القيمة المتوقعة on kenji.blog

مفارقة سانت بطرسبرغ: كم ستدفع في مقامرة قيمتها المتوقعة "لانهائية"؟

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. مقامرة الأحلام بقيمة متوقعة “لانهائية”

بينما تتجول في كازينو، يدعوك الموزع للعب لعبة رمي عملة معدنية جديدة كالتالي.

【قواعد اللعبة】

تدفع رسوم الدخول لبدء اللعبة.
يتم رمي عملة معدنية. إذا ظهر وجه، تتضاعف جائزتك المالية ويمكنك الرمي مرة أخرى.
إذا ظهر ظهر، تنتهي اللعبة. ستحصل على الجائزة المالية التي تراكمت حتى تلك اللحظة.

تبدأ الجائزة الأولية من دولارين.

إذا ظهر ظهر في الرمية الأولى، تحصل على دولارين وتنتهي اللعبة.
إذا ظهر وجه في الرمية الأولى وظهر في الرمية الثانية، تحصل على 4 دولارات وتنتهي اللعبة.
إذا ظهر وجه في الرميتين الأولى والثانية، وظهر في الرمية الثالثة، تحصل على 8 دولارات وتنتهي اللعبة.
…وبعد ذلك، طالما استمر ظهور الوجه، ستتضاعف الجائزة المالية إلى 16 دولارًا، 32 دولارًا، 64 دولارًا… وهكذا.

graph TD Start["بدء اللعبة"] --> Toss1{"الرمية الأولى"} Toss1 -->|ظهر (1/2)| End1["انتهاء: الفوز بدولارين"] Toss1 -->|وجه (1/2)| Toss2{"الرمية الثانية"} Toss2 -->|ظهر (1/2)| End2["انتهاء: الفوز بـ 4 دولارات"] Toss2 -->|وجه (1/2)| Toss3{"الرمية الثالثة"} Toss3 -->|ظهر (1/2)| End3["انتهاء: الفوز بـ 8 دولارات"] Toss3 -->|وجه (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|كلما استمرت الرميات| Infinite["تتضاعف الجائزة بلا حدود!"]

الآن، إليك سؤال. إذا كانت رسوم الدخول لهذه اللعبة هي “10,000 دولار”، فهل ستشارك؟

ربما سيجيب معظم الناس “لن أشارك”. لأن هناك احتمال بنسبة النصف أن يظهر ظهر في الرمية الأولى، ولن تحصل إلا على دولارين، وتخسر خسارة فادحة.

ومع ذلك، إذا قمت بحسابها بدقة وفقاً لنظرية الاحتمالات الرياضية (القيمة المتوقعة)، فستكتشف حقيقة مذهلة. رياضياً، سواء كانت رسوم الدخول 10,000 دولار أو 100 مليون دولار، يجب عليك المشاركة في هذه اللعبة حتى لو اضطررت لاقتراض كل أموالك.

لماذا هذا؟

2. لنحسب القيمة المتوقعة

هناك مؤشر رياضي لتحديد ما إذا كانت المقامرة “مربحة أم خاسرة” يسمى “القيمة المتوقعة”. تمثل القيمة المتوقعة “المتوسط الذي ستربحه في كل مرة عند تكرار اللعبة عدة مرات”. صيغة الحساب هي مجموع “(الجائزة المالية) × (احتمالها)” لجميع الحالات الممكنة.

لنحسب القيمة المتوقعة لهذه اللعبة.

احتمال ظهور ظهر في المرة الأولى: $\frac{1}{2}$ الجائزة هي $2$ دولار. المساهمة في القيمة المتوقعة ＝ $2 \times \frac{1}{2} = 1$ دولار
احتمال ظهور ظهر في المرة الثانية: يظهر وجه ثم ظهر، لذا $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ الجائزة هي $4$ دولارات. المساهمة في القيمة المتوقعة ＝ $4 \times \frac{1}{4} = 1$ دولار
احتمال ظهور ظهر في المرة الثالثة: يظهر وجه ثم وجه ثم ظهر، لذا $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ الجائزة هي $8$ دولارات. المساهمة في القيمة المتوقعة ＝ $8 \times \frac{1}{8} = 1$ دولار
احتمال ظهور ظهر في المرة $n$: $(\frac{1}{2})^n$ الجائزة هي $2^n$ دولار. المساهمة في القيمة المتوقعة ＝ $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ دولار

بعبارة أخرى، بغض النظر عن المرة التي تنتهي فيها اللعبة، فإن القيمة المتوقعة لذلك النمط تكون دائماً “1 دولار”. نظراً لأن اللعبة يمكن أن تستمر إلى الأبد، فإن جمع كل هذه القيم المتوقعة يعطينا ما يلي.

$$ \text{القيمة المتوقعة الإجمالية} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (لانهائية)} $$

كانت الإجابة التي قدمتها الرياضيات هي أن “القيمة المتوقعة لهذه اللعبة لانهائية”. بما أن القيمة المتوقعة لانهائية، بغض النظر عن مدى ارتفاع رسوم الدخول، فمن الناحية النظرية، يجب أن تكون بالتأكيد “مقامرة مربحة”.

هذه هي “مفارقة سانت بطرسبرغ” التي طرحها نيكولاوس برنولي في عام 1713. هناك تناقض حاد بين نتيجة الحساب الرياضي الصحيحة (لها قيمة لانهائية) والإحساس البشري الواقعي (لا أريد أن أدفع سوى بضعة دولارات).

3. اكتشاف “المنفعة” الذي يحل الفجوة بين الرياضيات والبشر

الشخص الذي حل هذه المفارقة هو عالم الرياضيات العبقري دانيال برنولي، ابن عم نيكولاوس. (سُميت بهذا الاسم لأنه قدم هذه الورقة البحثية في أكاديمية العلوم في سانت بطرسبرغ).

تعمق دانيال في علم النفس البشري. واعتقد أن “البشر لا يحكمون على الأشياء بناءً على ‘المبلغ المطلق’ للمال، بل بناءً على ‘مستوى الرضا (المنفعة)’ الذي يجلبه هذا المال”.

يسمى هذا “قانون تناقص المنفعة الحدية”.

تنخفض قيمة المال حسب الكمية التي تمتلكها

على سبيل المثال، عندما تكون عطشاناً جداً في الصحراء، فإن الكأس الأول من الماء له قيمة (مستوى رضا) تجعلك “مستعداً لدفع 10,000 دولار لشربه”. ومع ذلك، مع شربك للكأس الثاني والثالث، تنخفض قيمة كل كأس إضافي باستمرار. بحلول الكأس العاشر، قد تقول “لا أريده حتى لو كان مجانياً”.

المال يعمل بنفس الطريقة.

“المليون دولار” الذي يحصل عليه شخص ليس لديه مدخرات له قيمة هائلة يمكن أن تنقذ حياته.
ومع ذلك، فإن “المليون دولار” الذي يحصل عليه إيلون ماسك، الذي يمتلك أصولاً بمليارات الدولارات، له قيمة (مستوى رضا) تعادل عملة معدنية صغيرة ملقاة على جانب الطريق.

وبعبارة أخرى، حتى لو تضاعفت الجائزة المالية بشكل لا نهائي من 2 دولار $\rightarrow$ 4 دولارات $\rightarrow$ 8 دولارات $\rightarrow$ 16 دولارًا… فإن “السعادة (المنفعة)” التي يشعر بها الإنسان لا تزداد بشكل لا نهائي بالتناسب مع المبلغ.

4. إعادة حساب القيمة المتوقعة باستخدام “المنفعة”

افترض دانيال برنولي أن “قيمة (منفعة) المال التي يشعر بها الإنسان تتناسب مع لوغاريتم ($\log$) المبلغ”.

إذا كان المبلغ هو $x$، فيمكننا التعبير عن القيمة (المنفعة) التي يشعر بها الإنسان $u(x)$ كدالة لوغاريتمية (هنا نفكر في نموذج بسيط أساسه 2).

منفعة الجائزة $2$ دولار: $\log_2(2) = 1$
منفعة الجائزة $4$ دولارات: $\log_2(4) = 2$
منفعة الجائزة $8$ دولارات: $\log_2(8) = 3$
منفعة الجائزة $2^n$ دولار: $\log_2(2^n) = n$

تتضاعف المبالغ، لكن “سعادة” الإنسان تزداد شيئاً فشيئاً فقط كـ 1، 2، 3… دعونا نحسب القيمة المتوقعة (المنفعة المتوقعة) مرة أخرى باستخدام هذه “المنفعة”.

$$ \text{المنفعة المتوقعة} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

عند حساب مجموع هذه المتسلسلة اللانهائية، لا تكون النتيجة “لانهائية”، بل تتقارب إلى “2”. إذا حسبنا عكسياً المبلغ الذي تكون منفعته “2”، نحصل على $2^2 = 4$ دولارات.

بعبارة أخرى، عندما نعيد الحساب مع دمج علم النفس البشري (المنفعة)، نصل إلى إجابة منطقية وواقعية للغاية وهي أن “قيمة هذه اللعبة، وفقاً للإدراك البشري، تبلغ حوالي ‘4 دولارات’ فقط”. لهذا السبب، لسنا مستعدين لدفع 10,000 دولار مقابل هذه اللعبة.

5. الخلاصة: المفارقة التي فتحت أبواب علم الاقتصاد

كانت مفارقة سانت بطرسبرغ مفارقة رائدة أثبتت رياضياً أن الأرقام الموضوعية مثل “المبلغ” والقيم الذاتية مثل “مستوى رضا الإنسان” لا يتطابقان.

أصبح مفهوم “المنفعة (Utility)” الذي اقترحه دانيال برنولي، بعد 200 عام، الأساس الأكثر أهمية للاقتصاد الجزئي الحديث والهندسة المالية (مثل نظرية المحفظة الاستثمارية). يمكن أيضاً تفسير سلوكياتنا مثل شراء التأمين أو تنويع الاستثمارات، بالكامل من خلال هذه الآلية النفسية البشرية المتمثلة في “تناقص المنفعة الحدية (ألم الخسارة الفادحة يفوق بكثير متعة الربح الكبير)”.

لقد أصبحت مسألة حسابية بسيطة لمقامرة الحافز لفك رموز العقل البشري وخلق مجال دراسي ضخم يُعرف بعلم الاقتصاد.

مفارقة المظروفين: كيف يؤدي التوقع اللانهائي إلى انهيار المنطق وفخاخ اتخاذ القرار

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. الخيار النهائي: هل يجب التبديل أم لا؟

أنت تقف في المرحلة النهائية من برنامج ألعاب. يوجد على الطاولة أمامك مظروفان متطابقان تماماً (A و B). قال المقدم:

“أحد المظروفين يحتوي على ضعف المبلغ الموجود في المظروف الآخر. يرجى اختيار أحدهما.”

بعد تردد، اخترت المظروف A. في اللحظة التي حاولت فيها رؤية المحتوى، همس المقدم بوسوسة شيطانية:

“الآن، يمكنك تبديل المظروف A بالمظروف B المتبقي. هل تريد التبديل؟”

الآن، هل يجب عليك تبديل المظروف؟

2. “الحلقة اللانهائية” التي يستنتجها حساب القيمة المتوقعة

دعونا نستخدم بعض التفكير الرياضي هنا. لنفترض أن المبلغ الموجود في المظروف A الذي تحمله هو $X$ ين. بناءً على القواعد، المبلغ في المظروف B هو إما “نصف $X$ ين ($\frac{X}{2}$)” أو “ضعف $X$ ين ($2X$)”. احتمال كل منهما هو $\frac{1}{2}$ (50%).

لذا، دعونا نحسب القيمة المتوقعة (متوسط المبلغ المتوقع) في حالة تبديل المظروف.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

لقد ظهرت نتيجة مذهلة. بمجرد تبديل المظروف، تقفز القيمة المتوقعة من $X$ ين الأصلية لتصبح $1.25$ ضعفاً (زيادة بنسبة 25%). نصل إلى استنتاج مفاده: “إذا فكرنا رياضياً، فمن المؤكد أن التبديل مربح أكثر!”.

ولكن، هنا يحدث انهيار للمنطق. لنفترض أنك بدّلت إلى المظروف B. ماذا لو سألك المقدم مباشرة بعد ذلك: “هل تريد العودة إلى A بعد كل شيء؟”. ستنطبق نفس المعادلة الحسابية تماماً، وهذه المرة سيكون الاستنتاج “التبديل من B إلى A سيزيد القيمة المتوقعة بمقدار 1.25 ضعفاً”.

بمعنى آخر، بمجرد الاستمرار في التبديل “من A إلى B” و “من B إلى A”، ستستمر القيمة المتوقعة النظرية في الزيادة إلى ما لا نهاية. هذا يتناقض بوضوح مع الواقع (محتويات المظاريف ثابتة منذ البداية، ولا تزيد لمجرد أنك قمت بالتبديل).

graph TD Start["أنت تختار المظروف A (المحتوى X ين)"] --> Think["تحسب ما إذا كان التبديل مربحاً أكثر"] Think --> Case1["المظروف B نصف المبلغ (X/2 ين) : احتمال 50%"] Think --> Case2["المظروف B ضعف المبلغ (2X ين) : احتمال 50%"] Case1 --> Calc["القيمة المتوقعة = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["التبديل إلى المظروف B! (المحتوى Y ين)"] SwitchToB --> ThinkAgain["تحسب مرة أخرى"] ThinkAgain --> Case3["المظروف A نصف المبلغ (Y/2 ين) : احتمال 50%"] ThinkAgain --> Case4["المظروف A ضعف المبلغ (2Y ين) : احتمال 50%"] Case3 --> Calc2["القيمة المتوقعة = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["التبديل مرة أخرى إلى المظروف A!"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

لماذا أنتج حساب القيمة المتوقعة، الذي يبدو مثالياً للوهلة الأولى، مثل هذه المفارقة الغريبة؟

3. كشف الخدعة الرياضية: استبدال المتغيرات

يكمن فخ هذه المفارقة في “كيفية استخدام المتغير العشوائي $X$”.

في المعادلة السابقة، تعاملنا مع المبلغ $X$ في المظروف A على أنه ثابت محدد، وافترضنا أن المظروف B هو إما “$\frac{X}{2}$ أو $2X$”. ولكن، ما هو ثابت في الواقع هو “مجموع المبالغ الموجودة في كلا المظروفين”، أو “المبلغ الأصغر”.

لنفترض أن المبلغ الموجود في المظروف الذي يحتوي على الأقل هو $S$. إذاً، المظروف الذي يحتوي على الأكثر به مبلغ $2S$. جميع سيناريوهات اللعبة تقتصر على النمطين التاليين فقط (باحتمال $\frac{1}{2}$ لكل منهما).

النمط 1: المظروف A الذي اخترته هو الأصغر ($S$)، والمظروف B هو الأكبر ($2S$).
النمط 2: المظروف A الذي اخترته هو الأكبر ($2S$)، والمظروف B هو الأصغر ($S$).

هنا، دعونا نحسب القيمة المتوقعة بشكل صحيح لكل من “عدم التبديل” و “التبديل”.

القيمة المتوقعة في حالة عدم التبديل $E_{stay}$:

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

القيمة المتوقعة في حالة التبديل $E_{switch}$: في النمط 1 ستحصل على $2S$، وفي النمط 2 ستحصل على $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

تطابقت القيمة المتوقعة تماماً! في الحساب الخاطئ الأول، تم التعامل مع قيمتين مختلفتين على أنهما نفس المتغير $X$: في النمط 1 كان $X$ هو (في الواقع $S$) وفي النمط 2 كان $X$ هو (في الواقع $2S$). هذا أدى إلى خلق وهم بأن “التبديل سيزيد من القيمة المتوقعة”.

pie title "حقيقة القيمة المتوقعة (بافتراض أن المبلغ الأصغر هو S)" "القيمة المتوقعة لعدم التبديل (1.5S)" : 50 "القيمة المتوقعة للتبديل (1.5S)" : 50

4. ماذا لو فتحت المظروف؟

تبدو المفارقة محلولة بهذا. ومع ذلك، هناك مشكلة أعمق تنتظرنا.

ماذا لو نظرت إلى محتويات المظروف A قبل تبديله؟ فتحت المظروف A ووجدت بداخله “10,000 ين”.

في هذه اللحظة، يصبح $X = 10000$ قيمة محددة وثابتة. يحتوي المظروف B إما على “5,000 ين” أو “20,000 ين”. ماذا سيحدث إذا طبقنا المعادلة الأولى هنا؟

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

القيمة المتوقعة هي 12,500 ين. وهي بالتأكيد أعلى من الـ 10,000 ين الحالية. علاوة على ذلك، وبما أن $X$ أصبح “ثابتاً ملموساً” وقدره 10,000 ين هذه المرة، فإن حجة “استبدال المتغيرات” السابقة لم تعد سارية. إذاً، هل التبديل مربح أكثر بالتأكيد في هذه الحالة؟

الدحض باستخدام الاستدلال البايزي: غياب “التوزيع المسبق”

رداً على ذلك، طرح علماء الرياضيات مفهوم “التوزيع المسبق للمبالغ (الاحتمال المسبق)”. والسؤال هنا: هل يمكننا حقاً القول إن 5,000 ين و 20,000 ين موجودان باحتمال $\frac{1}{2}$ لكل منهما؟

على سبيل المثال، لنفترض أن ميزانية البرنامج تبلغ كحد أقصى 100 مليون ين. إذا فتحت المظروف A ووجدت “60 مليون ين”، فإن احتمال أن يحتوي المظروف B على “120 مليون ين” هو صفر (لأنه يتجاوز الميزانية). بمعنى آخر، كلما زاد المبلغ في المظروف A، قلّ احتمال أن يكون المظروف B “ضعف المبلغ”، وزاد احتمال أن يكون “نصفه”.

بافتراض أي توزيع مسبق $P(x)$، وعند حساب القيمة المتوقعة باستخدام مبرهنة بايز، فقد ثبت رياضياً أنه مهما كان التوزيع الاحتمالي واقعياً (بمجموع يساوي 1)، فإنه لا يوجد توزيع سحري يجعل “التبديل مربحاً أكثر” لجميع قيم $X$.

5. فخ اللانهاية: الارتباط بمفارقة سانت بطرسبرغ

توجد حالة واحدة فقط يكون فيها “التبديل مربحاً أكثر لجميع قيم $X$”. هذه الحالة هي عندما تكون ميزانية البرنامج لانهائية، ويُفترض وجود “توزيع احتمالي غير قياسي (توزيع يكون مجموعه لانهائياً)” حيث تظهر جميع المبالغ (1 ين، 2 ين، 4 ين، 8 ين… إلى ما لا نهاية) بشكل متساوٍ.

ومع ذلك، لا توجد في العالم الحقيقي محطة تلفزيونية تمتلك أصولاً لانهائية. هذا الخلل الناتج عن “القيمة المتوقعة اللانهائية” يشترك في جذور عميقة مع مفارقة سانت بطرسبرغ (وهي مسألة تتناول المبلغ الذي يمكن للشخص أن يدفعه في مقامرة ذات قيمة متوقعة لانهائية).

6. الخلاصة: رعب الاحتمالات والقيمة المتوقعة

على الرغم من أن “مفارقة المظروفين” تتكون فقط من عمليات ضرب وجمع بسيطة، إلا أنها تقدم لنا الدروس التالية:

الأخطاء الناتجة عن الغموض في التعريف: إذا لم توضح ما يشير إليه المتغير (ما إذا كان $X$ يشير دائماً إلى نفس المبلغ)، فإن المنطق سينهار بسهولة.
وهم “انعدام المعلومات = احتمال 50%”: الافتراض القائل “بما أنني لا أعرف فالاحتمال متساوٍ” (مبدأ السبب غير الكافي) يمكن أن يؤدي أحياناً إلى أخطاء حسابية قاتلة.
صعوبة التعامل مع اللانهاية: إدخال مفهوم “اللانهاية”، الذي لا يمكن تطبيقه في العالم الحقيقي، في المعادلات الحسابية سيؤدي إلى نتائج تتناقض مع الفطرة السليمة.

في المرة القادمة التي تعتقد فيها في حياتك أن “عشب الجار يبدو أكثر اخضراراً، وسيكون من المربح التبديل”، تذكر هذه المفارقة. ربما تم استبدال المتغيرات في معادلتك الحسابية دون أن تدرك.