Featured image of post لماذا يمكن لأقلية ضئيلة أن تمسك بجميع الأوراق؟ رياضيات مؤشرات قوة التصويت
الرياضيات والمجتمع

لماذا يمكن لأقلية ضئيلة أن تمسك بجميع الأوراق؟ رياضيات مؤشرات قوة التصويت

لماذا لا تعكس نسبة المقاعد في البرلمان أو حصة الأسهم في مجلس الإدارة القوة الفعلية لصنع القرار؟ دراسة رياضية معمقة لألعاب التصويت الموزون، ومؤشري بانزهاف وشابلي-شوبيك، والدوال المولدة، ومجلس الأمن التابع للأمم المتحدة، ومفارقات قوة التصويت.

في البرلمانات الديمقراطية والمجالس الدولية ومجالس إدارات الشركات، غالباً ما يقع المراقبون في وهم حسابي بديهي لكنه خاطئ تماماً: افتراض أن حصة الحزب من المقاعد — أو نسبة ما يملكه المساهم من أسهم التصويت — تتناسب طردياً مع قوته الفعلية في صنع القرار (Voting Power).

تخيل برلماناً يتألف من 100 مقعد ويتطلب تمرير أي قانون فيه أغلبية بسيطة قدرها $q = 51$ صوتاً. يمتلك الحزب A 49 مقعداً، ويمتلك الحزب B 49 مقعداً، بينما يمتلك حزب ثالث صغير جداً هو الحزب C مقعدين فقط ($2$). للوهلة الأولى يبدو الحزبان A وB عملاقين يسيطر كل منهما على $49\%$ من المجلس، بينما يبدو الحزب C هامشياً بحصة $2\%$. غير أن نظرية الألعاب التعاونية (Cooperative Game Theory) تكشف حقيقة مذهلة: يمتلك الحزب A والحزب B والحزب C نفس قوة التصويت بالضبط — الثلث ($33.33\%$) لكل منهم!

وفي المقابل، قد يمتلك حزب أو دولة ذات سيادة كتلة معتبرة من الأصوات ومع ذلك تكون قوة تصويتها الرياضية مساوية للصفر المطلق ($0\%$)، وهو ما تسميه نظرية الألعاب اللاعب الوهمي أو الصوري (Dummy Player). فبين عامي 1958 و1973، اعتمد مجلس وزراء المجموعة الاقتصادية الأوروبية (EEC) نظام التصويت الموزون $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$. ورغم أن لوكسمبورغ مُنحت صوتاً واحداً ($5.88\%$ من المجموع)، فإن جميع الدول الخمس الأخرى كانت تملك أعداداً زوجية من الأصوات ($4, 4, 4, 2, 2$) وكان نصاب الأغلبية زوجياً ($12$). ولأن مجموع الأعداد الزوجية زوجي دائماً، فقد كان مستحيلاً رياضياً أن يجمع أي ائتلاف $11$ صوتاً ليحوّله صوت لوكسمبورغ الفردي إلى $12$: طوال 15 عاماً كانت قوة تصويت لوكسمبورغ تساوي $0\%$ حرفياً.

في هذا المقال نطوّر النظرية الرياضية الكاملة لمؤشرات قوة التصويت: الصياغة البديهية للألعاب البسيطة الموزونة، ومؤشر بانزهاف، ومؤشر شابلي-شوبيك، ومبرهنة سترافين الاحتمالية، وخوارزميات الدوال المولدة، وبنية حق النقض (الفيتو) في مجلس الأمن الدولي، ومفارقات إعادة التوزيع.

1. وهم حصة المقاعد: ثلاث تجارب فكرية

لنتأمل ثلاثة برلمانات إجمالي مقاعدها $W = 100$ ونصاب الأغلبية فيها $q = 51$:

  1. صانع الملوك (Kingmaker) $[51;\, 49, 49, 2]$: لا يستطيع أي حزب بلوغ 51 مقعداً بمفرده. الائتلافات الفائزة هي $\{A, B\}(98)$ و$\{A, C\}(51)$ و$\{B, C\}(51)$ و$\{A, B, C\}(100)$. وبما أن أي زوج من الأحزاب يفوز، فإن هذه اللعبة متماثلة بنيوياً (Isomorphic) مع لجنة الأغلبية البسيطة $[2;\, 1, 1, 1]$. بحصة $2\%$ فقط من المقاعد، يتمتع الحزب C بنسبة $33.33\%$ من سلطة القرار، بالتساوي التام مع A وB.
  2. الديكتاتور والمعارضة العاجزة $[51;\, 52, 47, 1]$: بما أن $w_A = 52 \ge 51$، فإن الحزب A ديكتاتور ($100\%$ من القوة). ورغم أن الحزب B يسيطر على $47\%$ من المقاعد، فإنه حتى لو اتحد مع C ($47 + 1 = 48 < 51$) لا يستطيع تمرير أو تعطيل أي قانون: B وC لاعبان وهميان بقوة $0\%$.
  3. اللاعب الوهمي الخفي وقضية مقاطعة ناسو (1965) $[51;\, 35, 35, 25, 5]$: لا يملك أي حزب أغلبية مطلقة. لكن المجاميع الممكنة للمجموعات الجزئية من $\{A, B, C\}$ (الأوزان $35, 35, 25$) هي فقط $0, 25, 35, 60, 70, 95$. لا توجد أي مجموعة جزئية يقع مجموعها داخل الفترة الحرجة $[q - w_D,\, q - 1] = [46, 50]$! وبالتالي فإن مقاعد الحزب D الخمسة لا يمكنها أبداً تحويل الهزيمة إلى فوز، وقوته تساوي $0\%$. في عام 1965، استخدم المحامي الشاب جون بانزهاف (John F. Banzhaf III) هذا التحليل لإثبات أن ثلاث بلديات في مجلس مقاطعة ناسو بولاية نيويورك كانت تملك قوة تصويت قدرها $0\%$.

2. الصياغة الرياضية: مؤشرا بانزهاف وشابلي-شوبيك

الألعاب البسيطة وألعاب التصويت الموزون

$$v(S) = \begin{cases} 1 & \text{if } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{ائتلاف فائز}) \\ 0 & \text{if } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{ائتلاف خاسر}) \end{cases}$$

يُقال إن اللاعب $i \in S$ حرج أو مرجِّح (Swing Voter) في الائتلاف $S$ إذا كان $v(S) = 1$ و$v(S \setminus \{i\}) = 0$، أي $\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1$.

  flowchart TD
    A["لعبة التصويت الموزون [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["وزن الائتلاف w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
    B --> C{"هل يتحقق w(S) ≥ q؟"}
    C -- "نعم: v(S) = 1" --> D["ائتلاف فائز S ∈ W"]
    C -- "لا: v(S) = 0" --> E["ائتلاف خاسر S ∉ W"]
    D --> F{"هل انسحاب اللاعب i يخفض الوزن دون النصاب: w(S \ {i}) < q؟"}
    F -- "نعم: v(S \ {i}) = 0" --> G["اللاعب i حرج (Swing Voter) في الائتلاف S"]
    F -- "لا: v(S \ {i}) = 1" --> H["اللاعب i فائض في الائتلاف S"]
    G --> I["مؤشر بانزهاف βᵢ: يحصي المرات الحرجة ηᵢ عبر جميع المجموعات الجزئية 2ⁿ⁻¹"]
    G --> J["مؤشر شابلي-شوبيك φᵢ: يحصي اللاعب المحوري عبر جميع التباديل n!"]

1. مؤشر بانزهاف للقوة (Penrose 1946 / Banzhaf 1965)

$$\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}$$

2. مؤشر شابلي-شوبيك للقوة (Shapley & Shubik 1954)

$$\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]$$

3. مقارنة تفصيلية في اللعبة $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ والدوال المولدة

في اللعبة $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ ($w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1$، الوزن الكلي $10$، النصاب $q=6$)، يعطي الحصر الشامل للائتلافات الفائزة السبعة والتباديل الـ 24 النتائج التالية:

الائتلاف الفائز $S$الوزن $w(S)$الوزن بعد الحذف $w(S \setminus \{i\})$اللاعبون الحرجون (Swing)الحزبحصة الأصواتالمرات الحرجة $\eta_i$بانزهاف المعيَّر $\beta_i$المحاور ($/24$)شابلي-شوبيك $\phi_i$
$\{A, B\}$$7$$-A:3,\ -B:4$A, BA ($w_A=4$)$40.0\%$$5$$5/12 \approx \mathbf{41.67\%}$$10$$10/24 \approx \mathbf{41.67\%}$
$\{A, C\}$$6$$-A:2,\ -C:4$A, CB ($w_B=3$)$30.0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25.00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25.00\%}$
$\{A, B, C\}$$9$$-A:5,\ -B:6,\ -C:7$AC ($w_C=2$)$20.0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25.00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25.00\%}$
$\{A, B, D\}$$8$$-A:4,\ -B:5,\ -D:7$A, BD ($w_D=1$)$10.0\%$$1$$1/12 \approx \mathbf{8.33\%}$$2$$2/24 \approx \mathbf{8.33\%}$
$\{A, C, D\}$$7$$-A:3,\ -C:5,\ -D:6$A, Cالمجموع$100\%$$12$$100.00\%$$24$$100.00\%$
$\{B, C, D\}$$6$$-B:3,\ -C:4,\ -D:5$B, C, D
$\{A,B,C,D\}$$10$أي حذف $\ge 6$لا أحد

رغم أن الحزب B ($30\%$) يملك مقاعد أكثر بنسبة $50\%$ من الحزب C ($20\%$)، فإنهما يتمتعان بنفس قوة التصويت تماماً ($25.00\%$) وفق كلا المؤشرين! أما في اللعبة $[5;\, 3, 2, 1, 1]$ فيفترق المؤشران: $\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)$ مقابل $\phi = (58.33\%, 25.00\%, 8.33\%, 8.33\%)$. ووفق مبرهنة سترافين (1977)، يقابل مؤشر بانزهاف فرضية الاستقلالية، بينما يقابل مؤشر شابلي-شوبيك فرضية التجانس ($p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$).

$$P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}$$

4. المؤسسات الدولية ومفارقات قوة التصويت

1. مجلس وزراء المجموعة الاقتصادية الأوروبية (1958–1973) $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$

بالنسبة إلى لوكسمبورغ ($w_{\text{Lux}} = 1$، النصاب $q = 12$)، تحتوي كثيرة الحدود المولدة $P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2$ على أسس زوجية فقط، لذا فإن معامل $x^{11}$ يساوي $0$ ($\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%$). وعندما توسعت المجموعة عام 1973 إلى 9 دول ($[41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]$)، ورغم انخفاض حصة أصوات لوكسمبورغ من $5.88\%$ إلى $3.45\%$، قفزت قوتها وفق بانزهاف من $0\%$ إلى $1.62\%$ (مفارقة الأعضاء الجدد، Brams & Affuso 1976).

2. مجلس الأمن التابع للأمم المتحدة (قوة الفيتو للدول الخمس الدائمة P5)

يكافئ مجلس الأمن (5 أعضاء دائمين P5 بحق النقض و10 أعضاء غير دائمين NP10، بنصاب 9 أصوات تشمل جميع الأعضاء الدائمين الخمسة) اللعبة الموزونة $[39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$.

  • مؤشر بانزهاف: $\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848$ و$\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16.69\%}$ و$\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1.65\%}$.
  • مؤشر شابلي-شوبيك: لا يكون العضو غير الدائم لاعباً محورياً إلا في المركز التاسع بعد الأعضاء الخمسة الدائمين و3 بالضبط من الـ 9 غير الدائمين الآخرين: $$\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0.1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19.627\%}$$ يستحوذ الأعضاء الخمسة الدائمون على $98.135\%$ من قوة شابلي-شوبيك (قوة العضو الدائم الواحد تفوق قوة العضو غير الدائم بـ 105.25 مرة)!
  flowchart TD
    P["المفارقات غير الخطية لألعاب التصويت الموزون"] --> P1["1. مفارقة الأعضاء الجدد (Brams & Affuso 1976)"]
    P --> P2["2. مفارقة انشطار الحزب (Large Size)"]
    P --> P3["3. مفارقة إعادة التوزيع (Fischer & Schotter 1978)"]
    P1 --> D1["انضمام أعضاء جدد قد يزيد قوة عضو قديم رغم انخفاض نسبة أصواته (لوكسمبورغ 1973: 0% ← 1.6%)"]
    P2 --> D2["انقسام حزب كبير إلى كتلتين قد يمنحهما قوة تصويت مجتمعة أكبر من بقائهما موحدين"]
    P3 --> D3["حزب يخسر نصف مقاعده في الانتخابات قد تتضاعف قوة تصويته الفعلية مرتين"]

3. مفارقة إعادة التوزيع (Fischer & Schotter 1978)

لنقارن برلماناً من 14 مقعداً (النصاب $q = 9$) قبل الانتخابات وبعدها:

  • قبل الانتخابات $[9;\, 6, 4, 2, 2]$: الائتلافات الفائزة الصغرى هي $\{A, B\}(10)$ و$\{A, C, D\}(10)$ فقط؛ يتمتع الحزب A بحق نقض فعلي. يملك الحزب D (مقعدان) $\beta_D = 10.00\%$ و$\phi_D = 8.33\%$.
  • بعد الانتخابات $[9;\, 5, 5, 3, 1]$: يخسر A مقعداً لصالح B، ويخسر الحزب D نصف مقاعده ($2 \to 1$) لصالح C. لكن الآن يصبح مجموع $\{B, C, D\}$ مساوياً لـ $5+3+1=9$ فيتحول إلى ائتلاف فائز! ومع انكسار احتكار الفيتو للحزب A، يصبح الحزب D بمقعده الوحيد صانع الملوك الذي لا غنى عنه لائتلافين مختلفين ($\{A, C, D\}$ و$\{B, C, D\}$): فتقفز قوته إلى $\beta_D = \mathbf{16.67\%}$ و$\phi_D = \mathbf{16.67\%}$ — نصف المقاعد، وضعف القوة.

وأخيراً، في الأنظمة الفيدرالية ذات المستويين، يثبت قانون الجذر التربيعي لبينروز (1946) أنه لتحقيق المساواة في التأثير غير المباشر لكل مواطن بغض النظر عن عدد سكان دولته $P_k$، يجب أن يتناسب مؤشر بانزهاف $\beta'_k$ لكل دولة طردياً مع $\sqrt{P_k}$.

comments powered by Disqus