المتجول باستخدام وظيفة FindShortestTour. تمثل {1,2,3,4,5,6,7,8,9} أرقام المدن. تمرر DistanceFunction->(d[[#1,#2]]&) المصفوفة d التي تمثل المسافات بين المدن.

انتاج

1

{137, {1, 2, 5, 9, 8, 7, 6, 3, 4}}

المخرجات هي أقصر مسافة والمسار في ذلك الوقت. أقصر مسافة هي 137، والمسار هو 1→2→5→9→8→7→6→3→4→1. إذا تم تغيير الترتيب إلى ABC، فسيصبح A, B, E, I, H, G, F, C, D.