“تشريح كامل” فهم أقوى خوارزمية لتحليل التشفير “GNFS” عن طريق تنفيذها بلغة C++

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <chrono>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

// استخدام الأعداد الصحيحة متعددة الدقة Boost.Multiprecision
using namespace boost::multiprecision;

// ============================================================================
// [SOTA GNFS] General Number Field Sieve إطار عمل منطقي متقدم
// 
// يصمم هذا الكود بشكل دقيق المراحل الخمسة لـ GNFS الحديث 
// المستخدم في CADO-NFS وغيرها، كفئات C++ (Boost).
// ============================================================================

struct Relation {
    int64_t a;
    int64_t b;
    std::vector<uint32_t> rational_primes;
    std::vector<uint32_t> algebraic_primes;
};

// ============================================================================
// المرحلة 1: اختيار كثير الحدود (خوارزمية KleinJung)
// ============================================================================
class PolynomialSelector {
public:
    int degree;
    std::vector<cpp_int> f; // كثير الحدود الجبري f(x)
    std::vector<cpp_int> g; // كثير الحدود النسبي g(x) = x - m
    cpp_int m;

    PolynomialSelector(int d) : degree(d) {}

    // توليد كثير الحدود الأولي بناء على توسيع الأساس m (في الواقع يتم استخدام تقليص قاعدة الشبكة LLL الأكثر تقدما)
    void select(const cpp_int& N) {
        std::cout << "[المرحلة 1] اختيار كثير الحدود (الدرجة " << degree << ") يبدأ..." << std::endl;
        // توسيع أساس m بسيط (الدرجة d)
        // m = N^(1/d)
        cpp_int N_copy = N;
        m = 1;
        // تقريب بسيط لـ m (بدون استخدام دوال Boost)
        cpp_int low = 1, high = N;
        while (low <= high) {
            cpp_int mid = low + (high - low) / 2;
            cpp_int p = 1;
            for(int i=0; i<degree; ++i) p *= mid;
            if (p <= N) { m = mid; low = mid + 1; }
            else { high = mid - 1; }
        }

        f.resize(degree + 1);
        cpp_int temp = N;
        for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
            f[i] = temp % m;
            temp /= m;
        }
        
        g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
        
        std::cout << "          -> m = " << m << std::endl;
        std::cout << "          -> f(x) = ";
        for(int i = degree; i >= 0; --i) {
            std::cout << f[i] << "x^" << i << (i > 0 ? " + " : "");
        }
        std::cout << "\n[المرحلة 1] اكتملت." << std::endl;
    }
};

// ============================================================================
// المرحلة 2: غربال الشبكة (Lattice Sieving)
// ============================================================================
// لا يستخدم GNFS الحديث Line Sieve، بل يستخدم
// Special-q Lattice Sieving الذي طوره Franke-Kleinjung كمعيار.
class LatticeSieve {
    uint32_t rational_bound;
    uint32_t algebraic_bound;
    std::vector<uint32_t> rational_fb;
    std::vector<uint32_t> algebraic_fb;

public:
    LatticeSieve(uint32_t rb, uint32_t ab) : rational_bound(rb), algebraic_bound(ab) {}

    void generate_factor_bases() {
        std::cout << "[المرحلة 2] توليد قواعد العوامل (الحد النسبي: " << rational_bound << "، الحد الجبري: " << algebraic_bound << ")" << std::endl;
        // (محذوف) في الواقع يتم توليد الأعداد الأولية والتصفية باستخدام رموز Legendre
    }

    std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
        std::cout << "[المرحلة 2] Special-q Lattice Sieving نشط..." << std::endl;
        std::vector<Relation> relations;
        // تنفيذ وهمي: يقوم غربال الشبكة الفعلي بمسح مئات الجيجابايت من الذاكرة في كتل
        // يتم تعيين الأزواج (a, b) لشبكة (a = i*q + j*...) لكل عدد أولي خاص q،
        // ويتم تشغيل غربلة ترفع كفاءة ذاكرة التخزين المؤقت إلى أقصى حد.
        
        // إضافة علاقة وهمية واحدة للتوضيح
        Relation r; r.a = 17; r.b = 3; 
        r.rational_primes = {2, 5}; 
        r.algebraic_primes = {3, 7};
        relations.push_back(r);
        
        std::cout << "[المرحلة 2] تم العثور على " << relations.size() << " علاقة." << std::endl;
        return relations;
    }
};

// ============================================================================
// المرحلة 3: التصفية (إزالة الفردية ودمج الزمرة)
// ============================================================================
class Filter {
public:
    void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
        std::cout << "[المرحلة 3] تصفية العلاقات..." << std::endl;
        // 1. إزالة الفردية (إزالة العلاقات التي تحتوي على أعداد أولية تظهر مرة واحدة فقط)
        // 2. دمج الزمرة (دمج العلاقات لتحويل مصفوفة متفرقة إلى كثيفة)
        // في الواقع يتم ضغط مصفوفات بمئات الملايين من الصفوف إلى بضعة ملايين باستخدام خوارزميات مثل Union-Find.
        std::cout << "[المرحلة 3] تم تقليل حجم المصفوفة بشكل مثالي." << std::endl;
    }
};

// ============================================================================
// المرحلة 4: الجبر الخطي فوق GF(2) (طريقة Block Wiedemann)
// ============================================================================
class LinearAlgebraGF2 {
public:
    // في بيئات الحواسيب العملاقة الحديثة، وبدلا من طريقة Block Lanczos،
    // تُستخدم طريقة Block Wiedemann (تنفيذ Coppersmith) الملائمة للحوسبة الموزعة كأحدث تقنية.
    std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
        std::cout << "[المرحلة 4] خوارزمية Block Wiedemann فوق GF(2) تبدأ..." << std::endl;
        // التكرار على حسابات ضرب المصفوفة المتفرقة في المتجه،
        // والعثور على متجهات الحلول (نواة) بحيث M * x = 0 mod 2.
        
        std::vector<std::vector<int>> dependencies; // قائمة التبعيات
        // بيانات وهمية
        dependencies.push_back({0}); 
        
        std::cout << "[المرحلة 4] تم العثور على " << dependencies.size() << " تبعيات خطية (مربعات كاملة)." << std::endl;
        return dependencies;
    }
};

// ============================================================================
// المرحلة 5: الجذر التربيعي الجبري (Algebraic Square Root)
// ============================================================================
class AlgebraicSquareRoot {
public:
    void compute_and_factor(const std::vector<Relation>& relations, const std::vector<int>& dep, const cpp_int& N) {
        std::cout << "[المرحلة 5] حساب الجذر التربيعي الجبري..." << std::endl;
        
        // 1. حساب الجذر التربيعي النسبي V
        cpp_int V = 1; 
        // V = sqrt( prod(a - bm) ) mod N
        
        // 2. حساب الجذر التربيعي الجبري gamma (باستخدام طريقة Montgomery، إلخ)
        // العثور على العنصر gamma في الحقل الجبري الضخم O_K وتحويله إلى العالم الحقيقي باستخدام التماثل phi
        // Y = phi(gamma) mod N
        cpp_int Y = 1;

        // نفترض أنه تمت إضافة سلسلة من الرموز التربيعية (Quadratic Characters) في المرحلتين 2 و 4 
        // لتجنب عقبات (Obstruction) مجموعة أصناف المثاليات ومجموعة الوحدات.

        std::cout << "          -> تم تطبيق التماثل phi." << std::endl;
        std::cout << "[المرحلة 5] جار حساب القاسم المشترك الأكبر (V - Y, N)..." << std::endl;
        
        cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
        
        if (factor > 1 && factor < N) {
            std::cout << "\n================================================================" << std::endl;
            std::cout << "[نجاح] تم العثور على عامل غير بديهي: " << factor << std::endl;
            std::cout << "          العامل الآخر: " << N / factor << std::endl;
            std::cout << "================================================================" << std::endl;
        } else {
            std::cout << "[فشل] حل بديهي. جاري تجربة التبعية التالية..." << std::endl;
        }
    }
};

// ============================================================================
// مسار التنفيذ الرئيسي
// ============================================================================
int main() {
    std::cout << "================================================================" << std::endl;
    std::cout << "  [SOTA GNFS] محرك General Number Field Sieve (Boost C++)     " << std::endl;
    std::cout << "================================================================" << std::endl;
    
    // عدد مركب ضخم N نريد تحليله، مثل RSA-270
    cpp_int N("233108530344407544527637656910680524145619812480305449042948611968495918245135782867888369318577116418213919268572658314913060672626911354027609793166341626693946596196427744273886601876896313468704059066746903123910748277606548649151920812699309766587514735456594993207");
    
    // درجة كثير الحدود (عادة يتم اختيار درجة 5 إلى 6 للأرقام الأكبر من 130 رقما)
    int degree = 6; 
    
    // تهيئة المسار
    PolynomialSelector poly_select(degree);
    LatticeSieve sieve(10000000, 20000000); // الحدود الفعلية بعشرات الملايين
    Filter filter;
    LinearAlgebraGF2 linalg;
    AlgebraicSquareRoot sqrt_step;

    auto start_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();

    // 1. اختيار كثير الحدود
    poly_select.select(N);
    
    // 2. معالجة الغربلة (sieve)
    sieve.generate_factor_bases();
    std::vector<Relation> relations = sieve.sieve(poly_select);
    
    // 3. التصفية (ضغط المصفوفة)
    filter.reduce_matrix(relations);
    
    // 4. الجبر الخطي (البحث في الفضاء الفارغ فوق GF(2))
    std::vector<std::vector<int>> dependencies = linalg.solve_nullspace(relations);
    
    // 5. حساب الجذر التربيعي الجبري و GCD
    for (const auto& dep : dependencies) {
        sqrt_step.compute_and_factor(relations, dep, N);
    }
    
    auto end_time = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    std::chrono::duration<double> elapsed = end_time - start_time;
    std::cout << "\n[النظام] اكتمل مسار SOTA GNFS في " << elapsed.count() << " ثانية." << std::endl;
    
    return 0;
}

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12

class PolynomialSelector {
    // ...
    void select(const cpp_int& N) {
        // حساب m = N^(1/d) والتوسيع بأساس m
        // ...
        for (int i = 0; i <= degree; ++i) {
            f[i] = temp % m;
            temp /= m;
        }
        g = {-m, 1}; // g(x) = x - m
    }
};

1
2
3
4
5
6
7
8
9

class LatticeSieve {
    // ...
    std::vector<Relation> sieve(const PolynomialSelector& poly) {
        // ...
        // يتم تعيين أزواج (a, b) في شبكة لكل عدد أولي خاص q،
        // وتشغيل غربال يحقق أقصى كفاءة لذاكرة التخزين المؤقت.
        // ...
    }
};

1
2
3
4
5
6
7

class Filter {
public:
    void reduce_matrix(std::vector<Relation>& relations) {
        // 1. إزالة الفردية (إزالة العلاقات التي تحتوي على أعداد أولية تظهر مرة واحدة فقط)
        // 2. دمج الزمرة (دمج العلاقات لجعل المصفوفة المتفرقة كثيفة)
    }
};

1
2
3
4
5
6
7

class LinearAlgebraGF2 {
public:
    std::vector<std::vector<int>> solve_nullspace(const std::vector<Relation>& relations) {
        // حسابات ضرب المصفوفة المتفرقة في المتجه،
        // وإيجاد متجهات حلول بحيث M * x = 0 mod 2.
    }
};

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13

class AlgebraicSquareRoot {
public:
    void compute_and_factor(...) {
        // 1. حساب الجذر التربيعي النسبي V
        cpp_int V = 1; 
        
        // 2. حساب الجذر التربيعي الجبري gamma
        cpp_int Y = 1;

        // ...
        cpp_int factor = gcd(V - Y, N); // GCD(X-Y, N)
    }
};