خوارزمية شور on kenji.blog

【فهم كامل بالمعادلات】 لماذا يُهزم «GNFS» الكلاسيكي الأقوى أمام الخوارزميات الكمية؟ نقلة نوعية في تحليل العوامل الأولية

Sun, 06 Sep 2026 12:00:00 +0900

تتم حماية أمن المعلومات في مجتمع الإنترنت الحديث بواسطة التشفير بالمفتاح العام، مثل تشفير RSA. يعتمد أساس أمان تشفير RSA على حقيقة أن “التحليل إلى العوامل الأولية للأرقام المركبة الضخمة يمثل صعوبة بالغة من الناحية الحسابية” .

في هذا المقال، سنكشف عن الآلية الرياضية لـ “منخل حقل الأعداد العام” (GNFS)، وهو أقوى خوارزمية تحليل للعوامل الأولية للكمبيوتر الكلاسيكي، ونتعمق في سبب هزيمتها تمامًا بواسطة “خوارزمية شور” التي اكتشفها بيتر شور. سوف نستكشف هذه النقلة النوعية بعمق باستخدام المعادلات الرياضية والرسوم التوضيحية المفاهيمية.

1. نهج التحليل إلى العوامل في الحوسبة الكلاسيكية: التطور من طريقة فيرما للتحليل إلى العوامل

مشكلة التحليل إلى العوامل الأولية هي مشكلة إيجاد الأعداد الأولية $p, q$ بحيث يكون $N = p \times q$ لعدد مركب $N$ محدد.

تتلخص الفكرة الأساسية في إيجاد $x, y$ غير بديهية تلبي معادلة التطابق التالية:

$$ x^2 \equiv y^2 \pmod N $$

إذا قمنا بتعديل ذلك، نحصل على:

$$ x^2 - y^2 \equiv 0 \pmod N $$ $$ (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod N $$

هنا، إذا كان $x \not\equiv \pm y \pmod N$، يمكننا الحصول على عامل غير بديهي لـ $N$ عن طريق حساب $\gcd(x-y, N)$ أو $\gcd(x+y, N)$. هذه الحقيقة هي أساس خوارزميات التحليل الحديثة مثل GNFS.

2. أقوى الخوارزميات الكلاسيكية: أعماق “منخل حقل الأعداد العام” (GNFS)

يعد “GNFS” أسرع خوارزمية تحليل للعوامل الأولية معروفة لأجهزة الكمبيوتر الكلاسيكية اليوم. يستغرق تعقيد الوقت الخاص بها وقتًا شبه أسي (Sub-exponential).

تعقيد GNFS

بافتراض أن عدد أرقام $N$ هو $b = \log_2 N$، يمكن التعبير عن تعقيد GNFS على النحو التالي:

$$ O\left( \exp \left( \left(\frac{64}{9} b\right)^{1/3} (\log b)^{2/3} \right) \right) $$

كما يتضح من هذه المعادلة، التعقيد ليس وقتًا كثير الحدود، بل “وقت شبه أسي” أبطأ قليلاً من الدالة الأسية. ومع ذلك، مع زيادة عدد الخانات، سيزداد وقت الحساب بشكل فلكي.

الآلية الرياضية لـ GNFS

تتكون GNFS بشكل رئيسي من 4 خطوات:

اختيار كثيرات الحدود (Polynomial Selection)
الغربلة (Sieving)
تقليل المصفوفة (Matrix Reduction)
حساب الجذر التربيعي (Square Root)

2.1. اختيار كثيرات الحدود والحقل الجبري

أولاً، نختار كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال $f(x)$ و $g(x)$ بمعاملات صحيحة. يتم تعيينها ليكون لها جذر مشترك $m$ مقياس $N$. أي:

$$ f(m) \equiv 0 \pmod N $$ $$ g(m) \equiv 0 \pmod N $$

عادة، يتم اختيار $g(x)$ ككثيرة حدود من الدرجة الأولى $g(x) = x - m$. إذا جعلنا جذر $f(x)$ هو $\alpha$, يتشكل “حقل جبري” (Number Field) يسمى $\mathbb{Q}(\alpha)$. نقارن العمليات في حلقة $\mathbb{Q}(\alpha)$ مع العمليات في حلقة الأعداد الصحيحة العادية $\mathbb{Z}$ من خلال تشاكل $\phi: \alpha \mapsto m$.

2.2. الغربلة (Sieving)

بعد ذلك، نبحث عن عدد كبير من أزواج الأعداد الصحيحة الأولية نسبياً $(a, b)$. الهدف هو إيجاد أزواج بحيث تكون كلتا القيمتين التاليتين “B-smooth” (تتكون فقط من عوامل أولية صغيرة نسبياً):

$a - bm$ (القيمة على حلقة الأعداد الصحيحة)
$b^d f(a/b)$ (يتوافق مع المعيار $N(a - b\alpha)$ في الحقل الجبري)

هنا، يتم استخدام طريقة بحث سريعة تسمى “المنخل” (Sieve). يتيح ذلك استخراج أزواج $(a, b)$ بكفاءة والتي تلبي الشروط من بين عدد هائل من المرشحين.

2.3. تقليل المصفوفة (Linear Algebra over GF(2))

من الأزواج المُجمَّعة $(a, b)$، نقوم بتشكيل متجهات أسية وإيجاد الفضاء الصفري الأيسر لمصفوفة متفرقة ضخمة على $\mathbb{F}_2$ (حقل بعناصر 0 و 1 فقط).

نجد متجهاً للحل $v$ بحيث تصبح العلاقات $ \prod (a_i - b_i m) $ و $ \prod (a_i - b_i \alpha) $ كل منها مربعاً كاملاً. هذا ليس سوى حل لنظام من المعادلات الخطية:

$$ M \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} \pmod 2 $$

هنا، يتم استخدام خوارزميات الحساب العددي المتقدمة مثل خوارزمية Block Lanczos أو Block Wiedemann.

2.4. حساب الجذر التربيعي

أخيراً، نأخذ الجذر التربيعي من كل من الحقل الجبري وحلقة الأعداد الصحيحة، ونستنتج العلاقة $x^2 \equiv y^2 \pmod N$. ثم، نحسب $\gcd(x-y, N)$ ونحصل على العامل.

3. اختراق الحوسبة الكمية: “خوارزمية شور”

بينما يتطلب GNFS وقتاً شبه أسي، فإن “خوارزمية شور” التي نشرها بيتر شور في عام 1994 يمكن أن تحل هذه المشكلة في “وقت كثير الحدود” باستخدام كمبيوتر كمي.

تعقيد خوارزمية شور

إذا افترضنا أن عدد الكيوبت هو $O(\log N)$، فإن تعقيد الوقت يكون:

$$ O((\log N)^3) $$

هذا يعني أنه لا يوجد انفجار أسي بالنسبة لعدد البتات. إنها نتيجة مذهلة حيث يمكن للأعداد المركبة الضخمة التي يتجاوز وقت حسابها في “الحوسبة الكلاسيكية” عمر الكون، أن يتم حلها في غضون ساعات إلى أيام باستخدام “الحوسبة الكمية” .

نظرة عامة على خوارزمية شور: الاختزال إلى مشكلة إيجاد الدورة

تختزل خوارزمية شور مشكلة التحليل إلى العوامل الأولية ببراعة إلى “مشكلة إيجاد الدورة” .

اختر عدداً صحيحاً عشوائياً $a$ أولي نسبياً مع $N$ (حيث $1 < a < N$).
عرّف الدالة $f(x) = a^x \bmod N$.
أوجد الدورة $r$ للدالة $f(x)$، أي أصغر عدد صحيح موجب $r$ بحيث $a^r \equiv 1 \pmod N$.
إذا كان $r$ عدداً زوجياً، تحقق مما إذا كان $a^{r/2} \not\equiv -1 \pmod N$， واحسب $\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)$ للحصول على العامل الأولي.

هذه الخطوة 3، أي “اكتشاف الدورة $r$” ، هي عنق الزجاجة الذي يتطلب وقتاً أسياً على الكمبيوتر الكلاسيكي، لكن الكمبيوتر الكمي يحلها في لحظة باستخدام “التراكب الكمي” و “تحويل فورييه الكمي” (QFT).

4. تحويل فورييه الكمي (QFT) واستخراج الدورة

دعونا نلقي نظرة فاحصة على العمليات الرياضية للحالات الكمية التي هي جوهر خوارزمية شور.

4.1. توليد التراكب الكمي

أولاً، قم بإعداد سجلي كم (Registers). يحتفظ السجل 1 بحالة التراكب للمدخل $x$، ويحتفظ السجل 2 بنتيجة الحساب للدالة $f(x)$. قم بتطبيق تحويل هادامار (Hadamard Transform) على الحالة الأولية $|0\rangle |0\rangle$ لإنشاء تراكب لجميع قيم $x$ الممكنة.

$$ |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |0\rangle $$

(حيث $Q$ هو قوة للعدد 2 تلبي $N^2 \le Q < 2N^2$)

بعد ذلك، استخدم وسيط كمي (Quantum Oracle) $U_f$ لحساب $f(x) = a^x \bmod N$ وتخزينه في السجل 2.

$$ |\psi_2\rangle = U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{x=0}^{Q-1} |x\rangle |a^x \bmod N\rangle $$

لنفترض الآن أنه تم قياس السجل 2 (من الناحية النظرية، حتى لو لم يتم قياسه، فإن البنية الرياضية هي نفسها). إذا تم ملاحظة قيمة معينة $y = a^{x_0} \bmod N$، فإن حالة السجل 1 ستنهار إلى تراكب لجميع $x$ التي تجعل $f(x) = y$. إذا افترضنا أن الدورة هي $r$، فإن مثل هذه الـ $x$ ستكون $x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, \dots$

$$ |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k=0}^{M-1} |x_0 + kr\rangle $$

(حيث $M \approx Q/r$ هو عدد الحدود)

تحتوي هذه الحالة على معلومات الدورة $r$، لكن القياس المباشر سينتج فقط $x_0 + kr$ عشوائية، ولن تُعرف الدورة $r$. هنا يأتي دور QFT.

4.2. تطبيق تحويل فورييه الكمي (QFT)

QFT هي عملية تطبق تحويل فورييه المتقطع على السعات للحالات الكمية. يُعرَّف تأثير QFT على الحالة $|x\rangle$ على النحو التالي:

$$ \text{QFT} |x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{y=0}^{Q-1} e^{2\pi i \frac{xy}{Q}} |y\rangle $$

عند تطبيق ذلك على $|\psi_3\rangle$، يحدث تداخل الطور (تداخل كمي).

$$ |\psi_4\rangle = \text{QFT} |\psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{MQ}} \sum_{y=0}^{Q-1} \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{(x_0 + kr)y}{Q}} |y\rangle $$

إذا قمنا بتوسيع المجموع في هذه المعادلة، يظهر الجزء التالي:

$$ \sum_{k=0}^{M-1} e^{2\pi i \frac{kry}{Q}} $$

مجموع المتسلسلة الهندسية هذا يعزز بعضه البعض (تداخل بنّاء Constructive Interference) فقط عندما يكون $ry/Q$ قريباً من عدد صحيح، ويلغي بعضه البعض (تداخل هدّام Destructive Interference) في أوقات أخرى.

لذلك، ستكون الحالة $|y\rangle$ المقاسة باحتمالية عالية عبارة عن عدد صحيح $y$ يلبي:

$$ \frac{y}{Q} \approx \frac{c}{r} $$

(حيث $c$ هو أي عدد صحيح).

4.3. تحديد الدورة عن طريق توسيع الكسر المستمر

بعد الحصول على $y$ من خلال القياس، استخدم كمبيوتراً كلاسيكياً لإجراء “توسيع الكسر المستمر” (Continued Fraction Expansion) على $y/Q$. يتيح ذلك حساب الكسر التقريبي $c/r$ للـ $y/Q$ واستخراج الدورة المحتملة $r$ من المقام بكفاءة عالية.

5. مقارنة النماذج المفاهيمية والنقلة النوعية

لفهم الاختلاف بين GNFS وخوارزمية شور بشكل بديهي، يوضح الرسم المفاهيمي باستخدام تدوين Mermaid.

رسم مفاهيمي لخوارزمية شور باستخدام دارة كمية

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13


graph TD
 A[الحالة الأولية: 0...0] --> B[تراكب جميع الحالات بتحويل هادامار]
 B --> C[عملية الأس المعياري a^x mod N]
 C -->|التشابك الكمي| D[الانهيار إلى حالة ذات دورية]
 D --> E[تحويل فورييه الكمي QFT]
 E -->|تضخيم الاحتمالية عبر التداخل| F[القياس: الحصول على y]
 F --> G[المعالجة الكلاسيكية: الكسر المستمر]
 G --> H[اكتشاف الدورة r]
 H --> I[حساب العامل الأولي لـ N]

 style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
 style E fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
 style I fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px

جوهر النقلة النوعية

يتخذ GNFS نهج “البحث عن علاقات داخل الفضاء الرياضي (الحقل الجبري)” . ومع ذلك، نظراً لأن مساحة البحث تتسع أسيًا مع عدد الأرقام، يصبح فك التشفير مستحيلاً تقريباً لطول مفتاح يتجاوز 2048 بتاً باستخدام قدرة الحوسبة الكلاسيكية (حتى مع المعالجة المتوازية).

من ناحية أخرى، تستفيد خوارزمية شور من “الطبيعة الموجية للتداخل الكمي” . فهي تقيّم جميع مسارات الحساب في حالة التراكب في وقت واحد، وتلغي (تُضعف) الإجابات غير الضرورية باستخدام QFT، وتضخم فقط سعة الاحتمال للدورة الصحيحة. بذلك، لا يبحث هذا النهج في المساحة، بل يتبنى بعداً مختلفاً تماماً: “جعل الإجابة الصحيحة تطفو على السطح” .

6. الخلاصة

في هذا المقال، قارنا بعمق الخلفية الرياضية وهيكل الخوارزمية بين “GNFS” الذي يمثل أقصى حدود الحوسبة الكلاسيكية، و “خوارزمية شور” التي تُظهر قوة الحوسبة الكمية.

في حين استخدم GNFS تقنيات رياضية مثل اختيار كثيرات الحدود وحسابات المصفوفات الضخمة لدفع التعقيد نحو وقت شبه أسي، حققت خوارزمية شور اختراقاً مباشراً إلى وقت كثير الحدود من خلال الجمع بين المبادئ الأساسية لميكانيكا الكم من التراكب والتداخل مع أداة رياضية (QFT).

في الوقت الحالي، لا يوجد كمبيوتر كمي متسامح مع الأخطاء (FTQC) على نطاق عملي (آلاف الكيوبتات) قادر على تشغيل خوارزمية شور. ومع ذلك، فإن وجود هذه النقلة النوعية النظرية والرياضية هو بالتحديد السبب الأكبر وراء تسريع الانتقال إلى التشفير ما بعد الكمي (PQC: Post-Quantum Cryptography) في جميع أنحاء العالم اليوم.

هل ستدمر الحواسيب الكمومية حقًا تشفير RSA؟ ~ خوارزمية شور والمرحلة الحالية ~

Sat, 05 Sep 2026 22:09:21 +0900

مقدمة: تقاطع التشفير والحواسيب الكمومية

في مجتمع الإنترنت الحديث، “تشفير المفتاح العام” هو الأساس لحماية سرية الاتصالات. وأبرزها “تشفير RSA” الذي طوره كل من رون ريفست (Ron Rivest)، آدي شامير (Adi Shamir)، وليونارد أدلمان (Leonard Adleman) في عام 1977. من مدفوعات التسوق عبر الإنترنت التي نستخدمها يوميًا، إلى تصفح مواقع الويب (HTTPS)، وإرسال واستقبال رسائل البريد الإلكتروني، يعمل تشفير RSA كقلب البنية التحتية للإنترنت.

ولكن، مع ظهور “الحواسيب الكمومية”، تمت الإشارة إلى احتمال أن هذا الأمان قد يُدمر من جذوره. في وسائل الإعلام، تظهر أحيانًا عناوين مثيرة مثل “بمجرد اكتمال الحاسوب الكمومي، سيتم فك تشفير جميع كلمات المرور والتشفيرات في العالم في ثوانٍ”. هل هذا صحيح حقًا؟

في هذه المقالة، سنتعمق في آليات GNFS (منخل حقل الأعداد العام) كطريقة فك تشفير كلاسيكية، والنسخة النهائية لخوارزمية فك التشفير باستخدام الحواسيب الكمومية، وهي “خوارزمية شور” (Shor’s Algorithm). سنشرح المفاهيم المتقدمة مثل تحويل فورييه الكمومي واكتشاف الدورة بطريقة سهلة الفهم، وسنحقق بالتفصيل في الوضع الحالي للأجهزة الكمومية في عصر NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) والعقبات الحقيقية لكسر RSA-2048.

أساس تشفير RSA: صعوبة التحليل إلى العوامل الأولية

يعتمد أمان تشفير RSA على عدم تناسق بسيط للغاية في الرياضيات. وهي حقيقة أنه “من السهل ضرب عددين أوليين ضخمين، ولكن من الصعب للغاية العثور على العددين الأوليين الأصليين (التحليل إلى عوامل أولية) من النتيجة المضروبة (الرقم المركب)”.

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا عددين أوليين $ p = 61 $ و $ q = 53 $. حساب الضرب $ N = p \times q = 3233 $ يستغرق لحظة. ومع ذلك، إذا أُعطيت الرقم “3233” فقط وطُلب منك “ما هما العددان الأوليان اللذان مضروبهما يساوي هذا الرقم؟"، سيزداد حجم الحساب بشكل انفجاري كلما كبر الرقم.

في RSA-2048 السائد حاليًا، يتم استخدام رقم مركب ضخم $ N $ بطول مفتاح 2048 بت، أي حوالي 617 رقمًا عشريًا. إذا أمكن تحليل $ N $ هذا إلى عوامله الأولية، فسيكون التشفير قد تم كسره.

تحدي الحواسيب الكلاسيكية: GNFS (منخل حقل الأعداد العام)

لحل مشكلة التحليل إلى العوامل، طور علماء الرياضيات والتشفير خوارزميات مختلفة على مر السنين. من بينها، أسرع خوارزمية للحواسيب الكلاسيكية حاليًا هي ** منخل حقل الأعداد العام (GNFS: General Number Field Sieve) **.

GNFS هي طريقة لتحليل عدد ضخم $ N $ عن طريق توسيع الحسابات في حلقة الأعداد الصحيحة إلى حقل جبري أكثر تجريدًا (Number Field). التدفق العام كالتالي:

** اختيار متعددة الحدود **: ابحث عن متعددة حدود $ f(x) $ بدرجة ومعاملات مناسبة، بحيث يكون $ N $ جذرًا لها.
** جمع البيانات (الغربلة) **: ابحث عن عدد كبير من أزواج الأرقام التي يمكن تقسيمها إلى أعداد أولية صغيرة (أرقام سلسة، Smooth numbers) فوق حقل الأعداد المنطقية والحقول الجبرية. تُعرف هذه العملية بـ “الغربلة” وهي الجزء الذي يستغرق وقتًا أطول.
** توليد المصفوفة وتقليلها **: قم بإنشاء مصفوفة متناثرة ضخمة (مصفوفة معظم عناصرها 0) بناءً على العلاقات المجمعة، واعثر على الحل باستخدام طرق الجبر الخطي (مثل طريقة بلوك-لانكزوس).
** حساب الجذر التربيعي **: أخيرًا، احسب الجذر التربيعي على الحقل الجبري، واستخرج عوامل (العوامل الأولية) $ N $.

يُقدّر تعقيد الحساب لـ GNFS بشكل غير تقاربي بـ $ O(\exp((\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)) (\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})) $. يُسمى هذا تعقيد الوقت “شبه الأسي” (Sub-exponential). على الرغم من أنه أسرع من الوقت الأسي، إلا أنه أبطأ بكثير من الوقت متعدد الحدود (Polynomial time).

في الواقع، في عام 2020، نجح فريق بحث دولي في تحليل RSA-250 (رقم مركب من 829 بت، 250 رقمًا) باستخدام GNFS. استغرق هذا الحساب وقتًا هائلاً يقدر بحوالي 2700 سنة أساسية (CPU core years) بجمع موارد الحوسبة من جميع أنحاء العالم. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بـ 2048 بت، يُقال إن الحساب المطلوب سيتضخم إلى تريليونات من أضعاف عمر الكون، وبغض النظر عن عدد أجهزة الكمبيوتر العملاقة الحالية التي تعمل بالتوازي، فمن المستحيل كسرها في وقت واقعي باستخدام الطرق الكلاسيكية.

ورقة الحواسيب الكمومية الرابحة: خوارزمية شور

هنا تبرز “خوارزمية شور”، التي نشرها بيتر شور (Peter Shor) في عام 1994. كانت هذه الخوارزمية رائدة لأنها يمكن أن تحل مشكلة التحليل إلى العوامل الأولية على حاسوب كمومي في ** وقت متعدد الحدود ** ( $ O((\log N)^3) $ ). الفرق بين الوقت شبه الأسي والوقت متعدد الحدود حاسم، ومن الناحية النظرية، يعني ذلك أن استخدام الحواسيب الكمومية سيدمر تشفير RSA تمامًا.

التدفق العام لخوارزمية شور

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10


graph TD
 A[إدخال الرقم N المراد تحليله] --> B[اختيار عدد صحيح عشوائي a]
 B --> C{القاسم المشترك الأكبر<br>لـ a و N}
 C -->|أكبر من 1| D[لحسن الحظ تم اكتشاف العامل الأولي!]
 C -->|1 أوليان نسبيًا| E[دور الحاسوب الكمومي]
 E --> F[إيجاد الدورة r للدالة f_x = a^x mod N<br>بواسطة تحويل فورييه الكمومي]
 F --> G{الدورة r زوجية و<br>a^r/2 ≢ -1 mod N}
 G -->|نعم| H[حساب القاسم المشترك الأكبر gcd_a^r/2 ± 1, N]
 H --> I((نجاح التحليل!))
 G -->|لا| B

لا تحل خوارزمية شور مشكلة التحليل بشكل مباشر، بل تتخذ نهجًا يستخدم نظريات نظرية الأعداد لتحويلها إلى مشكلة أخرى تسمى “مشكلة اكتشاف الدورة” (Period Finding Problem)، ثم تحلها بسرعة باستخدام خصائص الحواسيب الكمومية.

الخطوة 1: التحويل من التحليل إلى مشكلة اكتشاف الدورة (المعالجة الكلاسيكية)

تتم الخطوة الأولى من الخوارزمية على حاسوب كلاسيكي. بالنسبة للرقم $ N $ الذي تريد تحليله، اختر رقمًا صحيحًا عشوائيًا $ a $ ($ 1 < a < N $) يكون أوليًا نسبيًا مع $ N $ (القاسم المشترك الأكبر هو 1). إذا حدث صدفة ألا يكون القاسم المشترك الأكبر 1، فإن القاسم المشترك الموجود هو العامل الأولي لـ $ N $ ويكتمل التشفير، لكن الاحتمال منخفض للغاية.

بعد ذلك، نعتبر تسلسل المعادلة المعيارية التالية: $ f(x) = a^x \pmod N $

عند تعويض $ x = 1, 2, 3, \dots $ في هذه الدالة $ f(x) $، تبدو القيم عشوائية، ولكن لأن الحساب يتم ضمن نطاق محدود، فإنها ستعود بالتأكيد إلى القيمة الأصلية في مكان ما، وتكرر نفس التسلسل. تُسمى فترة هذا التكرار بـ $ r $. بمعنى آخر، $ a^r \equiv 1 \pmod N $ مشكلة العثور على أصغر عدد صحيح موجب $ r $ يلبي هذه المعادلة هي “مشكلة اكتشاف الدورة”.

إذا تم العثور على هذه الدورة $ r $ وكانت $ r $ عددًا زوجيًا، فإن $ a^r - 1 \equiv 0 \pmod N $، وبواسطة صيغة التحليل $ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $ يمكن تحويلها. من هنا، باستخدام خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر لـ $ N $ و $ a^{r/2} \pm 1 $، يمكن الحصول على العوامل الأولية لـ $ N $ باحتمالية عالية جدًا.

العثور على الدورة $ r $ باستخدام حاسوب كلاسيكي يتطلب في النهاية خطوات أسية ولا يمكن تسريعه. ولكن مع الحاسوب الكمومي، يمكن العثور على الدورة $ r $ في لحظة (في وقت متعدد الحدود).

الخطوة 2: تحضير الحالة الكمومية والتراكب

من هنا يبدأ دور الحاسوب الكمومي. تستخدم الحواسيب الكمومية “الكيوبتات” (Qubits) التي يمكن أن تمتلك حالتي “0” و “1” في نفس الوقت. في خوارزمية شور، يتم إعداد سجلين: سجل لتخزين المدخلات (السجل الأول) وسجل لتخزين نتائج الحساب (السجل الثاني).

أولاً، نطبق عملية بوابة كمومية تسمى بوابة هادامارد (Hadamard gate) على جميع الكيوبتات في السجل الأول. نتيجة لذلك، يصبح السجل الأول في ** حالة تراكب متساوية ** لجميع قيم $ x $ الممكنة (من $ 0 $ إلى $ 2^n-1 $. حيث $ n $ هو عدد كبير كافٍ من البتات).

بمعنى آخر، داخل الحاسوب الكمومي، يتم إنشاء حالة تتواجد فيها عدد لا يحصى من قيم الإدخال $ x=0, 1, 2, 3, \dots $ في نفس الوقت والتوازي.

الخطوة 3: الأس المعياري الكمومي (Quantum Modular Exponentiation)

بعد ذلك، باستخدام حالة التراكب في السجل الأول كمدخل، يتم حساب $ f(x) = a^x \pmod N $ ويتم تخزين النتيجة في السجل الثاني. نظرًا لأن هذا الحساب يتم كتحويل وحدوي (Unitary transformation) على الدائرة الكمومية، يتم حساب $ f(x) $ لجميع قيم $ x $ “في وقت واحد (التوازي الكمومي)” مع الحفاظ على التراكب.

مساحة النظام الكمومي بأكمله في هذه المرحلة هي، $ |x, a^x \bmod N\rangle $ تراكب هائل للحالات.

ولكن، إذا قمنا ببساطة بقياس (رصد) السجل الثاني هنا، فسيتم اختيار قيمة واحدة عشوائية لـ $ a^x \bmod N $ احتماليًا، وبشكل متصل، سيتم تحديد $ x $ السجل الأول أيضًا بقيمة واحدة. هذا يعادل الحساب مرة واحدة على حاسوب كلاسيكي، ولن نتمكن من العثور على الدورة $ r $.

وفقًا لقواعد ميكانيكا الكم، لا يمكننا النظر مباشرة داخل حالة التراكب. إذن، كيف نستخرج المعلومات العالمية المتمثلة في “الدورة” الشاملة؟

الخطوة 4: تحويل فورييه الكمومي (QFT: Quantum Fourier Transform)

الجوهر الحقيقي لخوارزمية شور لاختراق هذا الجدار هو تطبيق ** تحويل فورييه الكمومي (QFT) ** على السجل الأول.

قبل إجراء القياس، نقوم بتحليل الخصائص الموجية للدالة $ f(x) $. لنفترض أننا رصدنا السجل الثاني. وحصلنا على قيمة معينة $ y $. عندئذٍ، ستتقلص حالة السجل الأول إلى “تراكب لجميع قيم $ x $ بحيث يكون $ a^x \pmod N = y $”. ستصطف قيم $ x $ هذه بشكل منفصل بفترات دورية $ r $ مثل $ x_0, x_0 + r, x_0 + 2r, x_0 + 3r, \dots $ (نوع من التوزيع الاحتمالي على شكل مشط).

نطبق تحويل فورييه الكمومي (QFT) على هذه الحالة. كما يحول تحويل فورييه المنفصل الكلاسيكي الإشارات في المجال الزمني إلى مجال التردد، يتسبب QFT في حدوث تداخل في السعات الاحتمالية للحالة الكمومية.

عند تطبيق QFT، بسبب تأثيرات التداخل الكمومي، تلغي احتمالات الإجابات الخاطئة التي لا يتردد صداها مع الدورة $ r $ (تكون الأطوار غير متوافقة) بعضها البعض وتقترب من الصفر (تداخل هدام)، بينما يتم تضخيم احتمال الإجابة الصحيحة فقط التي تحمل معلومات الدورة $ r $ (تداخل بناء).

الخطوة 5: القياس وتوسيع الكسر المستمر (المعالجة الكلاسيكية البعدية)

عند قياس السجل الأول بعد تطبيق QFT، سنحصل باحتمالية عالية جدًا على عدد صحيح $ c $ قريب من الصيغة $ c \approx \frac{j \cdot 2^n}{r} $ ($ j $ عدد صحيح غير معروف، $ 2^n $ هو حجم السجل).

نعيد نتيجة القياس هذه $ c $ إلى حاسوب كلاسيكي، وننشئ الكسر $ \frac{c}{2^n} \approx \frac{j}{r} $. ثم باستخدام الطريقة الرياضية “توسيع الكسر المستمر” (Continued fraction expansion) لحساب التقريب، يمكننا استخراج القاسم، وهو الدورة $ r $ بنجاح.

إذا عرفنا $ r $، نستخدم صيغة الخطوة 1 لحساب عوامل $ N $، وبذلك يتم كسر تشفير RSA تمامًا.

القدرة الحالية للحواسيب الكمومية (NISQ) والتحديات

على الرغم من أن خوارزمية شور مثالية نظريًا، إلا أن الإجابة على سؤال “هل سيتم كسر تشفير RSA غدًا؟” هي “لا” بوضوح. يكمن السبب في حدود تكنولوجيا الأجهزة للحواسيب الكمومية الحالية.

عصر NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum)

الزمن الذي نعيش فيه الآن هو عصر يسمى “NISQ”. تمتلك أجهزة NISQ العشرات إلى المئات من الكيوبتات المادية، لكنها ضعيفة للغاية أمام الضوضاء.

الكيوبتات عرضة لتأثيرات البيئة الخارجية مثل الحرارة والموجات الكهرومغناطيسية، وكثيراً ما يحدث “فك الترابط” (فقدان التشابك الكمومي) حيث تنهار الحالة الكمومية، و “أخطاء البوابات” أثناء عمليات البوابات. عند محاولة تنفيذ دوائر كمومية عميقة جدًا (مع عدد هائل من خطوات العمليات) مثل خوارزمية شور، تتراكم الأخطاء أثناء الحساب، ويصبح الناتج النهائي مجرد ضوضاء عشوائية لا معنى لها.

الكيوبتات المادية والكيوبتات المنطقية

لحل مشكلة الخطأ هذه، لا غنى عن “تصحيح الخطأ الكمومي” (Quantum Error Correction). تُستخدم أكواد تصحيح الأخطاء في الحواسيب الكلاسيكية أيضًا، ولكن نظرًا لوجود “نظرية عدم الاستنساخ الكمومي” التي تمنع نسخ الحالات الكمومية، فإن تصحيح الأخطاء الكمومية معقد للغاية.

في تصحيح الخطأ الكمومي، باستخدام تقنيات مثل “الكود السطحي” (Surface Code)، من خلال دمج العديد من “الكيوبتات المادية” المليئة بالضوضاء، يتم إنشاء “كيوبت منطقي” واحد مثالي خالٍ من الأخطاء.

بافتراض معدلات الخطأ الحالية، يُقدر أن هناك حاجة إلى ما بين 1000 إلى 10000 كيوبت مادي لإنشاء كيوبت منطقي واحد. يُطلق على هذا اسم “عبء تصحيح الخطأ” (Overhead).

ما هي الموارد المطلوبة لكسر RSA-2048؟

إذن، لتشغيل خوارزمية شور لكسر RSA-2048 فعليًا، ما مقدار الموارد المطلوبة؟

وفقًا للتقدير المرجعي للموارد في ورقة عام 2021 التي قدمها كريج جيدني (Craig Gidney) (جوجل) ومارتن إكيرا (Martin Ekerå)، عند استخدام خوارزمية شور المُحسّنة وإجراء تصحيح الأخطاء باستخدام الكود السطحي، ستكون هناك حاجة للموارد التالية:

** عدد الكيوبتات المنطقية **: حوالي 4,096
** عدد الكيوبتات المادية **: ** حوالي 20 مليون ** (بافتراض معدل خطأ بنسبة $10^{-3}$)
** وقت الحساب **: حوالي 8 ساعات (ملايين إلى مليارات عمليات البوابات المادية مطلوبة)

بالمقارنة مع هذا، ما هو المستوى الذي وصلت إليه الأجهزة الكمومية الحالية؟ يبلغ المعالج الكمومي فائق التوصيل “Condor” الذي أعلنت عنه شركة IBM في أواخر عام 2023 حوالي 1,121 كيوبت. ظهرت أيضًا أبحاث رائدة في توليد الكيوبتات المنطقية (مثل توليد 48 كيوبتًا منطقيًا باستخدام حاسوب كمومي للذرات المتعادلة بواسطة جامعة هارفارد وشركة QuEra)، لكننا لم نصل بعد إلى مرحلة يمكن فيها تشغيل “عمليات مثالية بدون ضوضاء” بشكل مستمر لفترات طويلة.

لتوسيع النطاق من بضعة آلاف من الكيوبتات المادية إلى ** 20 مليون ** كيوبت مادي عملي (نظام متصل ببعضه البعض، يعمل باستقرار في درجات حرارة منخفضة للغاية، ويعالج إشارات التحكم بسرعة فائقة)، توجد حواجز هندسية هائلة (مشاكل الأسلاك، قيود قدرة التبريد، تضخم إلكترونيات التحكم). يتوقع العديد من الخبراء أن الأمر سيستغرق ما لا يقل عن 10 إلى 30 عامًا، أو ربما أكثر، لتحقيق “حاسوب كمومي متسامح مع الأخطاء (FTQC)” قادر على فك تشفير RSA-2048.

تهديد “Store Now, Decrypt Later” الخفي وفجر PQC

من السابق لأوانه الاعتقاد أنه “نحن في أمان لأن الأمر سيستغرق أكثر من 10 سنوات”. يوجد حاليًا بيانات مثل أسرار الدولة، البيانات الطبية، وتصميم البنية التحتية طويلة الأمد التي يجب ضمان سريتها لعقود قادمة.

ما يُثير القلق هنا هو تقنية الهجوم ** “Store Now, Decrypt Later” (احفظ الآن، فك التشفير لاحقًا) **. تقوم دول أو منظمات خبيثة باعتراض جميع بيانات الاتصال المشفرة حاليًا بـ RSA أو ECC (تشفير المنحنى الإهليلجي) وتخزينها في مساحة التخزين. ثم بعد 10 أو 20 عامًا، بمجرد اكتمال حاسوب كمومي قوي، يستخدمون خوارزمية شور لفك تشفير جميع البيانات السابقة وكشف الأسرار.

لمواجهة تهديد الفجوة الزمنية هذا، وبقيادة NIST (المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا الأمريكي)، تم تسريع عملية توحيد معايير ** “التشفير ما بعد الكمي” (PQC: Post-Quantum Cryptography) **.

PQC هي خوارزميات تشفير جديدة تستند إلى مسائل رياضية يصعب حلها حتى باستخدام الحواسيب الكمومية (بمعنى آخر، لا يمكن تطبيق خوارزمية شور عليها). تشمل الأساليب الرئيسية ما يلي:

** التشفير القائم على الشبكة (Lattice-based cryptography) **: يعتمد على مشاكل مثل LWE (التعلم مع الأخطاء). هو السائد في توحيد معايير NIST (مثل Kyber، Dilithium).
** التشفير القائم على الرمز (Code-based cryptography) **: يعتمد على صعوبة مشكلة فك تشفير أكواد تصحيح الأخطاء.
** التشفير متعدد الحدود متعدد المتغيرات (Multivariate cryptography) **: يعتمد على صعوبة حل أنظمة المعادلات التربيعية متعددة المتغيرات.
** التوقيعات القائمة على التجزئة (Hash-based signatures) **: توقيعات رقمية تعتمد فقط على أمان دوال التجزئة.

بدأ بالفعل اختبار إدخال وتنفيذ هجين لـ PQC في البرامج والمنصات الرئيسية مثل Google Chrome و Apple iMessage.

おわりに

تنتقل الحواسيب الكمومية من حلم في عالم الخيال العلمي إلى تحدٍ هندسي في العالم الحقيقي. تعتبر خوارزمية شور إنجازًا فكريًا عظيمًا للبشرية يدمج بين الرياضيات وميكانيكا الكم، ولكنها في الوقت نفسه تحمل “قوة تدميرية” تهز أساس مجتمعنا الرقمي.

لن يصبح تشفير RSA غير صالح للاستخدام غدًا. ولكن بالنظر إلى تطور التكنولوجيا الكمومية ومخاطر “Store Now, Decrypt Later”، فإن الهجرة واسعة النطاق في تاريخ التشفير والمتمثلة في الانتقال إلى PQC قد بدأت بالفعل. نحن نشهد الآن الخطوط الأمامية لتغيير جذري في أمن المعلومات.