نظرية المجموعات on kenji.blog

مفارقة ريشار: التناقض الذي تسببه الأعداد العشرية اللانهائية و"الحجة القطرية"

Thu, 10 Sep 2026 12:00:00 +0900

1. قائمة الأرقام التي يمكن تعريفها بالكلمات

تعتبر “مفارقة ريشار”، التي نشرها عالم الرياضيات الفرنسي جول ريشار عام 1905، بمثابة قريب لـ “مفارقة بيري” التي قدمناها سابقاً. لكن هذه المفارقة أكثر رياضية وتحتوي على تناقض أعمق يشبه النظر في اللانهاية.

أولاً، تخيل جمع كل “الأعداد الحقيقية (الكسور العشرية) بين 0 و 1 التي يمكن تعريفها بالكامل بجمل لغوية”. (في المثال الأصلي، باللغة اليابانية، وهنا سنفترض لغة محددة).

على سبيل المثال، أرقام مثل هذه:

“صفر نقطة خمسة” $\rightarrow$ $0.5$
“ثلث” $\rightarrow$ $0.333333...$
“الرقم المكون من الأرقام بعد الفاصلة العشرية لـ بي (pi)” $\rightarrow$ $0.14159265...$

بما أن التراكيب الممكنة للجمل التي يمكن التعبير عنها بلغة ما تتكون فقط من ترتيب الأحرف الموجودة في القاموس، فيمكننا تحديد “ترتيب” لها. (على سبيل المثال، ترتيبها حسب عدد الأحرف من الأقل إلى الأكثر، وإذا كان لها نفس عدد الأحرف، يتم ترتيبها حسب الترتيب الأبجدي).

وبهذه الطريقة، يمكننا إنشاء قائمة (رقم) لا نهائية للأرقام: الأول، الثاني، الثالث… لـ “كل الأعداد الحقيقية التي يمكن تعريفها باللغة”.

$$ \begin{align*} r_1 &= 0.\mathbf{3}333... \\ r_2 &= 0.5\mathbf{0}00... \\ r_3 &= 0.14\mathbf{1}5... \\ r_4 &= 0.777\mathbf{7}... \\ &\vdots \end{align*} $$

في هذه القائمة، يجب أن تكون “كل الأعداد الحقيقية التي يمكن تعريفها باللغة” مشمولة بالكامل دون ترك أي استثناء.

2. تقنية الشيطان “الحجة القطرية”

هنا، يقوم ريشار بعملية مرعبة. إنه يخلق بشكل مصطنع “رقماً جديداً تماماً $X$” يتجنب كل الأرقام الموجودة في القائمة.

طريقة إنشائه بسيطة:

انظر إلى الرقم في الخانة العشرية الأولى للرقم الأول في القائمة (في المثال أعلاه، هو $3$). أضف $1$ إلى هذا الرقم، واجعله الخانة الأولى لـ $X$ ($3+1=4$).
انظر إلى الرقم في الخانة العشرية الثانية للرقم الثاني في القائمة (في المثال أعلاه، هو $0$). أضف $1$ إلى هذا الرقم، واجعله الخانة الثانية لـ $X$ ($0+1=1$).
انظر إلى الرقم في الخانة العشرية الثالثة للرقم الثالث في القائمة (في المثال أعلاه، هو $1$). أضف $1$ إلى هذا الرقم، واجعله الخانة الثالثة لـ $X$ ($1+1=2$).

※ إذا كان الرقم الأصلي $9$، نفترض أنه يعود إلى $0$.

الرقم الجديد $X$ الذي تم إنشاؤه بهذه الطريقة (في المثال أعلاه، $X = 0.4128...$) لا يتطابق أبداً مع أي رقم في القائمة. والسبب هو أنه تم تعمد إزاحة الرقم في “الخانة العشرية $n$” ليكون مختلفاً عن الرقم $n$ في القائمة. (هذه الطريقة ابتكرها عالم الرياضيات العبقري كانتور لإثبات الحجم اللانهائي للأعداد الحقيقية وتسمى “الحجة القطرية”).

3. اكتمال مفارقة ريشار

الآن، هنا تكمن المفارقة.

لقد أنشأنا للتو الرقم الجديد $X$. والـ “قاعدة” لإنشاء هذا الـ $X$ مشروحة (معرّفة) بشكل كامل بواسطة الجمل اللغوية التي كتبتها للتو أعلاه.

بعبارة أخرى، $X$ هو “عدد حقيقي يمكن تعريفه باللغة”.

لكن تذكر الفرضية الأولى. يجب أن تكون “الأعداد الحقيقية التي يمكن تعريفها باللغة” مشمولة بالكامل في القائمة الأولى ($r_1, r_2, r_3...$). ومع ذلك، تم تصميم $X$ بحيث لا يتطابق مع أي رقم في القائمة.

يجب أن يكون $X$ موجوداً في القائمة (لأنه عُرِّف باللغة).
يجب ألا يكون $X$ موجوداً في القائمة (لأنه صُمم باستخدام الحجة القطرية ليكون مختلفاً عن كل الأعداد في القائمة).

تناقض كامل! هذه هي مفارقة ريشار.

4. لماذا انهار المنطق؟ (فخ لغة الميتا)

السبب وراء ولادة هذه المفارقة، تماماً مثل مفارقة بيري، يكمن في الخلط بين “مستويات اللغة”.

للقيام بالرياضيات بدقة، يجب التمييز بوضوح بين “قائمة الأرقام المستهدفة (اللغة الهدف)” و"القواعد التي تتحدث عن خصائص تلك القائمة من الخارج (لغة الميتا / اللغة الفوقية)".

قائمة ريشار هي مجموعة من “التعريفات للأرقام القابلة للحساب”. ومع ذلك، فإن قاعدة “النظر إلى الخانة $n$ للرقم $n$ في القائمة” لإنشاء الرقم الجديد $X$ هي عملية تخص “لغة الميتا” ولا يمكن تنفيذها إلا بالنظر إلى القائمة بأكملها من الخارج.

انفجرت مفارقة ريشار في تناقض ذاتي لأنها حاولت خلسة إدخال “الرقم الميتالغوي $X$ الذي تم إنشاؤه عن طريق معالجة القائمة من الخارج” إلى “القائمة الداخلية”.

5. تسليم الراية إلى غودل

أحدثت مفارقة ريشار هذه صدمة كبيرة في الأوساط الرياضية في ذلك الوقت. “الكلمات البشرية (والأنظمة المنطقية)، إذا لم نكن حذرين، تؤدي بسرعة إلى تناقضات ذاتية. كيف يمكننا جعل الرياضيات مثالية وخالية من التناقضات؟”

في عام 1931، تم حل هذه المشكلة نهائياً من قبل عالم الرياضيات العبقري الشاب كورت غودل، الذي كان يبلغ من العمر 25 عاماً فقط. قام غودل بترجمة وإعادة إنتاج هيكل هذه المفارقة - التي أثارها ريشار باستخدام “غموض اللغة” - بشكل مثالي باستخدام “صيغ رياضية دقيقة (أرقام غودل)”.

النتيجة التي تم استخلاصها من ذلك هي “مبرهنة عدم الاكتمال لغودل” الشهيرة. كان هذا اكتشافاً عظيماً يثبت حدود المعرفة البشرية: “بغض النظر عن مدى دقة القواعد الرياضية التي نضعها، ستظهر دائماً “حقائق لا يمكن إثباتها أو دحضها” ضمن تلك القواعد (الرياضيات غير مكتملة)”.

بدأت مفارقة ريشار كلعب بالكلمات المتناقضة، ثم تطورت في النهاية إلى أقوى سلاح لتحطيم “المطلقية” في مجال الرياضيات نفسه.

فندق هيلبرت اللانهائي: كيف تستوعب عدداً لانهائياً من الضيوف الإضافيين في فندق ممتلئ

Thu, 10 Sep 2026 06:00:00 +0900

1. مرحباً بكم في الفندق المطلق

ابتكر عالم الرياضيات الألماني العظيم ديفيد هيلبرت تجربة فكرية مثيرة للاهتمام لشرح مدى بعد مفهوم “اللانهاية” عن الحدس البشري، وهي كالتالي.

تخيل ذلك. في مكان ما في الكون يوجد فندق يُدعى “فندق هيلبرت اللانهائي”. يحتوي هذا الفندق على عدد لانهائي من الغرف المرقمة: الغرفة 1، الغرفة 2، الغرفة 3، وهكذا.

في أحد الأيام، أقيم حدث ضخم في جميع أنحاء الكون، وامتلأت جميع الغرف في هذا الفندق اللانهائي، وأصبح الفندق “ممتلئاً بالكامل”. في تلك اللحظة، وصل مسافر منهك وسأل موظف الاستقبال: “هل يمكنكم توفير غرفة واحدة لي؟”

لو كان فندقاً عادياً، لكان الجواب الوحيد: “نأسف، الفندق ممتلئ”. لكن هذا هو الفندق اللانهائي. ابتسم المدير وقال: “بالتأكيد. سنقوم بتجهيز غرفتك على الفور.” الفندق ممتلئ، فكيف سيتمكن من استيعاب ضيف جديد؟

2. الحالة 1: كيف تستضيف ضيفاً جديداً واحداً

أعلن المدير عبر نظام البث الداخلي لجميع الضيوف المقيمين بالفعل في الفندق ما يلي:

“أعزائي الضيوف، يرجى الانتقال إلى الغرفة التي يزيد رقمها عن رقم غرفتكم الحالية بـ ‘زائد 1’.”

فماذا سيحدث إذن؟

سينتقل ضيف الغرفة 1 إلى الغرفة 2.
سينتقل ضيف الغرفة 2 إلى الغرفة 3.
سينتقل ضيف الغرفة 3 إلى الغرفة 4.
سينتقل ضيف الغرفة $n$ إلى الغرفة $n+1$.

graph LR subgraph "قبل الانتقال (ممتلئ)" R1["الغرفة 1
(الضيف أ)"] R2["الغرفة 2
(الضيف ب)"] R3["الغرفة 3
(الضيف ج)"] R4["..."] end subgraph "بعد الانتقال" NewR1["الغرفة 1
(شاغرة!)"] NewR2["الغرفة 2
(الضيف أ)"] NewR3["الغرفة 3
(الضيف ب)"] NewR4["الغرفة 4
(الضيف ج)"] end R1 -->|انتقال| NewR2 R2 -->|انتقال| NewR3 R3 -->|انتقال| NewR4 NewGuest["الضيف الجديد"] -->|تسجيل الدخول| NewR1 style NewR1 fill:#aaffaa,stroke:#333,stroke-width:2px style NewGuest fill:#ffaaaa,stroke:#333,stroke-width:2px

نظراً لأن الغرف لانهائية، فلن يحدث أبداً أن “يُطرد ضيف الغرفة الأخيرة”. سيتمكن الجميع من الانتقال بأمان إلى الغرفة المجاورة. وبذلك وبكل براعة، أصبحت الغرفة 1 شاغرة. وتمكن المسافر الجديد من الإقامة في الغرفة 1 بنجاح.

في عالم اللانهاية، تتحقق المعادلة $\infty + 1 = \infty$. حتى لو أخذت “واحداً” من “الكل (اللانهاية)"، فإن الحجم الكلي لا يتغير.

3. الحالة 2: كيف تستضيف عدداً لانهائياً من الضيوف الجدد

حسناً، في اليوم التالي، عاد الفندق ليكون ممتلئاً بالكامل. ولكن هذه المرة، وصلت حافلة لانهائية تحمل “عدداً لانهائياً من الركاب”. نزل الركاب من الحافلة وتوجهوا إلى الاستقبال مطالبين: “جهزوا غرفاً لنا جميعاً!”

إذا طلبنا منهم الانتقال بـ “زائد 1” كما حدث بالأمس، فسيستغرق الأمر وقتاً أبدياً. لكن المدير لم يصب بالذعر. وقام بالبث عبر نظام الإذاعة الداخلية مرة أخرى.

“أعزائي الضيوف، يرجى الانتقال إلى الغرفة التي يساوي رقمها ‘ضعف’ رقم غرفتكم الحالية.”

فماذا سيحدث؟

ضيف الغرفة 1 سينتقل إلى الغرفة 2.
ضيف الغرفة 2 سينتقل إلى الغرفة 4.
ضيف الغرفة 3 سينتقل إلى الغرفة 6.
ضيف الغرفة $n$ سينتقل إلى الغرفة $2n$.

بفضل هذا الانتقال، أصبح جميع الضيوف اللانهائيين المقيمين بالفعل يستقرون تماماً في “جميع الغرف ذات الأرقام الزوجية”. وبطريقة إعجازية، أصبحت “جميع الغرف ذات الأرقام الفردية (الغرفة 1، الغرفة 3، الغرفة 5…)” شاغرة بالكامل!

بما أن الأعداد الفردية هي أيضاً لانهائية، يمكن للمدير توجيه ركاب الحافلة اللانهائية واحداً تلو الآخر بدءاً من الأول إلى الغرفة 1، ثم الغرفة 3، فالغرفة 5، وهكذا… وسيتمكن من استيعابهم جميعاً.

في عالم اللانهاية، تتحقق المعادلة $\infty + \infty = \infty$. حتى لو أضفت لانهاية إلى لانهاية، فإن الحجم يظل نفس “اللانهاية”.

4. الحالة 3: ماذا لو وصلت عدد لانهائي من الحافلات اللانهائية؟

في اليوم الذي يليه، كان الفندق ممتلئاً بالكامل مرة أخرى. وفجأة، وصلت “عدد لانهائي من الحافلات اللانهائية، كل منها يحمل عدداً لانهائياً من الركاب” واحدة تلو الأخرى.

الحافلة رقم 1 بها عدد لانهائي من الركاب، والحافلة رقم 2 بها عدد لانهائي، والحافلة رقم 3 بها عدد لانهائي… ويستمر هذا لعدد لانهائي من الحافلات. قد يبدو أن المدير سيصاب بالذعر هذه المرة، لكنه كان عبقرياً في الرياضيات. خطرت له فكرة استخدام “الأعداد الأولية”.

أصدر المدير التعليمات التالية:

انتقال الضيوف المقيمين بالفعل في الفندق إذا كان رقم الغرفة الحالية هو $n$، يُطلب منهم الانتقال إلى الغرفة “$2^n$”. (الغرفة 1 $\rightarrow$ الغرفة 2، الغرفة 2 $\rightarrow$ الغرفة 4، الغرفة 3 $\rightarrow$ الغرفة 8…) بذلك تم استيعاب جميع الضيوف الحاليين.
توجيه ركاب الحافلة رقم 1 (عدد لانهائي) إذا كان رقم مقعد الراكب هو $n$، يتم توجيهه إلى الغرفة “$3^n$”. (الغرفة 3، الغرفة 9، الغرفة 27…)
توجيه ركاب الحافلة رقم 2 (عدد لانهائي) باستخدام العدد الأولي التالي وهو 5، يتم توجيههم إلى الغرفة “$5^n$”. (الغرفة 5، الغرفة 25، الغرفة 125…)
توجيه ركاب الحافلة رقم $k$ (عدد لانهائي) باستخدام العدد الأولي $k+1$ الذي نرمز له بـ $P$، يتم توجيههم إلى الغرفة “$P^n$”.

بفضل المبرهنة الرياضية القوية “وحدانية التحليل إلى العوامل الأولية (كل عدد يمكن تمثيله كحاصل ضرب عوامل أولية بطريقة واحدة فقط)"، فإنه من المستحيل مطلقاً أن تتداخل أرقام الغرف $2^n, 3^n, 5^n, 7^n \dots$ مع أي شخص آخر.

وهكذا، تمكن المدير ببراعة من استيعاب هذا العدد الهائل من الضيوف المتمثل في “لانهاية $\times$ لانهاية” داخل فندق لانهائي واحد!

5. اللانهاية لها “أحجام” مختلفة (مبرهنة كانتور)

ما يعلمنا إياه فندق هيلبرت اللانهائي هو حقيقة أن “اللانهاية القابلة للعد (التي يمكن عدها بتخصيص أرقام 1، 2، 3…)"، مهما تم جمعها أو ضربها، ستظل دائماً ضمن إطار ‘اللانهاية القابلة للعد’ وبنفس الحجم.

لكن عالم الرياضيات جورج كانتور اكتشف حقيقة أكثر رعباً. يمكن استيعاب “الأعداد الطبيعية” و"الكسور” في هذا الفندق اللانهائي. ولكن، “إذا جاء ضيوف يمثلون ‘الأعداد الحقيقية (جميع الأعداد العشرية بما في ذلك الأعداد غير النسبية)’، فمن المستحيل استيعابهم جميعاً حتى باستخدام هذا الفندق اللانهائي”.

لقد تم إثبات أن عدد الأعداد الحقيقية هو “لانهاية أكبر (ذات مستوى أعلى)” بشكل جوهري من عدد غرف الفندق اللانهائي (اللانهاية القابلة للعد). غالباً ما يتم تجميع الأشياء تحت كلمة “لانهاية”، ولكن في الواقع يوجد هيكل هرمي (أصلية) داخل اللانهاية، حيث توجد “لانهاية صغيرة” و"لانهاية كبيرة جداً لا يمكن الوصول إليها أبداً”.

6. الخلاصة: “اللانهاية” التي تدمر الحدس البشري

يصور فندق هيلبرت اللانهائي بوضوح كيف أن “المنطق المحدود” الذي اكتسبناه في حياتنا اليومية لا يصلح في “عالم اللانهاية”.

“الكل أكبر من الجزء” “لا يمكن لأحد الدخول إلى فندق ممتلئ” “إذا أضفت لانهاية إلى لانهاية، فستصبح أكبر”

كل هذه الحدسيات البديهية يتم دحضها بشكل مذهل. عالم اللانهاية هو كنز من المفارقات (الحقائق التي تخالف الحدس). بدلاً من الخوف من هذه المفارقات، قام علماء الرياضيات بترويضها بقوة المنطق، وصنفوها، ليصنعوا النظام الجميل المعروف اليوم بنظرية المجموعات.

في المرة القادمة التي يتم فيها رفضك بعبارة “الفندق ممتلئ”، تخيل: “ماذا لو كان هذا الفندق هو فندق هيلبرت اللانهائي؟”.

مفارقة باناخ-تارسكي: هل يمكن تقطيع كرة لإنتاج كرتين بنفس الحجم؟

Thu, 10 Sep 2026 02:00:00 +0900

1. نظرية سحرية: 1 = 1 + 1 ؟

تخيل أن أمامك كرة من الذهب الخالص. أنت تقوم بتقطيع هذه الكرة إلى عدة أجزاء باستخدام سكين. ثم تقوم بإعادة تجميع هذه الأجزاء معاً مثل لغز. لا تقوم بتمديد الأجزاء أو ثنيها أو إضافة أي ذهب جديد إليها على الإطلاق. أنت تقوم فقط بنقلها وضمها معاً.

ومع ذلك، عندما تنظر إلى اللغز المكتمل، تجد أنه قد تم تكوين “كرتين من الذهب الخالص بنفس حجم الكرة الأصلية تماماً”.

قد تفكر، “هذا سخيف! إنه ينتهك قانون حفظ الكتلة، وهو مجرد وهم من أوهام الخيميائيين!” إنه مستحيل تماماً في العالم الفيزيائي الحقيقي. ومع ذلك، في عالم الرياضيات البحتة (الهندسة الرياضية ونظرية المجموعات)، تم إثبات ذلك كنظرية صحيحة منطقياً بنسبة 100%.

هذه هي “مفارقة باناخ-تارسكي”، التي أثبتها عالما الرياضيات ستيفان باناخ وألفريد تارسكي في عام 1924.

2. الفهم الدقيق لادعاء المفارقة

إذا عبرنا عن النظرية التي أثبتها باناخ وتارسكي بعبارات رياضية دقيقة، فستكون كالتالي:

نظرية باناخ-تارسكي أي كرة $S$ في الفضاء ثلاثي الأبعاد يمكن تقسيمها إلى عدد محدود من القطع. ومن خلال إعادة ترتيب هذه القطع (باستخدام الدوران والانتقال فقط)، يمكن إنشاء كرتين لهما نفس نصف قطر الكرة الأصلية $S$ تماماً.

الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أنه بتطبيق هذه النظرية، يمكننا أيضاً قول ما يلي:

من خلال تقسيم حبة بازلاء واحدة إلى عدد محدود من الأجزاء وإعادة تجميعها، يمكننا صنع كرة بنفس حجم الشمس تماماً. (تُعرف أيضاً باسم: مفارقة حبة البازلاء والشمس)

لماذا يُسمح بمثل هذا الشيء السحري رياضياً؟ السر يكمن في كلمتين رئيسيتين: “اللانهائية” و “بديهية الاختيار”.

3. الخاصية العجيبة لـ “اللانهائية”

الخطوة الأولى لفهم هذه المفارقة هي معرفة الخاصية الغريبة لـ “المجموعات اللانهائية”.

في العالم “المحدود” الذي نتعامل معه عادةً، يكون الكل دائماً أكبر من الجزء. على سبيل المثال، إذا أخذنا الأرقام الزوجية (5 أرقام) من الأرقام من 1 إلى 10 (10 أرقام)، فإن العدد ينخفض إلى النصف.

ومع ذلك، في عالم “اللانهائية”، هذا المنطق السليم لا ينطبق. أيهما أكثر: كل “الأعداد الطبيعية” (1، 2، 3، 4، …) أم كل “الأعداد الزوجية” (2، 4، 6، 8، …)؟ بشكل بديهي، بما أن الأعداد الزوجية تمثل نصف الأعداد الطبيعية فقط، فقد يبدو أن الأعداد الطبيعية أكثر. لكن حاول تكوين أزواج على النحو التالي:

1 $\rightarrow$ 2
2 $\rightarrow$ 4
3 $\rightarrow$ 6
$n \rightarrow 2n$

بهذه الطريقة، لكل عدد طبيعي، يمكننا دائماً إقرانه بعدد زوجي يمثل ضعفه تماماً (تقابل أحادي). ولا تتبقى أي أرقام. بعبارة أخرى، من الناحية الرياضية، “عدد الأعداد الطبيعية (لانهائي)” و"عدد الأعداد الزوجية (لانهائي)" لهما نفس الحجم تماماً!

على الرغم من أننا يفترض أننا أخذنا النصف (الأعداد الزوجية) من الكل (الأعداد الطبيعية)، إلا أن الحجم يظل كما هو. في المجموعات اللانهائية، يمكن أن يحدث أن “الجزء يساوي الكل”. يمكن القول إن نظرية باناخ-تارسكي هي الشكل المطلق لتطبيق هذا “السحر اللانهائي” على مجموعة من “النقاط” في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

4. تقطيع نقاط الفضاء إلى أجزاء “غير قابلة للقياس”

عندما تقطع جسماً حقيقياً (مثل الذهب أو التفاح) بسكين، يكون للأجزاء دائماً “حجم”. ومع ذلك، فإن الكرة في الرياضيات هي “مجموعة لا نهائية من النقاط” التي ليس لها حجم.

قام باناخ وتارسكي بتقسيم (تجميع) هذه النقاط اللانهائية بطريقة معقدة وخاصة جداً. كانت طريقة التقسيم معقدة ومبعثرة لدرجة أنها أصبحت في حالة “لا يمكن فيها قياس الحجم (مجموعة غير قابلة للقياس)”.

graph TD S["الكرة الأصلية S (حجم V)"] -->|تقسيم خاص| P1["القطعة 1 (حجم غير قابل للقياس)"] S --> P2["القطعة 2 (حجم غير قابل للقياس)"] S --> P3["القطعة 3 (حجم غير قابل للقياس)"] S --> P4["القطعة 4 (حجم غير قابل للقياس)"] S --> P5["القطعة 5 (حجم غير قابل للقياس)"] P1 -->|دوران وانتقال| S1["كرة جديدة 1 (حجم V)"] P2 -->|دوران وانتقال| S1 P3 -->|دوران وانتقال| S1 P4 -->|دوران وانتقال| S2["كرة جديدة 2 (حجم V)"] P5 -->|دوران وانتقال| S2 style S fill:#ffddaa,stroke:#333,stroke-width:2px style S1 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px style S2 fill:#aaddff,stroke:#333,stroke-width:2px

إذا أصبح كل جزء مجموعة غامضة من النقاط التي “ليس لها حجم (لا يمكن قياسها)"، يمكننا التحرر من قيد القاعدة الفيزيائية التي تنص على أنه “يجب أن يساوي مجموع الأجزاء الحجم الأصلي” (إضافة القياس).

ثم، من خلال تدوير ودمج أجزاء النقاط الغامضة هذه بمهارة، وعن طريق “السحر اللانهائي”، يمكننا إكمال كرتين معبأتين بإحكام بنفس نقاط الكرة الأصلية تماماً. في الواقع، ثبت أنه من الممكن إجراء هذه العملية المتمثلة في “صنع كرتين من كرة واحدة” بمجرد تقسيم الكرة الأصلية إلى 5 أجزاء فقط.

5. السبب الجذري لكل هذا: ما هي “بديهية الاختيار”؟

إذن، لماذا يعتبر هذا “التقسيم المعقد لدرجة لا يمكن معها قياس الحجم” ممكناً رياضياً؟ ذلك لأننا نقبل قاعدة تُعرف باسم “بديهية الاختيار (Axiom of Choice)”، والتي تشكل أساس الرياضيات الحديثة.

بشكل تقريبي، فإن بديهية الاختيار هي القاعدة التالية:

تصور لبديهية الاختيار عندما يكون هناك أشياء بداخل العديد من الصناديق، فهي القاعدة التي تنص على أنه “يمكنك اختيار شيء واحد من كل صندوق لإنشاء مجموعة جديدة”.

إذا كان عدد الصناديق محدوداً، فيمكن لأي شخص القيام بذلك بشكل طبيعي. ومع ذلك، إذا كان عدد الصناديق “لانهائياً”، فلا يمكن للإنسان إنهاء عملية “اختيار واحد تلو الآخر” عدداً لانهائياً من المرات. ومع ذلك، فإن بديهية الاختيار تسمح لنا بافتراض أن “المجموعة التي تم إنشاؤها عن طريق الاختيار يمكن اعتبارها موجودة”.

كانت هذه البديهية مريحة للغاية ولا غنى عنها في بناء الرياضيات الحديثة. قَبِل معظم علماء الرياضيات هذه القاعدة قائلين: “حسناً، هذا واضح”.

لكن قبول بديهية الاختيار هذه يعني الاعتراف بوجود “مجموعات غامضة من النقاط المبعثرة لدرجة لا يمكن معها قياس حجمها (مجموعات غير قابلة للقياس)” كما ذكرنا سابقاً. ونتيجة لذلك، يتم استنتاج نظرية باناخ-تارسكي، حيث “تصبح كرة واحدة كرتين”، كضرورة منطقية.

6. الخلاصة: “عالم يتجاوز البديهة” ترسمه الرياضيات

مفارقة باناخ-تارسكي ليست مفارقة بالمعنى الذي يعني أن “هناك تناقضاً في المنطق”. إنها مفارقة بمعنى أن المنطق صحيح بنسبة 100%، لكن الاستنتاج المستمد يتعارض بشدة مع الحدس البشري والقوانين الفيزيائية.

عندما نُشرت هذه النظرية، جادل بعض علماء الرياضيات قائلين: “إذا أدت إلى مثل هذا الاستنتاج غير المنطقي، فلا بد أن بديهية الاختيار خاطئة!” ومع ذلك، يقبل العديد من علماء الرياضيات اليوم بديهية الاختيار، ويقبلون أيضاً نظرية باناخ-تارسكي باعتبارها “خاصية غريبة ولكنها جميلة للفضاء ثلاثي الأبعاد والمجموعات اللانهائية”.

نظراً لأن العالم المادي الذي نعيش فيه يتكون من “جسيمات ذات حجم (محدود)” تُعرف بالذرات، فلا يمكننا تكبير حبة بازلاء لتصبح بحجم الشمس. ومع ذلك، على لوحة “الرياضيات” التي ابتكرها العقل البشري، يكون حجم النقطة صفراً، ويُسمح بالعمليات اللانهائية.

يمكن اعتبار مفارقة باناخ-تارسكي واحدة من أعظم روائع الرياضيات الحديثة، حيث تُعلمنا كيف يمكن لمفهوم “اللانهائية” أن يتجاوز بسهولة الحدس البشري البسيط.